江西省重点大学附中2023-2024学年高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江西重点大学附中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知全集，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知：“”，：“”，则是的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若，，则、的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
5.若不等式的解集是，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.某校高一班有学生人，为迎接国庆节的到来，班级组织了两个活动，其中活动参与的人数有人，活动参与的人数有人，由于个人原因有人两个活动都没有参与，则该班仅参与一个活动的人数为( )
A. B. C. D.
7.“”成立的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
8.已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D. 或
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 空集是任何集合的真子集
B. 集合共有个子集
C. 集合
D. 集合
10.图中阴影部分所表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
11.若实数，，满足，以下选项中正确的有( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
12.已知二次函数的图象如图所示，下列结论中不正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知命题：，，若命题的否定为真命题，则实数的取值范围是______ ．
14.已知集合，，，则 ______ ．
15.已知集合，，若、中至少有一个非空，则实数的取值范围是______ ．
16.已知集合，，，，，，，定义集合，，则中元素的个数为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求，；
若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，求的取值范围；
已知，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；
若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围．
20.本小题分
“绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．
该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？
该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？
21.本小题分
已知二次函数的图像经过点和，且函数在上的最大值为．
求函数的解析式；
当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值．
22.本小题分
已知、、，且求证：
；
；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
又全集，所以．
故选：．
首先求出集合，再根据补集的定义计算可得．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题：，的否定为：，．
故选：．
由题意直接写出存在量词命题的否定即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，令，可得，
即，故或，
解得或，故是的必要不充分条件．
故选：．
先求得中对应的范围，然后根据充分、必要条件的知识确定正确答案．
此题考查了方程的解法，考查了充分、必要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
将、两边平方，即可得到，从而得解．
本题主要考查了不等式大小的比较，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为等式的解集是，
所以和为方程的两根，且，
所以，即，，
所以不等式，可化为不等式，
即，即，解得，
所以不等式的解集为．
故选：．
由题意得和是方程的两根，且，利用根与系数的关系得出、、的关系，把不等式化简求解即可．
本题考查了不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：依题意参加、两项活动的有人，
则仅参与一个活动的人数为人．
故选：．
首先求出参加、两项活动的人数，即可求出仅参与一个活动的人数．
本题考查集合的运算，集合的实际应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于，由，可知或，故不是充分条件，所以A错误；
对于，等价于，所以是充要条件，不满足题意，故B错误；
对于，，即，即，
可知是充要条件，不满足题意，故C错误，
对于，由，可得，充分性成立，
当时，由推不出，必要性不成立，满足题意．
故选：．
根据题意，对各选项的条件逐项分析，找出其中的充分不必要条件，即可得到本题的答案．
本题主要考查了不等式的基本性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以或舍去，
即，当且仅当时取得，
因为不等式恒成立，所以，
即，解得，即实数的取值范围是．
故选：．
首先利用基本不等式求出的最小值，依题意，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可．
本题主要考查函数恒成立问题，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：空集是任何非空集合的真子集，故A错误；
对于：集合的子集有，，，共个，故B正确，
对于：集合，
集合，
所以，故C正确；
对于：因为集合，
即集合的最小元素为，
而集合，
即集合的最小元素为，
所以，故D错误．
故选：．
根据空集的定义判断，写出集合的子集，即可判断，利用列举法表示集合，即可判断、．
本题考查空集、子集的概念以及列举法相关知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：如图所示的韦恩图，
选项：，故A正确；
选项：，故B错；
选项：，故C正确；
选项：，故D错．
故选：．
根据交并补的计算和韦恩图判断即可．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：因为实数，，所以，即，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A正确；
对于：因为，
当且仅当，又因为，所以时取等号，故B错误；
对于：因为，，，所以，
又，
所以
，
当且仅当且，即，时取等号，
所以，当且仅当，时取等号，故C正确；
对于：因为，，，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：．
利用基本不等式一一计算可得．
本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：由图象可知，图象开口向下，对称轴位于区间，
图象与轴有两个交点，与轴交于正半轴，
所以，，，，
故，，，
如图可知，当时，，当时，，
所以，，
所以，即，
所以，
综上所述，AB错误，CD正确．
故选：．
利用二次函数图象开口方向，与轴，轴的交点，以及特殊点作出判断．
此题考查二次函数的图象性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：命题：，的否定为：，，
因为命题的否定为真命题，即命题“，”为真命题，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
首先写出命题的否定，依题意可得，即可求出参数的取值范围．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，易知，
当时，，此时，，不合题意舍去；
当时，，此时，，满足题意，
所以．
故答案为：．
根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出符合题意．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
15.【答案】或
【解析】解：若，则，解得，
若，则，解得，
若、均为空集，此时，即，
因为、中至少有一个非空，所以或，
即实数的取值范围是或．
故答案为：或．
首先求出集合、为空集时参数的取值范围，从而求出、均为空集时的取值范围，再求其对立面即可．
本题考查实数的取值范围的求法，考查集合、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
又，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以中元素的共个．
故答案为：
首先用列举法表示集合、，从而得到，即可得解．
本题考查集合新定义，属于中档题．
17.【答案】解：由，即，
解得，
所以，
当时，
所以，或，
所以；
若“”是“”成立的必要不充分条件，
则，
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围为或．
【解析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的运算法则计算可得；
依题意可得，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于中档题．
18.【答案】解：令，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，即，
所以的取值范围为．
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
【解析】令，求出、的值，即可得到，再利用不等式的性质计算可得；
由，再利用基本不等式计算可得．
本题主要考查了不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题设在恒成立，
显然，即时，满足在上恒成立；
由；
综上所述的取值范围为．
由题设在上恒成立，
当，即时，满足在上恒成立；
当时，函数对称轴为，
当，即时，只需，即，故；
当，即时，只需，也满足题设；
综上，的取值范围为．
【解析】由在恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式组求参数范围；
问题化为在上恒成立，讨论符号，结合二次函数性质求参数范围．
本题考查的知识要点：二次函数的性质，恒成立问题的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意，
所以每吨二氧化碳的平均处理成本为元，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该企业每月处理量为吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低．
设该企业每月的利润为，
则，
因为，
所以当时，函数取得最大值，即，
所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴元才能使该企业在该措施下不亏损．
【解析】由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可；
由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查函数的实际应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为二次函数的图像经过点和，所以函数的对称轴为，
又函数在上的最大值为，所以函数的顶点坐标为，开口向下，
设，则，解得，
所以．
由可知，
函数在上单调递增，在上单调递减，
当，即时在上单调递增，所以，
，
因为，即，解得舍去；
当，即是在上单调递增，在上单调递减，且，
所以，，
又，所以，解得舍去或；
当，即是在上单调递增，在上单调递减，且，
所以，，
又，所以，解得或舍去；
当时在上单调递减，所以，
，
因为，即，解得舍去；
综上可得或．
【解析】首先得到函数的对称轴，从而得到顶点坐标，设，代入点的坐标，求出的值，即可得解；
首先得到函数的单调性，再分、、、四种情况讨论，分别得到函数在区间上的最大值与最小值，从而得到关于的方程，解得即可．
本题考查函数的解析式的求法，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
22.【答案】证明：因为，所以，当且仅当时，取等号；
，当且仅当时，取等号；，当且仅当时，取等号，
所以，当且仅当时，取等号．
所以．
因为
，
当且仅当时，取等号，所以．
因为，当且仅当时，取等号，
所以，所以，
当且仅当时，取等号，
所以．
【解析】根据基本不等式结合不等式的基本性质求证即可；
根据基本不等式结合不等式的基本性质求证即可；
根据基本不等式结合不等式的基本性质求证即可．
本题考查了利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
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