人教A版（2019）高中数学必修第一册4.3.2对数的运算 同步练习（含解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册4.3.2对数的运算
一、选择题
1．已知，则（　　）
A． B． C． D．
2．设，则（　　）
A．8 B．11 C．12 D．18
3．的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知幂函数的图象经过点，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．-1
5．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若，则的值约为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数，则方程的解为（　　）
A． B．或 C．或 D．或
7．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的.设，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．已知且恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知实数，满足，则下列关系式可能正确的是（　　）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
11．以下运算中正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
12．已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．　 　.
14．已知，，，则的最大值是　 　.
15．若函数 是定义在实数集上的奇函数；则实数 　 　
16．已知 是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有 ，则 　 　．
四、解答题
17．求值：
（1）；
（2）．
18．已知函数且的图象过点.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在上的最大值；
（3）若，比较与的大小.
19．已知函数的图象过点与点.
（1）求，的值；
（2）若，且，满足条件的的值.
20．
（1）已知，试用表示；
（2）已知，且，求实数的值．
21．某地为践习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，且x年后森林的面积为y亩．
（1）列出y与x的函数解析式并写出函数的定义域；
（2）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？参考数据：
22．已知，求：
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）正数满足，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】由可得，，即，
由得，，
根据对数运算法则可知，
即.
故答案为：D
【分析】根据对、指数运算求出a、b，再根据对数运算法则可得出a、b的关系.
2．【答案】D
【解析】【解答】，则，
，
故答案为：D.
【分析】根据指数幂的运算性质和对数的概念即可求出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】利用换底公式进行计算可得答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】，则由题意和，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设，，求出a的值，进而求出 的值 .
5．【答案】D
【解析】【解答】，
故答案为：D
【分析】由指对互化原则可得，结合换底公式和对数的运算性质计算可得答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】因为，
由可得，
得或，
当时，；当时，.
综上所述，原方程的解为或.
故答案为：C.
【分析】换底公式化简可得出关于log2x的等式，求出log2x的值，再利用对数式与指数式的互化可得出x的值.
7．【答案】B
【解析】【解答】函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，所以，所以，
故答案为：B．
【分析】由偶函数性质变形，然后由对数换底公式、对数函数性质比较，，再由函数单调性得结论．
8．【答案】C
【解析】【解答】因为，则且、均为正数，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，所以，，即，解得.
故答案为：C.
【分析】由对数运算性质得，由基本不等式可得，所以，解不等式即可.
9．【答案】A,C
【解析】【解答】，A符合题意；
，B不符合题意；
根据对数恒等式可知，，C符合题意；
根据换底公式可得：，D不符合题意．
故答案为：AC
【分析】 根据对数的运算性质、对数的运算法则，换底公式逐项进行判断，即可得答案.
10．【答案】A,B,C,D
【解析】【解答】对于A，由得，令，则分别在和上单调递增，令，则分别在和上单调递增，当时，的值域为 当时，的值域为，所以存在，使得；同理可得，存在，使得，因此，使，A符合题意；
对于B，令，则方程可化为，由换底公式可得，显然关于的方程在上有解，所以，使，B符合题意；
对于C，当时，因为，
所以，又在上单调递增，所以. 又，令，则在上单调递增，因为，所以 ，从而可得，所以．综上所述可得 ，C符合题意；
对于D，当时，因为，所以，又在上单调递增，所以.又，令，则在上单调递增，因为，所以，
从而，所以．综上所述可得，所以D符合题意．
故答案为：ABCD
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和全称命题和特称命题真假性判断方法，进而找出关系式可能的关系式。
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】对A，，A符合题意.
对B，，B符合题意.
对C，因为，所以.
因为，
所以，C不符合题意.
对D，
，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据指数和对数的运算性质依次判断选项即可.
12．【答案】A,B
【解析】【解答】令则 ，分别作图与如图所示：
由图可得 ，所以，A符合题意；
由于，，
所以，
所以，B符合题意，C、D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】分别作图与得两交点的横坐标分别为 且，又因为，即可判断出答案.
13．【答案】9
【解析】【解答】原式.
故答案为：9.
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则、换底公式和对数的运算法则，进而化简求值。
14．【答案】2
【解析】【解答】因为，，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以，
所以的最大值是2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和对数的运算法则，进而得出的最大值。
15．【答案】4；[0，+∞)
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
由函数 为 上的奇函数，
可得 ，
即 ，
则实数 ；
所以 ，
【分析】 (1)根据函数奇偶性的定义和对数的运算性质，结合恒成立思想，可得a的值；
16．【答案】
【解析】【解答】若 ，则 ，又 是定义域为R的单调函数，
∴ ，得 ，
又 ，
∴ ，则 .
故答案为： .
【分析】令 ，由题意知，可求出x0，又 即有 ，进而可求 。
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质进行运算即可；
（2）运用对数的运算性质进行运算即可.
18．【答案】（1）解：由已知，，
，定义域为；
（2）解：，
，，则，
所以，时取等号，
最大值为；
（3）解：，，
，，
，，
所以，，则，，
∵，所以，，即，
，，
所以，，
∵在上是增函数，又在时是减函数，
∴在上是减函数，
∴．
【解析】【分析】（1） 由已知，， 由对数函数的定义得定义域；
（2）函数式化简为只含有一个对数号，然后由二次函数性质及对数函数性质得最大值；
（3）指数式改写为对数式，然后比较， 的大小，并由已知得出，的范围，在此范围内由的单调性得大小关系．
19．【答案】（1）解：由题意可得，解得，，
（2）解：由（1）可得，而，且，
于是有，设，，
从而得，解得，即，解得，
所以满足条件的.
【解析】【分析】（1）把点和代入函数的解析式，得出的方程，即可求得的值；
（2）根据题意得到方程，设，转化为方程，求得，结合对数的运算，即可求解.
20．【答案】（1）解：；
（2）解：由，则，，故，
则，解得.
【解析】【分析】 （1）由对数的换底公式可得 ，化简代入可得 表示；
（2）根据指对互化公式可得 ，， ，再利用对数运算的性质求得m的值.
21．【答案】（1）解：森林原来的面积为亩，森林面积的年平均增长率为，年后森林的面积为亩，
则(且)；
（2）解：设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，
则，
，得，
即，
，即取10，
故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林10年．
【解析】【分析】（1）根据题目所给条件列出y与x之间的关系
（2）根据问题列出不等式，根据指数对数的运算对不等式进行化简，求出n的取值。
22．【答案】（1）解：因为，
所以，，，
所以，
所以，
当且仅当且，即，时取等号，
此时取得最小值；
（2）解：，
，
当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值25；
（3）解：因为，当且仅当时取等号，
解得，所以，
因为正数满足，所以，
故的取值范围.
【解析】【分析】(1)由已知结合对数的运算性质可得 ，，，即 ，而 ，展开后利用基本不等式可求出 的最小值；
(2)先把 进行分离，通分化简后，再利用乘1法配凑，利用基本不等式可求出 的最小值；
(3)由 ，先求出x+y的范围，由正数满足 ，解出 ，即可求解出 的取值范围.