2024年广东省普通高中数学科学业水平考试模拟试题四答案
一、选择题.
1.C解：，.故选C.
2.C解：，，，故选C.
3.D解：对于A：与互相推不出是既不充分也不必要条件，对于B：是充要条件，对于C：
是充要条件，对于D：若，得，则，反之不成立，即是成立的充分
不必要条件，故选：D．
4.B解：根据条件，将所求式子转化为，利用基本不等式求最值即可.因为，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选B.
5.A解：设幂函数，它的图象经过点，，，.，，
故选A.
6.D解：由题意知，，，，故．故选D．
7.A解：，，.故选：A.
8.A解：.
9.C解：用随身携带的橡皮作为长方体参照物进行比对，很容易可以得出答案.
10.B解：把成绩按从低到高的顺序排列为，，，，，，，，，，，，，，.因为，所以这人成绩的第百分位数是.
11.B解：因为在中，，所以由余弦定理可得，所以，所以，又，所以.
12.B解：从，，，，这个数中随机抽取个数，分别记为，，基本事件有个，分别为：，
，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，为整数包含的基本事件有个，分别为：，，，，，则为整数的概率
为.故选：B.
二、填空题.
13.解：由题意，得该圆柱的底面半径为，高为，故其表面积.
14.解：利用角的关系，建立函数值的关系求解.已知，且，则，故.
15.解：先计算业务人员、管理人员、后勤人员的人数的比例，再根据这个比例计算需要抽取的人数.分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，，所以抽取的业务人员的人数是，故答案为：
16.解：，所以.故答案为：
17.或解：当时，；当时，，所以，或.
18.解：解：，，当且仅当，即时取等号，的最小值是.故答案为：.
三、解答题.
19.解：若选择①，由正弦定理得.（利用正弦定理边角互化）因为，所以
，.因为，所以.若选择②，由余弦定理得.
因为，所以.若选择③，则，所以.因为，
所以，所以，所以.因为，，，所以.（利用三
角形的面积公式列方程，解方程求得，体现了方程思想）由余弦定理得，
所以.
20.解：(1)由题意可知，解得
(2)抽取的样本中，成绩不低于分的学生所占的比例是：，所以若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于分的概率为.
(3)因为，因此估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分为.
21.解：(1)依题意有
(2)当时,,此时时,取得最大值,为元;
当时,,当且仅当时,即时,取得最大值,为万元.综上可知,当年产量为台时,该厂在生产中获利最大,最大利润为万元.
22.解：(1)取中点为，连接，，
则为中位线，且，又四边形是直角梯形，，，.且，四边形为平行四边形，所以，因为面，面，所以面．
(2)在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，
，，，设点在面上投影在线段上，设为点，
面，面，，又，，面．2024年广东省普通高中数学科学业水平考试模拟试题四
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.当时，的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若幂函数经过点，且，则( )
A. B. C. D.
6.设，，，则，，的大小关系为( )．
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在四边形中，设，，，则等于( )
A. B. C. D.
9.设、为两条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是( ).
A. 若，，，则； B. 若，，，则；
C. 若，，，则； D. 若，，，则.
10.以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩（单位：分）：
则这人成绩的第百分位数是( )
A. B. C. D.
11.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角的大小为( )
A. B. C. D.
12. 从，，，，这个数中随机抽取个数，分别记为，，则为整数的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13.某圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则该圆柱的表面积为____.
14.若，则____.
15.某单位有职工人，其中有业务人员人，管理人员人，后勤人员人.为了了解职工的某种情况，要从
中抽取一个容量为的样本.用分层抽样的方法抽取的业务人员的人数是____.
16.已知复数满足，则____.
17.已知函数.，则____.
18.已知，则的最小值是____.
三、解答题：本大题共4小题，其中第19-21题每小题10分，第22题12分，共42分.
19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.问题：已知的内角，，的对边分别为，，， ，的面积为，，求.
20.某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至
之间，将数据按照，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方
图中的值；(2)若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于分的概率：(3)假设同组中的每
个数据都用该组区间的中点值代替，估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分.
21.某小型机械厂有工人共名,工人年薪万元/人,据悉该厂每年生产台机器,除工人工资外,还需投入成本为
(万元),且每台机器售价为万元.通过市场分析,该厂生产的机器能全部
售完.(1)写出年利润(万元)关于年产量的函数解析式;(2)问:年产量为多少台时,该厂所获利润最大
22. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，.(1)若
为中点，证明：面.(2)若点在面上投影在线段上，，证明：面．
