4.2.1等差数列的概念（第1课时）课件（共23张PPT）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.2.1等差数列的概念
第一课时
复习回顾
回顾1 数列的概念是什么？
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数都叫做数列的项.
回顾2 什么是数列的通项公式？
如果数列{????????}的第????项????????与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
?
数列的一般形式是 : ?????????,??????????,?...?,??????????,?...?，简记为{????????}.
?
回顾3 什么是数列的递推公式？
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
新课导入
数列是一种特殊的函数。在函数的研究中，我们理解函数的一般概念，了解函数变化规律的研究内容（单调性、奇偶性等），通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。
类似的，在了解数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立他们的同项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义和应用。
下面，我们从一类取值规律比较特殊的数列入手--等差数列。
实例1 北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81 ①
新知探究一：等差数列的相关概念
圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部，为皇帝冬至日祭天大典的场所。
实例2 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是
34，36，38，40，42，44，46，48 ②
新知探究一：等差数列的相关概念
实例3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为：
25，24.5，23.8，23.2，22.6 ③
新知探究一：等差数列的相关概念
实例4 某人想银行贷款????万元，贷款时间为????年。如果个人贷款月利率为????，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金????(=????????????????)万元，每月支付给银行的利息依次为：
????????,?????????????????,?????????????????????,?????????????????????... ④
?
问题1 通过这四个实例，你发现了什么规律？
新知探究一：等差数列的相关概念
对于实例1：9，18，27，36，45，54，63，72，81 ①
我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列 ① ，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...，a9-a8=9.
这表明，数列 ① 有这样的取值规律：
从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
实例2，实例3，实例4都有同样的数字规律
新知探究一：等差数列的相关概念
概念生成
问题1 你能根据实例，结合数列的定义给出等差数列的定义吗？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
例如数列①②③④的公差依次为 9, 2, -0.6, -br.
等差数列的符号语言：
????????－??????????????=??????(????是常数, ????≥????且????∈?????)
????????+????－?????????=??????(????是常数, ????∈?????)
?
注意n的取值！
从第二项开始!
注意：
1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数.
2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0,与n无关.
（1）一个等差数列最少需要几项？
(2) 若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项.
等差中项
由等差数列的定义，可知
概念辨析
问题2
1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差.
2. 求下列各组数的等差中项:
课本P15
新知探究二：等差数列的通项公式
问题3 若已知等差数列{an}的首项????????和公差????，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
?
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d
…
an=an-1+d=a1+ (n-1)d (n ≥ 2)
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
方法1： 由等差数列的定义可得
an+1-an=d
等差数列的递推公式
不完全归纳法
它就是等差数列的通项公式！
∴ a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
an-an-1=d (n ≥ 2)
累加以上n-1个式子, 得
an-a1=(n-1)d
累加法
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
方法2：∵由等差数列的定义可得
an+1-an=d
∴ an=a1+(n-1)d
新知探究二：等差数列的通项公式
问题4 还有什么方法推导等差数列的通项公式呢？
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d
等差数列的通项公式
a1,an,n,d 知三求一
am=a1 +(m-1)d
an-am =(n-m) d
am=?
an-am =?
新知探究二：等差数列的通项公式
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
(k＋b)
k
an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)
②任给一次函数f(x)＝kx＋b (k,b为常数)，则f(1)＝k＋b,
f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
问题5 我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？
等差数列与一次函数的关系
1
2
5
a1
x
f(x)
O
3
4
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
新知探究二：等差数列的通项公式
1
2
a1
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
1
2
a6
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a5
a4
a3
a2
a1
f(x)＝dx＋(a1－d)
结论：等差数列{an}的单调性与公差d有关.
①当d＞0时，
等差数列{an} 单调递增;
②当d＜0时，
等差数列{an}单调递减；
③当d＝0时，
等差数列{an}为常数列.
问题6 可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
新知探究二：等差数列的通项公式
例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2....的第20项
解:
典例分析
例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5，d=－9－(－5)=－4，
所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1.
令－4n－1=－401，解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项。
典例分析
求通项公式
代入验证
（2） 在等差数列 {an} 中, a2=2 , a4=8 ,则 an+1?an= ____，通项公式为 an= _________.
?
3
?
3n?4
?
[解析] 设等差数列 {an} 的首项为 a1 ,公差为 d ,
则 &a1+d=2,&a1+3d=8,
解得 d=3,a1=?1 ，
所以 an+1?an=d=3 ，
an=a1+n?1d=3n?4 .
?
新知深化
等差数列{????????}的通项公式????????=?????????＋(????－????)????.
?
法一：通过????????(????再代入公式 ????????=?????????＋(????－????)????
?
法二：
????????＝????????＋(????－????)????
?
追问2 我们如果只知道????????(?????
追问1 我们要求????????，需要几个条件？
?
只要求出等差数列的首项????????和公差????
代入公式 ????????=?????????＋(????－????)????即可。?
?
3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}a1
a3
a5
a7
d
－7
8
2
－6.5
0.5
15.5
3.75
15
－11
－24
课本P15
5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
课本P15
小结
1.等差数列的概念
2.等差中项
3.通项公式
4.通项公式与函数关系