专题16.10二次根式 全章复习与巩固 知识讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练
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| 名称 | 专题16.10二次根式 全章复习与巩固 知识讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 922.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-23 22:39:07 | ||
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文档简介
专题16.10二次根式（全章复习与巩固）（知识讲解）
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质．
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算．
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用．
【要点梳理】
要点一、二次根式的相关概念和性质
1．二次根式
形如的式子叫做二次根式，如，，等式子，都叫做二次根式．
特别说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义．
2．二次根式的性质
（1）
（2）
（3）
特别说明：
（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即，如；；．
（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义．
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简．
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；，．
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时．
3．最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2）被开方数中不含能开方的因数或因式．
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．如等都是最简二次根式．
特别说明：最简二次根式有两个要求：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2．
4．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断．如与，由于，与显然是同类二次根式．
要点二、二次根式的运算
1． 乘除法
（1）乘除法法则：
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法 商的算术平方根化简公式：
特别说明：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如．
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）．如．
2．加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式．
特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式．如．
【典型例题】
类型一、二次根式 概念 有意义条件 二次根式的性质
（2022春·四川乐山·九年级统考期中）
1．已知实数、满足，求的值．
举一反三：
（2022秋·上海·七年级校考期中）
2．化简：．
（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）
3．已知，且x为偶数，求的值．
（2022·全国·八年级专题练习）
4．已知a、b、c是三角形的三边，化简：．
举一反三：
（2022·全国·八年级专题练习）
5．比较和的大小（平方法）
（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）
6．一天老师在黑板上出示：求代数式的值，其中．如图是小明和小芳的解答过程：
(1) 的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
类型二、二次根式 相关概念 最简二次根式 同类二次根式
（2022·全国·八年级假期作业）
7．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
举一反三：
（2020秋·山东济南·八年级校考阶段练习）
8．如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值．
（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）
9．阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
类型三、二次根式 二次根式的乘除 运算 化简
（2021春·上海·八年级校考阶段练习）
10．
举一反三：
（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）
11．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）
12．计算
(1)
(2)
类型四、二次根式 二次根式的加减 运算 化简
13．计算：
举一反三：
（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）
14．计算下列各题；
(1)
(2)
（2022春·全国·八年级期末）
15．计算：
(1)．
(2)．
类型五、二次根式 二次根式的混合运算 运算 化简
（2020秋·重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）
16．计算．
(1)．
(2)．
举一反三：
（2022春·四川攀枝花·九年级统考期中）
17．计算题
(1)
(2)
（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
（2022春·上海静安·八年级校考期中）
19．先化简：，再求当，时的值．
举一反三：
（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）
20．化简并求值：已知，求的值．
（2022秋·安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）
21．已知，，求的值．
类型六、二次根式 综合与拓展
（2022春·江西抚州·八年级统考期中）
22．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下
＝
＝
=
(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简．
(2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若 ，则，所以，若 ，且a，m，n为正整数，；求a，m，n的值．
举一反三：
（2022秋·广西南宁·八年级统考期中）
23．【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：；
．
【类比归纳】
(1)请你仿照宾宾的方法将化成另一个式子的平方；
(2)请运用宾宾的方法化简；．
【变式探究】
(3)若，且a，m，n均为正整数，则______．
（2021春·甘肃兰州·八年级统考期中）
24．阅读材料，并回答问题：形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
（1）问题：的有理化因式是________，的有理化因式是________．
（2）应用：分母有理化．
（3）拓展：比较大小与．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，从而得出的结果．
【详解】解：由题意可知，
解得：，
则，
∴
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件及负整数指数幂的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．
2．
【分析】首先根据题意，由二次根式存在性可得，，化简得，再由a的取值范围，求得，化简及，最后进行整式运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的存在性，绝对值的化简，根式的化简，掌握二次根式的存在性及正确化简是解题的关键．
3．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解不等式组，可求得x的范围，然后根据x是偶数即可确定x的值，然后对所求的式子进行化简，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得：6＜x≤9，
∵x为偶数，
∴x＝8．
∵原式＝（1+x）
＝（x+1）
=．
∴当x＝8时，原式=．
【点睛】本题主要考查了二次根式，分式，不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解不等式组，二次根式的化简求值，是解决问题的关键．
4．
【分析】根据三角形三边关系确定出每个括号内的正负，然后根据二次根式的性质去根号即可．
【详解】解：∵a，b，c为三角形三边，
∴，，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，整式加减运算，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系，是解题的关键．
5．
【分析】利用平方法，即可比较出大小．
【详解】解：，，
，
，
又，，
．
【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．
6．(1)小亮
(2)2028
【分析】（1）根据二次根式的非负性可判断小亮的解法是错误的；
（2）根据二次根式的非负性化简原式并代值求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查二次根式的性质、代数式求值，熟记完全平方公式，掌握二次根式的非负性是解答的关键．
7．1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
8．x=4，y=3．
【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．
【详解】∵最简二次根式与同类二次根式，
∴3a+4=19-2a，
解得，a=3，
∴，即
∵≥0，≥0，
∴12-3x=0，y-3=0，
解得，x=4，y=3．
【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键．
9．1，21，61（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可．
【详解】解：与能合并，
为正整数），
，
，
又为正整数，
为偶数，
为奇数，
当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
10．
【分析】根据二次根式的乘除计算法则和化简法则求解即可．
【详解】解原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简， 正确化简二次根式是解题关键．
11．(1)
(2)1
(3)18
【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可．
【详解】（1）解：
（2）
＝1；
（3）
＝18．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可；
（2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可；
【详解】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则．
13．
【分析】先根据二次根式性质化简，再结合去括号法则及二次根式混合运算逐步计算，最后合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、去括号法则、二次根式加减乘除运算法则及合并同类二次根式等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的性质及加减运算，正确化简各个二次根式是解答的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方与开方，再计算加减即可；
（2）先求绝对值，再去括号，然后合并同类二次根式即可
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，绝对值，熟练掌握实数法则和合并同类二次根式法则是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，解题的关键是结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；
（2）根据二次根式的运算求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
18．(1)
(2)8
(3)
(4)0
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（3）直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质与化简，再利用二次根式的除法运算法则计算，进而得出答案．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．原式，当，时，原式
【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式．
20．；5
【分析】将的值分子分母同时乘以化简，把所求式子配方变形，将的值代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，完全平方公式，以及配方法的应用，是一道技巧性较强的试题．
21．18
【分析】先将条件变形为：，，然后将结论变形，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴ab＝1，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式 的运用，正确求出，是解答本题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据阅读材料和完全平方公式以及二次根式的性质解答；
（2）先将展开，然后与对边得到、，再根据确定m、n的值，进而求得a的值．
【详解】（1）解：
=
=．
（2）解：∵
∴，
∵
∴，，．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)10或22
【分析】（1）将7看成是2+5，则，由此求解即可；
（2）将11看成是9+2，则，由此求解即可；
（3）根据，，可以得到，，
再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可．
【详解】（1）
（2）
（3）∵，，
∴，，
∵a，m，n均为正整数，
∴，
∴或．
故答案为：10或22
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
24．（1），；（2）；（3）
【分析】（1）利用有理化因式的定义求解即可；
（2）把分子分母都乘以即可；
（3）通过比较两个数的倒数的方法比较它们的大小．
【详解】解：（1）由题意可得，的有理化因式是，的有理化因式是
故答案为：，
（2）；
（3），
而
∴
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的分母有理化，二次根式大小的比较，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质．
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算．
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用．
【要点梳理】
要点一、二次根式的相关概念和性质
1．二次根式
形如的式子叫做二次根式，如，，等式子，都叫做二次根式．
特别说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义．
2．二次根式的性质
（1）
（2）
（3）
特别说明：
（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即，如；；．
（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义．
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简．
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；，．
相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时．
3．最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2）被开方数中不含能开方的因数或因式．
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．如等都是最简二次根式．
特别说明：最简二次根式有两个要求：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2．
4．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断．如与，由于，与显然是同类二次根式．
要点二、二次根式的运算
1． 乘除法
（1）乘除法法则：
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法 商的算术平方根化简公式：
特别说明：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如．
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）．如．
2．加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式．
特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式．如．
【典型例题】
类型一、二次根式 概念 有意义条件 二次根式的性质
（2022春·四川乐山·九年级统考期中）
1．已知实数、满足，求的值．
举一反三：
（2022秋·上海·七年级校考期中）
2．化简：．
（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）
3．已知，且x为偶数，求的值．
（2022·全国·八年级专题练习）
4．已知a、b、c是三角形的三边，化简：．
举一反三：
（2022·全国·八年级专题练习）
5．比较和的大小（平方法）
（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）
6．一天老师在黑板上出示：求代数式的值，其中．如图是小明和小芳的解答过程：
(1) 的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
类型二、二次根式 相关概念 最简二次根式 同类二次根式
（2022·全国·八年级假期作业）
7．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
举一反三：
（2020秋·山东济南·八年级校考阶段练习）
8．如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值．
（2022春·广东梅州·八年级校考阶段练习）
9．阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
类型三、二次根式 二次根式的乘除 运算 化简
（2021春·上海·八年级校考阶段练习）
10．
举一反三：
（2022春·广东惠州·九年级校考开学考试）
11．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）
12．计算
(1)
(2)
类型四、二次根式 二次根式的加减 运算 化简
13．计算：
举一反三：
（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）
14．计算下列各题；
(1)
(2)
（2022春·全国·八年级期末）
15．计算：
(1)．
(2)．
类型五、二次根式 二次根式的混合运算 运算 化简
（2020秋·重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）
16．计算．
(1)．
(2)．
举一反三：
（2022春·四川攀枝花·九年级统考期中）
17．计算题
(1)
(2)
（2022春·河南平顶山·八年级统考期中）
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
（2022春·上海静安·八年级校考期中）
19．先化简：，再求当，时的值．
举一反三：
（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）
20．化简并求值：已知，求的值．
（2022秋·安徽安庆·八年级安徽省安庆市外国语学校校考期中）
21．已知，，求的值．
类型六、二次根式 综合与拓展
（2022春·江西抚州·八年级统考期中）
22．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下
＝
＝
=
(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简．
(2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若 ，则，所以，若 ，且a，m，n为正整数，；求a，m，n的值．
举一反三：
（2022秋·广西南宁·八年级统考期中）
23．【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：；
．
【类比归纳】
(1)请你仿照宾宾的方法将化成另一个式子的平方；
(2)请运用宾宾的方法化简；．
【变式探究】
(3)若，且a，m，n均为正整数，则______．
（2021春·甘肃兰州·八年级统考期中）
24．阅读材料，并回答问题：形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
（1）问题：的有理化因式是________，的有理化因式是________．
（2）应用：分母有理化．
（3）拓展：比较大小与．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，从而得出的结果．
【详解】解：由题意可知，
解得：，
则，
∴
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件及负整数指数幂的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．
2．
【分析】首先根据题意，由二次根式存在性可得，，化简得，再由a的取值范围，求得，化简及，最后进行整式运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的存在性，绝对值的化简，根式的化简，掌握二次根式的存在性及正确化简是解题的关键．
3．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解不等式组，可求得x的范围，然后根据x是偶数即可确定x的值，然后对所求的式子进行化简，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得：6＜x≤9，
∵x为偶数，
∴x＝8．
∵原式＝（1+x）
＝（x+1）
=．
∴当x＝8时，原式=．
【点睛】本题主要考查了二次根式，分式，不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解不等式组，二次根式的化简求值，是解决问题的关键．
4．
【分析】根据三角形三边关系确定出每个括号内的正负，然后根据二次根式的性质去根号即可．
【详解】解：∵a，b，c为三角形三边，
∴，，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，整式加减运算，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系，是解题的关键．
5．
【分析】利用平方法，即可比较出大小．
【详解】解：，，
，
，
又，，
．
【点睛】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键．
6．(1)小亮
(2)2028
【分析】（1）根据二次根式的非负性可判断小亮的解法是错误的；
（2）根据二次根式的非负性化简原式并代值求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查二次根式的性质、代数式求值，熟记完全平方公式，掌握二次根式的非负性是解答的关键．
7．1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
8．x=4，y=3．
【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可．
【详解】∵最简二次根式与同类二次根式，
∴3a+4=19-2a，
解得，a=3，
∴，即
∵≥0，≥0，
∴12-3x=0，y-3=0，
解得，x=4，y=3．
【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键．
9．1，21，61（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可．
【详解】解：与能合并，
为正整数），
，
，
又为正整数，
为偶数，
为奇数，
当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
10．
【分析】根据二次根式的乘除计算法则和化简法则求解即可．
【详解】解原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简， 正确化简二次根式是解题关键．
11．(1)
(2)1
(3)18
【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；
（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可．
【详解】（1）解：
（2）
＝1；
（3）
＝18．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可；
（2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可；
【详解】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则．
13．
【分析】先根据二次根式性质化简，再结合去括号法则及二次根式混合运算逐步计算，最后合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、去括号法则、二次根式加减乘除运算法则及合并同类二次根式等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的性质及加减运算，正确化简各个二次根式是解答的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘方与开方，再计算加减即可；
（2）先求绝对值，再去括号，然后合并同类二次根式即可
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，二次根式的加减运算，绝对值，熟练掌握实数法则和合并同类二次根式法则是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，解题的关键是结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；
（2）根据二次根式的运算求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
18．(1)
(2)8
(3)
(4)0
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（3）直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质与化简，再利用二次根式的除法运算法则计算，进而得出答案．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．原式，当，时，原式
【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，以及运用平方差公式．
20．；5
【分析】将的值分子分母同时乘以化简，把所求式子配方变形，将的值代入计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：分母有理化，完全平方公式，以及配方法的应用，是一道技巧性较强的试题．
21．18
【分析】先将条件变形为：，，然后将结论变形，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴ab＝1，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式 的运用，正确求出，是解答本题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据阅读材料和完全平方公式以及二次根式的性质解答；
（2）先将展开，然后与对边得到、，再根据确定m、n的值，进而求得a的值．
【详解】（1）解：
=
=．
（2）解：∵
∴，
∵
∴，，．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)10或22
【分析】（1）将7看成是2+5，则，由此求解即可；
（2）将11看成是9+2，则，由此求解即可；
（3）根据，，可以得到，，
再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可．
【详解】（1）
（2）
（3）∵，，
∴，，
∵a，m，n均为正整数，
∴，
∴或．
故答案为：10或22
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意．
24．（1），；（2）；（3）
【分析】（1）利用有理化因式的定义求解即可；
（2）把分子分母都乘以即可；
（3）通过比较两个数的倒数的方法比较它们的大小．
【详解】解：（1）由题意可得，的有理化因式是，的有理化因式是
故答案为：，
（2）；
（3），
而
∴
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的分母有理化，二次根式大小的比较，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页