高一数学参考答案 2023.10
1-8 CDBAB AAB
9-12 BD, ABD, ACD, BCD
13. 2 2,2 2 37 114. 2 2 15. — ， 16. a 12 4
17. 2解析：由 B x x 10x 21 0 得
B x 3 x 7 ，……………………………………1’
所以 A B x 2 x 7 ，…………………………………………………………3’
又CRA x x 2或x 6 ，所以 CRA B x 6 x 7 ………………………5’
(2)因为“ x B”是“ x C”的必要条件，所以
C B……………………………………………6’
当 a 1 2a 3，即 a 4时C ，满足题意；…………………………………7’
a 4
当 a 1 2a 3 ，即 a 4时C ，则 2a 3 3，解得3 a 4，………9’
a 1 7
综上可得 a 3…………………………………………………………………………10’
18.解析： 1
(1)原式 log2 2 2
1 1
2 1og39 2 2 2 2
……………………………………………………………………………………………...6’
注：如果最终结果错，3项中有 1项计算正确加 2分。
1 1
(2) 1(x 2 x 2 )2 x x 1 2 9，则 x x 11 ……………………………………8’
1 1
1 1 1 1
(x 2 x 2 )2
x x 1 2 13，又 x 2 x 2 0，则 x 2 x 2 13……………10’
1 1 1 1
1 x x (x 2 x 2 )(x 2 x 2 ) 3 13 ……………………………………………12’
19. 2解析（1） f (x)是二次函数，设 f (x) ax bx c(a 0)，
f (x 1) f (x) a(x 1) 2 b(x 1) c (ax 2 bx c)
2ax 3 a b x ……………………………………………………………………2’.
2
2a 1
1
所以， 3 ，则 a ,b 1，…………………………………………………4’
a b 2 2
{#{QQABTYqUggigQhBAAQgCUwWQCgEQkBAAAAoOAAAAoAAAQAFABAA=}#}
又 f (1) a b c 1 ，则 c 1…………………………….……………………………5’
2
故 f (x) 1 x2 x 1.…………………………………………………………………………6’
2
（2） f (x)在 ( , 1]上单调递减。…………………………………………………………7’
证明： x1, x2 ( ， 1], x1 x2 ,
f (x1) f (x2 ) (
1
x 21 x1 1) (
1 x 22 x2 1)2 2
1 (x 2 x 2 ) (x x ) 1 1 2 1 2 (x1 x2 )(x1 x2 2)，……………………………………9’2 2
因为 x1 x2 1，则 x1 x2 0, x1 x2 2 0，
1
所以， (x1 x2 )(x1 x2 2) 0,则 f (x1) f (x2 ) 0，………………….………….11’2
即 f (x1) f (x2 ).
所以， f (x)在 ( , 1]上单调递减………………………………………………………12’
20. 解析（1） S 2a x (1 p) a x p
2ax 3ax p ……………………………………………….………………..3’
2ax 6ax ,1 x 9 12 x
0, x 9
……………………………………………………………………..……………...5’
（2）当1 x 9时，
S 2a(x 3x )
12 x
2a(x 36 3)
12 x
2a[(12 x) 36 ] 30a
12 x
2a 2 (12 36 x) 30a
12 x
6a.………………………………………………………..……….……………8’
当且仅当 x 6时取“=”，…………………………………………………….10’
当 x 9时， S 0……………………………………………………………..11’
答：日产量为 6万件时，可获得最大利润。……………….………….…………….12’
{#{QQABTYqUggigQhBAAQgCUwWQCgEQkBAAAAoOAAAAoAAAQAFABAA=}#}
21. 解析：（1）若 g(x) x2 ，则 f (x) x3 a
x
函数的定义域为 ( , 0) (0, )，关于数 0对称，…………………1’
f ( x) ( x)3 a a (x3 ) f (x) ，
x x
则 f (x)是偶函数…………………………………………………………4’
(2) 若 g(x) x a，则 f (x) x3
x
任意 x1, x
1 1
2 [ , ]，4 2
| f (x ) f (x ) | | x 2 a a1 2 1 (x
2
2 ) | | x
2 x 2 a(x2 x1)1 2 |x1 x2 x1x2
| x a1 x2 || x1 x2 | | x1 x2 |…………………………………………………………7’x1x2
若 x1 x2 ，则 a R ;………………………………………………………………………….8’
若 x1 x2 ，则 | x1 x
a
2 | 1，即 1 x x
a
1 2 1，x1x2 x1x2
也即 x1x2 (x1 x2 1) a x1x2 (x1 x2 1) ，………………………………………………9’
因为 x1, x
1 1
2 [ , ]， x1 x
3
2 ，则 x1x2 (x1 x2 1) 4 2 32
x1x2 (x1 x2 1) 0
3
，所以， 0 a 。
32
3
综上，当0 a 时，不等式 | f (x1) f (x2) | | x1 x2 |对任意 x1, x2 [
1 , 1]恒成立.
32 4 2
………………………………………………..……………………………………………….12’
22. 解析（1） f x 是定义在 3,3 上的奇函数，则 f (0) 0，…………………1’
当 x [ 3,0)时，则 x (0,3]
1 1
， f ( x) 1 | x 1| 1 | x 1|，
2 2
又 f x 1是奇函数，则 f (x) f ( x) 1 | x 1|
2
1
1
| x 1 |, 3 x 0
2
所以， f x 0, x 0
1 1 | x 1|,0 x 3
2
…………………………………..………………..3’
{#{QQABTYqUggigQhBAAQgCUwWQCgEQkBAAAAoOAAAAoAAAQAFABAA=}#}
3 1
（2）解：设1 a b 3，函数 f x x，
2 2
f (x) 1 1在 1,3 上递减，且 f x 在 a,b 上的值域为 , ，所以， b a
f b 3 1 1 b
2 2 b
3 1 1
f a a ，………………………………………………………………….5’
2 2 a
1 a b 3
a 1
解得 ，
b 2
所以，函数 f x 在 1,3 内的“倒值映射区间”为 1,2 …………………………………7’
（3）解： f x 在 a,b 时，函数值 f x 1 1 的取值区间恰为 , ， b a
a b
a b
其中 a b且 a 0，b 0，所以， 1 1 ，则 ，
ab 0 b a
只考虑0 a b 3或
3 a b 0，……………………………………………………………………………8’
①当0 a b 3时，因为函数 f x 在 (0,1]上单调递增，在 1,3 上单调递减，
故当 x (0,3]时， f x f 1 1 1max ，则 1，所以，1 a 3，则1 a b 3，a
由（2）知，此时 f x 的 “倒值映射区间”为 1,2 ；………………………….………10’
②当 3 a b 0时，同理可得 f x 的 “倒值映射区间”为 2, 1
f x 2, 1
综上，函数 在定义域内的“倒值映射区间”为[1, 2]和 ………………………12’
{#{QQABTYqUggigQhBAAQgCUwWQCgEQkBAAAAoOAAAAoAAAQAFABAA=}#}高邮市2023-2024学年高一上学期10月学情调研测试
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合且，则等于( )
A.1 B. C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 设，则（ ）
A. B. C. 1 D.
5.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知为非零实数，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，任意 ，都有 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
8．已知集合，若，且同时满足：若，则；②若，则. 则集合的个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值8 B. ab有最小值
C. 的最小值是4 D. 的最小值是
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．存在实数m，使得为偶函数；
B．存在实数m，使得为奇函数；
C．任意，存在实数，使得；
D．若在区间上单调递减，的最大值为.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知“，使得”是假命题，则实数的取值范围为 ．
14. 若函数，且，则实数的值为 .
15. 函数的值域为________．
16. 设集合，,则实数的取值范围是_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 本题满分10分.
已知集合 , ，，实数集为全集．
（1）求，；
（2）若的必要条件，求的取值范围．
18. 本题满分12分.
（1）
（2）
19. 本题满分12分.
已知二次函数满足：.
（1）求的解析式；
（2）判定函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明.
20. 本题满分12分.
某工厂生产某种元器件，受技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（注：次品率=次品数/生产量），已知每生产1件合格的元件可以盈利2a元，但每生产1件次品将亏损a元．
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 S（万元）表示为日产量（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
21. 本题满分12分.
已知函数.
（1）若，判定函数的奇偶性；
（2） 若，是否存在实数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求的取值范围；否则说明理由.
22. 本题满分12分.
定义：对于函数，当时，的取值集合为，则称区间为函数的一个“倒值映射区间”. 已知一个定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求函数在内的“倒值映射区间”；
(3)求函数在定义域内的所有“倒值映射区间”.
