东风中学2023-2024学年高一上学期10月月考
数学试题参考答案
一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】由全集，集合，
得.
故选：A.
2．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．
【详解】解：
解得：.
故选：C.
3．设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，将集合化简，结合集合的关系，即可判断.
【详解】因为，
所以，即.
故选：A
4．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定方法判断作答.
【详解】命题“，”为存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定为：，．
故选：D
5．设集合，，若对于函数，其定义域为，值域为，则这个函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用函数的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，不满足题意，故A不正确；
对于B，一个自变量对应多个值，不符合函数的概念，故B不正确；
对于C，函数的值域为，不符合题意，故C不正确；
对于D，函数的定义域为，值域为，满足题意，故D正确.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的概念以及函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，理解函数的概念是解题的关键，属于基础题.
6．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲 乙 丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（ ）
A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3
【答案】C
【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案.
【详解】因为此数为小于5的正整数，
故，
因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，
所以C是A的真子集，A是B的真子集，
故且，解得，
故“”中的数字可以是1或2.
故选：C
7．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解：不等式的解集为，得到，且，，进而转化不等式求解.
【详解】解：因为关于的不等式的解集为，
所以，且，，
所以，，
所以化为，
解得.
故选：A.
8．已知，，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式得，，，，再利用不等式的性质两边分别相加可得答案
【详解】因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以两边分别相加得
，
当且仅当时取等号，
即的最小值为，
故选：D
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，两函数的解析式不同，所以不是同一函数；
对于B，两函数的定义域都相同为，其次，所以是同一函数；
对于C，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数；
对于D，两函数的定义域相同都为，且解析式相同，所以是同一函数；
故选：BD
10．已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是s成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（ ）
A．是成立的充要条件 B．s是成立的必要不充分条件
C．是s成立的充分不必要条件 D．是s成立的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个选项分析可得答案.
【详解】依题意得，，，，
由，得，但不一定能推出，故A不正确；
由，得，又，所以是成立的必要不充分条件，故B正确；
因为不一定能推出，不一定能推出，所以C不正确；
因为，，所以，又，所以是成立的充分不必要条件，故D不正确.
故选：ACD
11．若，，，，下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A，可得为，，即可判定；对于B，利用作差法判定；对于C，可得，，即可判定；对于D，利用作差法判定．
【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，，因为，
所以，，故，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，
则，可得，
所以，故C正确；
对于D，，因为，所以，但分母符号不确定，故D错误；
故选:ABC．
12．已知不等式的解集为，则实数的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】BCD
【分析】首先讨论系数时是否满足；当不等式为二次不等式时应满足 且解得的取值范围.
【详解】令，解得，当时，不等式化为，解得，当a=-1时不满足；
当时，应满足，且，解得，此时不等式的解集为.
综上，实数的取值范围是.故BCD符合.
故选：BCD
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】
【分析】由自变量的值大于0还是小于0选取不同的表达式计算.
【详解】.
故答案为：．
14．若，则a的值为 .
【答案】
【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.
【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，
若，解得，此时，，符合题意，即，
而，即，
所以a的值为.
故答案为：
15．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】[0，1）．
【详解】试题分析：首先根据函数f（x）的定义域为[0，2]，得到函数g（x）的分子对应的函数y=f（2x）的定义域为2x∈[0，2]，解之得0≤x≤1，再结合分式的分母不等于0，列出不等式组，解之可得函数g（x）的定义域．
解：∵函数f（x）的定义域为[0，2]，
∴函数y=f（2x）的定义域为2x∈[0，2]，解得0≤x≤1，
因此函数g（x）=的定义域满足：，可得0≤x＜1．
∴函数g（x）=的定义域为：[0，1）．
故答案为[0，1）．
考点：函数的定义域及其求法．
16．命题“，方程有两个不等实数根”是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用存在量词命题，结合二次函数图象与一元二次方程解的关系，计算得结论．
【详解】因为命题“时，方程有两个不等实数根”是真命题，
所以函数的图象在上与轴有两个不同的交点，
因此，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为:
四、解答题
17．（本题满分10分）已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求,的值.
【答案】（1）[－4，1)∪(1，＋∞)；（2）；.
【分析】（1）根据题意知且，由此可求其定义域；
（2）直接将代入解析式求值即可
【详解】（1）根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，∴x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为.
（2）.f(12)＝＝.
【点睛】本题考查具体函数的定义域，求函数值，属于基础题.
18．已知二次函数满足，．
(1)求的解析式；
(2)当，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设二次函数，由，可得，再代入已知等式，由恒等知识求得得解析式；
（2）由函数的单调性求得最大值与最小值，得值域．
【详解】（1）设二次函数，由，可得，
，
则，解之得，则二次函数的解析式为．
（2）由（1）得，，，
则在单调递减，在单调递增，
又，，，则当时的值域为．
19．已知函数
(1)已知，求函数在区间上的值域；
(2)已知，求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为．
【分析】（1）由题意，当时，判断函数在上单调性，可求得值域；
（2）利用对称轴与定义域区间的位置关系，分类讨论可得函数在上的单调性，据此可求出函数的最小值.
【详解】（1）当时，，
的图像是开口向上的抛物线，对称轴是，
函数在上单调增函数，
，即，
函数在上的值域为.
（2）因为，所以的图像是开口向上的抛物线，对称轴是直线．
如图：
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，即；
当时，即时，函数在上单调减函数，
所以时，．
综上所述，当，函数单的最小值为；
当时，函数的最小值为．
20．已知集合，.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的范围；
(2)若，求的范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，即可得答案；（2）由题可得，即可得答案.
【详解】（1）由题意可得
（1）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，
则，解得，即m的范围为；
（2）因为，所以.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，，即m的范围为.
21．已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若的解集是集合的真子集，求实数的取值范围；
(3)若对一切的实数，均有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)[﹣4，2]
(3)
【分析】（1）直接解一元二次不等式即可得出答案；
（2）令y＝0，解得x＝a或x＝1，分类讨论a＞1，a＝1，a＜1，求出解集A，结合题意，列出关于a的不等式，即可得出答案；
（3）利用分离参数法，题意转化为对一切x＞2的实数，恒成立，即，利用基本不等式求出最小值，即可得出答案．
【详解】（1）
则当a＝2时，不等式，即，
即，解得，
故集合；
（2）令y＝0，解得或x＝1，
由，可得，
当a＜1时，不等式的解集为，
∵集合A是集合的真子集，可得，∴﹣4≤a＜1；
当a＝1时，不等式的解集为A＝{1}，
1∈，满足题意；
当a＞1时，不等式的解集为，
∵集合A是集合的真子集，可得，∴，
综上所述，实数a的取值范围是[﹣4，2]；
（3）对一切x＞2的实数，均有恒成立，即，
转化为对一切x＞2的实数，恒成立，即
∵x＞2，
∴，
当且仅当，即x＝3时等号成立，
∴，
故实数a的取值范围是．
22．某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为400万元，每生产台（）需要另投入成本（万元），当年产最不足75台时，（万元）；当年产量不少于75台时，（万元）.若每台设备的售价为90万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当年产量为台时，利润最大，为（万元）
【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本，再减去年固定成本即可求解；
（2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大的即可求解.
【详解】解：当年产量不足75台时，利润；
当年产量不少于75台时，利润，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
.
（2）由（1）得当时，，开口向下，对称轴为，故当时，（万元）；
当时，由于，当且仅当时等号成立，所以（万元）.
综上，当年产量为台时，利润最大，为（万元）东风中学2023-2024学年高一上学期10月月考
数学学科试卷（时长：120分钟）
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则（ ）
A． B．
C． D．
4．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．设集合，，若对于函数，其定义域为，值域为，则这个函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲 乙 丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是成立的必要不充分条件；丙：是成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（ ）
A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3
7．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是s成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（ ）
A．是成立的充要条件 B．s是成立的必要不充分条件
C．是s成立的充分不必要条件 D．是s成立的必要不充分条件
11．若，，，，下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
12．已知不等式的解集为，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知函数，则 .
14．若，则a的值为 .
15．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
16．命题“，方程有两个不等实数根”是真命题，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（共70分）
17．（本题满分10分）已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求,的值.
18．（本题满分12分）已知二次函数满足，．
(1)求的解析式；
(2)当，求的值域．
19．（本题满分12分）已知函数
(1)已知，求函数在区间上的值域；
(2)已知，求函数在区间上的最小值．
20．（本题满分12分）已知集合，.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的范围；
(2)若，求的范围.
21．（本题满分12分）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若的解集是集合的真子集，求实数的取值范围；
(3)若对一切的实数，均有恒成立，求实数的取值范围．
22．（本题满分12分）某企业为紧抓“长江大保护战略”带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备.生产这种设备的年固定成本为400万元，每生产台（）需要另投入成本（万元），当年产最不足75台时，（万元）；当年产量不少于75台时，（万元）.若每台设备的售价为90万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完.
（1）求年利润(万元)关于年产量(台)的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少？
