4.2.1等差数列的概念（第2课时）课件（共21张PPT）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.2.1等差数列的概念
第二课时
一
二
三
学习目标
能用等差数列的定义推导等差数列的性质.
能用等差数列的性质解决一些相关问题.
能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
学习目标
复习回顾
1.等差数列的定义：
2. 通项公式：
4. 等差数列的函数特征：
an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*)
an =a1+(n-1)d
由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
3.等差中项：
这三个数满足关系式：
A=????+?????2
?
?d=?????????????1?????1
?
函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列.
新知探究一：等差数列的实际问题
例3
解:
解决等差数列实际问题的基本步骤
(1)将已知条件翻译成数学(数列)问题；
(2)构造等差数列模型(明确首项和公差)；
(3)利用通项公式解决等差数列问题；
(4)将所求出的结果回归为实际问题.
例题小结
练习：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.
所以，我们可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1 =11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。
那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
? a11=11.2＋ (11－1) ×1.2=23.2
答：需要支付车费23.2元。
新知探究二：等差数列的性质
例4 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由.
解:
如果插入k(k?N*)个数，那么{bn}的公差是多少？
解2:
解1:
典例分析
例4 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式.
(2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由.
对于第（2）小题，你还有其他解法吗？
探究1：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？
新知探究二：等差数列的性质
证明：
新知探究二：等差数列的性质
例5 若{an}是公差为d的等差数列，正整数 p, q,s,t满足p＋q=s+t，则ap＋aq ＝as＋at
推广：
反例： 常数列
等差数列的性质
新知探究二：等差数列的性质
若{an}是公差为d的等差数列，正整数 p, q,s,t满足p＋q=s+t，
则ap＋aq ＝as＋at
C
B
典例分析
24
C
4.已知数列{an}是等差数列，若a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，则a20= ．
3.已知数列{an}是等差数列，若a4+a8＝20，a7＝12，则a4= ．
6
1
跟踪练习
思考 例5是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形. 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗?
n
an
O
?
?
?
?
s
p
q
t
as
ap
aq
at
S(s,as)
P(p,ap)
Q(q,aq)
T(t,at)
新知探究二：等差数列的性质
探究2： 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d.
(1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少?
(2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少?
(3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗?
新知探究二：等差数列的性质
探究3：已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn .
(1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由.
(2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式.
新知探究二：等差数列的性质
1.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ .
特别地: 若m＋n＝2p(m,n,p∈N*)，则有am＋an＝ .
等差数列的常用性质
ap＋aq
2ap
2.在等差数列中每隔 的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列.
相同
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
3.若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列, 则
①数列{c＋an}的公差为 ；②数列{c·an}的公差为 ；
③数列{an＋an＋k}的公差为 ；④数列{pan＋qbn}的公差为 .
2d
pd＋qd′
d
cd
新知探究二：等差数列的性质
B
A
B
30
跟踪练习
{1????????}是等差数列
?
跟踪练习
(1)证：
(2)解：
跟踪练习
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
性质1 an =a1+(n-1)d
性质2 d=?????????????1?????1
?
性质3 an =am+(n-m)d
性质4 d=??????????????????????????
?
性质5 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
性质6 m,n,p∈N*，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap
小结