攀枝花市第三高级中学校高2026届高一（上）第一次月考
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题 “”，则p为（ ）
A. B. C. D.
3. 明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，则下列说法正确的是 （ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 设，，则（ ）
A. B. C. D. 不确定
6. 不等式解集为（ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
7. 如果正数满足，那么（ ）
A. ，且等号成立时的取值唯一
B. ，且等号成立时的取值唯一
C. ，且等号成立时取值不唯一
D. ，且等号成立时取值不唯一
8. 已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（ ）
A. 或6 B. 6 C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. （多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. ， B. 所有的正方形都是矩形
C ， D. 至少有一个实数x，使
10. 若集合，且，则实数的取值为（ ）
A. 0 B. 1
C. 3 D.
11. 已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C. 不等式的解集是
D.
12. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 若集合只有两个子集，则实数取值集合_________.
14. 2021年黑龙江省进入“”新高考模式，其“3”为全国统考科目语文 数学和外语；“1”为考生在物理和历史中选择一门；“2”为考生在政治 地理 化学和生物四门中再选择两门.某中学调查了高一某班学生的选科倾向，据统计有36名同学选择了化学 生物和政治，已知选择化学 生物和政治科目的人数分别为26，15，13，同时选择化学和生物的有6人，同时选择生物和政治的有4人，则同时选择化学和政治的有___________人.
15. 若实数x、y满足，，则的取值范围是_____．
16. 已知，且，则最小值为_________．
四、解答题：本题共．6小题，共计70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合，命题，命题
（1）若是的充要条件，求正实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
18. 已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）解关于的不等式．
19. 已知全集，，，且．
（1）求集合，；
（2）若集合，求实数的值．
20. 已知命题成立；命题成立．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题真假，求实数的取值范围．
21. 成都市某高中为了促使学生形成良好的劳动习惯和积极的劳动态度，建设了“三味园”生物研学基地.某班级研究小组发现某种水果的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足关系，且投入的肥料费用不超过6百元.另外，还需要投入其它的费用百元.若此种的水果市场价格为18元/千克（即18百元/百千克），且市场始终供不应求.记这种水果获得的利润为（单位：百元）.
（1）求函数的关系式，并写出定义域；
（2）当肥料费用为多少时，这种水果获得的利润最大？最大利润是多少？
22. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知，求证：．
证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）若，解方程；
（3）若正数满足，求的最小值．攀枝花市第三高级中学校高2026届高一（上）第一次月考
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由集合的交集运算，即可得到结果.
【详解】因为，又，由交集的运算可知：.
故选:B.
2. 命题 “”，则p为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题否定形式求解.
【详解】命题 “”为全称命题，其否定为特称命题，
即p：.
故选：C
3. 明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论.
【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
4. 已知，则下列说法正确的是 （ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由不等式的性质，分别举出反例，即可得到结果.
【详解】对于A，若，则不成立，故A错误；
对于B，若，则不成立，故B错误；
对于C，将两边同时除，可得，故C正确；
对于D，取，可得不成立，故D错误；
故选：C
5. 设，，则（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】运用作差法比较大小即可.
【详解】因为，所以.
故选：A.
6. 不等式的解集为（ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，直接求解不等式，即可得到结果.
【详解】因为，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
7. 如果正数满足，那么（ ）
A. ，且等号成立时的取值唯一
B. ，且等号成立时的取值唯一
C. ，且等号成立时的取值不唯一
D. ，且等号成立时的取值不唯一
【答案】A
【解析】
【详解】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A．
8. 已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（ ）
A. 或6 B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据条件可知，再结合韦达定理即可建立等量关系，即可得解.
【详解】关于x方程有两个实数根，
，解得，
实数k的取值范围为，
根据韦达定理可得，，
，
，即，
解得或 (不符合题意，舍去)，
实数k的值为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. （多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. ， B. 所有的正方形都是矩形
C. ， D. 至少有一个实数x，使
【答案】AC
【解析】
【分析】AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
【详解】A.原命题否定为：，，是全称量词命题；因为，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；
B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；
C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程，，所以，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.
D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有，如时，，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
故选：AC
10. 若集合，且，则实数的取值为（ ）
A. 0 B. 1
C. 3 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】解出集合,根据，讨论集合,解出实数的值即可.
【详解】，又，
当，则，
当，则，
当，则．
故选：
11. 已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C. 不等式的解集是
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的解集，结合一元二次不等式的解法确定a的符号，并用a表示b，c，再逐项判断作答.
【详解】因关于的不等式的解集是或，则是一元二次方程的二根，且，
则有，即，且，A不正确；
不等式化为：，解得，即不等式的解集是，B正确；
不等式化为：，即，解得，
因此不等式的解集是，C正确；
，D正确.
故选：BCD
12. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分别在和中，利用射影定理和、判定选项A、C正确.
【详解】，，
根据图形，在中，由射影定理得，所以，
由，且，得：（，），当且仅当时取等号，即A正确；
在中，同理得，所以，
又，所以（，），当且仅当时取等号，即C正确；
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 若集合只有两个子集，则实数取值集合_________.
【答案】
【解析】
【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，结合一元二次方程判别式即可求解.
【详解】因集合只有两个子集，所以只有一个元素，所以，解得，所以实数取值集合为.
故答案为：
14. 2021年黑龙江省进入“”新高考模式，其“3”为全国统考科目语文 数学和外语；“1”为考生在物理和历史中选择一门；“2”为考生在政治 地理 化学和生物四门中再选择两门.某中学调查了高一某班学生的选科倾向，据统计有36名同学选择了化学 生物和政治，已知选择化学 生物和政治科目的人数分别为26，15，13，同时选择化学和生物的有6人，同时选择生物和政治的有4人，则同时选择化学和政治的有___________人.
【答案】8
【解析】
【分析】根据容斥原理可求出结果.
【详解】记选择化学的同学组成的集合为，选择生物的同学组成的集合为，选择政治的同学组成的集合为，
依题意可得，，，， ，，，
根据，
可得，解得.
所以同时选择化学和政治的有人.
故答案为：.
15. 若实数x、y满足，，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】，通过题目给的式子整体代入即得到范围.
【详解】设,则解得所以,由得所以,即.
故的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
四、解答题：本题共．6小题，共计70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合，命题，命题
（1）若是的充要条件，求正实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【小问1详解】
由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
18. 已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）或
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接将代入，根据一元二次不等式即可得解集，
（2）将与1比较，分类讨论即可求解．
【小问1详解】
当时，，，或，
不等式解集为：或；
【小问2详解】
不等式可化为．
①当时，原不等式即为，解得；
②当时，原不等式化为，解得；
③当时，原不等式化为，解得．
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
19. 已知全集，，，且．
（1）求集合，；
（2）若集合，求实数的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由得，，将2代入等式，解出a，b的值，得M，N；
（2）由的结果列出方程组，解得m的值.
【小问1详解】
因为，所以，且，
又因为，所以，得，，
因，所以，得，，
综上，，.
【小问2详解】
由（1）得，
所以，得.
20. 已知命题成立；命题成立．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题真假，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由命题为真命题转化为不等式恒成立.
（2）解出“命题假”所对应的实数的取值范围并与（1）中的取值范围作交集.
【小问1详解】
因为命题为真命题.
所以在上恒成立，则判别式，
即解得.
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）知命题为真命题时，的取值范围为.
当命题为真命题时，不等式有解.
则判别式即解得或.
则命题为假命题时，即.
故命题真假时，满足.
所以实数的取值范围为.
21. 成都市某高中为了促使学生形成良好的劳动习惯和积极的劳动态度，建设了“三味园”生物研学基地.某班级研究小组发现某种水果的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足关系，且投入的肥料费用不超过6百元.另外，还需要投入其它的费用百元.若此种的水果市场价格为18元/千克（即18百元/百千克），且市场始终供不应求.记这种水果获得的利润为（单位：百元）.
（1）求函数的关系式，并写出定义域；
（2）当肥料费用为多少时，这种水果获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）肥料费用为元时，该水果获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（1）根据收入减去成本为利润，即可得到函数解析式，再写出函数的定义域即可；
（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【小问1详解】
解：依题意可得，
因为，所以，；
【小问2详解】
解：，
当且仅当，即时取等号．
当投入的肥料费用为元时，该水果获得的利润最大，最大利润是元．
22. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知，求证：．
证明：原式．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）若，解方程；
（3）若正数满足，求的最小值．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意把代入式中可求值；
（2）将代入方程可求解；
（3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
原方程可化为：
即：
，即，解得：．
【小问3详解】
，当且仅当，即时，等号成立，
有最小值，此时有最大值，
从而有最小值，即有最小值．
