专题16.9二次根式的加减 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练
文档属性
| 名称 | 专题16.9二次根式的加减 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 478.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-23 22:37:16 | ||
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文档简介
专题 16.9 二次根式的加减（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．计算：的结果为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
5．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9
7．如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（ ）
A． B． C． D．
8．若实数x、y满足 ，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2或
9．代数式的最小值是（ ）
A．0 B．3 C． D．不存在
10．已知整数，，，，……，满足下列条件：＝1，，，，……，以此类推，则＋＋＋…＋的值为 ( )
A．1009 B．1010 C．1011 D．2019
二、填空题
11．计算： ．
12．若最简二次根式和能合并，则＝ ．
13．已知是的整数部分，是的小数部分，则 ．
14．已知，，则代数式的值为 ．
15．计算：= ．
16．分母有理化： ．
17．比较大小： ．（选填“”、“”或“”）
18．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，，，则此三角形的面积为 ．
三、解答题
19．如果最简二次根式与是同类二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：
20．比较大小.
(1)与6
(2)与
21．计算．
(1)
(2)
22．计算：
(1)；
(2)．
23．已知，完成以下两题：
(1)化简
(2)求代数式的值．
24．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式．
比如：．善于动脑的小明继续探究：
当为正整数时，若，则有，所以，．
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： ， ；
(2)若，且为正整数，求的值．
(3)计算：
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A.，与是同类二次根式，不符合题意；
B. ，与不是同类二次根式，符合题意；
C. ，与是同类二次根式，不符合题意；
D. ，与是同类二次根式，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式化简以及同类二次根式的知识，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可
【详解】根据题意得：
，且，，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键
3．B
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意，选项错误；
B、，计算正确，符合题意，选项正确；
C、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意，选项错误；
D、，计算错误，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
4．D
【分析】根据实数的运算法则计算即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】此题考查了化简绝对值、零指数幂、二次根式的加减法，解题的关键熟悉运算法则．
5．B
【分析】先化简，再估算，求和判断即可．
【详解】因为，，
所以，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的估算，熟练掌握二次根式的化简和估算是解题的关键．
6．D
【分析】先计算，将原式化为只有一个根号，再进行估算.
【详解】解：
∵
∴68＜39+＜69，
∴的运算结果应在8和9之间，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的计算，无理数的估算.能将原式化为只有一个根号是解题的关键.
7．B
【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：由三角形的面积公式可得所求高为：
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
8．D
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性，即可求得x、y的值，据此即可求得．
【详解】解：实数x、y满足 ，，，
且，
解得x=3且，
当x=3，y=1时，，
当x=3，y=-1时，，
故的值为2或，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式及绝对值的非负性，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性是解决本题的关键．
9．B
【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据，，都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．
【详解】解：若代数式++有意义，
则，
解得：x≥2，
∵由，，都随x的增大而增大，
∴当x＝2时，代数式的值最小，
即++＝1+0+2＝3．
故选：B．
【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．
10．B
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以发现这组数据的变化规律，进而可以得到＋＋＋…＋的值．
【详解】由题意可得，
＝1，，，，……，
∴＋＋＋…＋＝1＋0＋1＋…＋1=1010，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出相应的项的值．
11．
【分析】先把化简，再进行二次根式的减法计算．
【详解】解：原式 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握计算法则以及二次根式的性质是解题关键，本题是基础题．
12．5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到是解题的关键．
13．
【分析】根据有理数的估算可知的整数部分是，小数部分是，进而得出的值，代入计算即可．
【详解】解：，
，，
的整数部分是，的整数部分是，
是的整数部分，是的小数部分，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算，根据题意得出相应式子的整数部分和小数部分是解本题的关键．
14．
【分析】先利用平方差公式对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、平方差公式的应用以及二次根式混合运算，熟练掌握先关知识和运算法则是解题关键．
15．
【分析】根据二次根式性质，进行分母有理化即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法和二次根式的性质．
16．
【分析】根据，则可得原式的倒数为，继而化简得出，则可得原式为，然后分子分母同乘以即可得出答案．
【详解】解：，
∴原式的倒数
，
∴原式；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握分数的性质以及平方差公式是解本题的关键．
17．
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
18．
【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．
【详解】解：，
三角形的面积
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握（a≥0，b≥0）是解题的关键．
19．(1)3
(2)4
【分析】(1)根据同类二次根式的被开方数相等可列出方程，解出即可；
(2)根据(1)可得3≤x≤6，再根据完全平方公式及去绝对值符号法则进行运算，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴4a-5=13-2a，
解得a=3；
（2）解：∵a≤x≤2a，a=3，
∴3≤x≤6，
∴
=4．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，去绝对值符合号法则，熟练掌握和运用各定义和法则是解决本题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据实数的大小比较法则即可得；
（2）将两个数作差，根据实数的运算法则、无理数的估算即可得．
【详解】（1）解：，
，
即．
（2）解：
，
，
，即，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、实数的运算，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再进行加减运算；
（2）先计算立方根、算术平方根和绝对值，再计算加减．
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=
【点睛】此题考查了实数的混合运算及二次根式的混合运算，关键是能准确理解运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
22．(1)4
(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂，零次幂，求一个数的算术平方根进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
23．(1)
(2)5
【分析】（1）分母有理化即可化简二次根式；
（2）先求出，的值，运用整体代入解题．
【详解】（1）
；
（2）
原式
．
【点睛】本题考查求代数式的值，二次根式的化简，整体代入简化过程是解题的关键．
24．(1)，；
(2)46或14；
(3)
【分析】（1）把等式右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）将右边展开，整理可得：，结合为正整数，即可先求得的值，再求的值即可；
（3）先仿照题意求出，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴， ，
又∵为正整数，
∴，或，
∴当时，；当，，
∴的值为：46或14；
（3）解：∵，
∴，
同理，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的相关计算，正确理解题意是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．能够使与是同类最简二次根式的x值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．计算：的结果为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
5．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）
A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9
7．如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（ ）
A． B． C． D．
8．若实数x、y满足 ，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2或
9．代数式的最小值是（ ）
A．0 B．3 C． D．不存在
10．已知整数，，，，……，满足下列条件：＝1，，，，……，以此类推，则＋＋＋…＋的值为 ( )
A．1009 B．1010 C．1011 D．2019
二、填空题
11．计算： ．
12．若最简二次根式和能合并，则＝ ．
13．已知是的整数部分，是的小数部分，则 ．
14．已知，，则代数式的值为 ．
15．计算：= ．
16．分母有理化： ．
17．比较大小： ．（选填“”、“”或“”）
18．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，，，则此三角形的面积为 ．
三、解答题
19．如果最简二次根式与是同类二次根式．
(1)求出a的值；
(2)若a≤x≤2a，化简：
20．比较大小.
(1)与6
(2)与
21．计算．
(1)
(2)
22．计算：
(1)；
(2)．
23．已知，完成以下两题：
(1)化简
(2)求代数式的值．
24．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式．
比如：．善于动脑的小明继续探究：
当为正整数时，若，则有，所以，．
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： ， ；
(2)若，且为正整数，求的值．
(3)计算：
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A.，与是同类二次根式，不符合题意；
B. ，与不是同类二次根式，符合题意；
C. ，与是同类二次根式，不符合题意；
D. ，与是同类二次根式，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式化简以及同类二次根式的知识，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可
【详解】根据题意得：
，且，，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键
3．B
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意，选项错误；
B、，计算正确，符合题意，选项正确；
C、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意，选项错误；
D、，计算错误，不符合题意，选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
4．D
【分析】根据实数的运算法则计算即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】此题考查了化简绝对值、零指数幂、二次根式的加减法，解题的关键熟悉运算法则．
5．B
【分析】先化简，再估算，求和判断即可．
【详解】因为，，
所以，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的估算，熟练掌握二次根式的化简和估算是解题的关键．
6．D
【分析】先计算，将原式化为只有一个根号，再进行估算.
【详解】解：
∵
∴68＜39+＜69，
∴的运算结果应在8和9之间，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的计算，无理数的估算.能将原式化为只有一个根号是解题的关键.
7．B
【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：由三角形的面积公式可得所求高为：
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
8．D
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性，即可求得x、y的值，据此即可求得．
【详解】解：实数x、y满足 ，，，
且，
解得x=3且，
当x=3，y=1时，，
当x=3，y=-1时，，
故的值为2或，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式及绝对值的非负性，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性是解决本题的关键．
9．B
【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据，，都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．
【详解】解：若代数式++有意义，
则，
解得：x≥2，
∵由，，都随x的增大而增大，
∴当x＝2时，代数式的值最小，
即++＝1+0+2＝3．
故选：B．
【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．
10．B
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以发现这组数据的变化规律，进而可以得到＋＋＋…＋的值．
【详解】由题意可得，
＝1，，，，……，
∴＋＋＋…＋＝1＋0＋1＋…＋1=1010，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出相应的项的值．
11．
【分析】先把化简，再进行二次根式的减法计算．
【详解】解：原式 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握计算法则以及二次根式的性质是解题关键，本题是基础题．
12．5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到是解题的关键．
13．
【分析】根据有理数的估算可知的整数部分是，小数部分是，进而得出的值，代入计算即可．
【详解】解：，
，，
的整数部分是，的整数部分是，
是的整数部分，是的小数部分，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算，根据题意得出相应式子的整数部分和小数部分是解本题的关键．
14．
【分析】先利用平方差公式对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、平方差公式的应用以及二次根式混合运算，熟练掌握先关知识和运算法则是解题关键．
15．
【分析】根据二次根式性质，进行分母有理化即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法和二次根式的性质．
16．
【分析】根据，则可得原式的倒数为，继而化简得出，则可得原式为，然后分子分母同乘以即可得出答案．
【详解】解：，
∴原式的倒数
，
∴原式；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握分数的性质以及平方差公式是解本题的关键．
17．
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
18．
【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．
【详解】解：，
三角形的面积
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握（a≥0，b≥0）是解题的关键．
19．(1)3
(2)4
【分析】(1)根据同类二次根式的被开方数相等可列出方程，解出即可；
(2)根据(1)可得3≤x≤6，再根据完全平方公式及去绝对值符号法则进行运算，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴4a-5=13-2a，
解得a=3；
（2）解：∵a≤x≤2a，a=3，
∴3≤x≤6，
∴
=4．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，去绝对值符合号法则，熟练掌握和运用各定义和法则是解决本题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据实数的大小比较法则即可得；
（2）将两个数作差，根据实数的运算法则、无理数的估算即可得．
【详解】（1）解：，
，
即．
（2）解：
，
，
，即，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、实数的运算，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再进行加减运算；
（2）先计算立方根、算术平方根和绝对值，再计算加减．
【详解】（1）
=
=
（2）
=
=
【点睛】此题考查了实数的混合运算及二次根式的混合运算，关键是能准确理解运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
22．(1)4
(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂，零次幂，求一个数的算术平方根进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
23．(1)
(2)5
【分析】（1）分母有理化即可化简二次根式；
（2）先求出，的值，运用整体代入解题．
【详解】（1）
；
（2）
原式
．
【点睛】本题考查求代数式的值，二次根式的化简，整体代入简化过程是解题的关键．
24．(1)，；
(2)46或14；
(3)
【分析】（1）把等式右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）将右边展开，整理可得：，结合为正整数，即可先求得的值，再求的值即可；
（3）先仿照题意求出，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴， ，
又∵为正整数，
∴，或，
∴当时，；当，，
∴的值为：46或14；
（3）解：∵，
∴，
同理，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的相关计算，正确理解题意是解题的关键．
答案第1页，共2页
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