2023-2024学年苏科版八年级数学上《3.1勾股定理》强化提优训练（二）(含答案)

2023-2024学年苏科版八年级数学上《3.1勾股定理》强化提优训练（二）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图。观察图形，可以验证（　　）公式。
A. （a＋b）（a－b）＝a2－b2 B. （a＋b）2＝a2－2ab＋b2
C. c2＝a2＋b2 D. （a－b）2＝a2－2ab＋b2
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2. 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，过A点作AD⊥BC，垂足为D，若AD＝12，则△ABC的周长是（ ）
A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或33
3. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在△ABC中，边长是整数的边有（ ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
4 如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列关系式中不正确的是（ ）　
A. x2＋y2＝49 B. x－y＝2 C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
5. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米
6. 如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（ ）
A. 2k B. k+1 C. k2－1 D. k2+1
7．如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（　　）
A．15 B． C．9 D．
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）
A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
9.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10.如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
二．填空题(30分)
11. 如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 __ _______。
第11题图 第12题图 第13题图
12. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是______。
13.数形结合是重要的思想和解题方法,如:“当014.勾股定理最早出现在《周髀算经》中:“勾广三,股修四,径隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差1,柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是　　　　(结果用含m的式子表示).
15.如图①,直角三角形纸片的一条直角边长为5,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图②所示的方式放入一个边长为13的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图②中阴影部分的面积为　 .
① ②
第15题图 第16题图 第17题图
16.如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为_______.
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为　 　．
18.如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是____________.
第18题图 第19题图 第20题图
19．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，则∠APB＝_____．
20.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3 ， 则S1+S2+S3=________.
三。解答题（60分）
21.（8分）已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
22.（8分）如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D.
（1）求证：PD=DQ；
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长.
23.（8分）如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD＝4，BD＝3，CD＝5.
判断△DEC的形状，并说明理由；
(2)求∠ADB的度数．
24.（12分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；
S大正方形=_____，还可以表示为_____，所以可得到_______=______，化简后最终得到____．
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．
25.（12分）已知，等腰，在直角边的左侧作直线，点关于直线的对称点为，连结，，其中交直线于点．
（1）当时，求的度数；
（2）当时，利用图1，度数；
（3）若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
26.（12分）在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．
（1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
教师样卷
一．选择题(30分）
1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图。观察图形，可以验证（　C　）公式。
A. （a＋b）（a－b）＝a2－b2 B. （a＋b）2＝a2－2ab＋b2
C. c2＝a2＋b2 D. （a－b）2＝a2－2ab＋b2
第1题图 第3题图 第4题图 第5题图
2. 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，过A点作AD⊥BC，垂足为D，若AD＝12，则△ABC的周长是（ C ）
A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或33
3. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在△ABC中，边长是整数的边有（ C ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
4 如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列关系式中不正确的是（ D ）　
A. x2＋y2＝49 B. x－y＝2 C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
5. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ B ）
A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米
6. 如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（ D ）
A. 2k B. k+1 C. k2－1 D. k2+1
7．如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（　D　）
A．15 B． C．9 D．
解：如图，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，DE的长即为所求，∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝16，∴AD⊥BC，BD＝DC＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝15，∵S△ADC＝ AD CD＝ AC DE，∴×15×8＝×17 DE，得DE＝故选：D．
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　C　）
A．S1﹣S2 B．S1+S2 C．2S1﹣S2 D．S1+2S2
解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，故选：C．
9.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ C ）
A．9 B．8 C．7 D．6
解:∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，
∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG DG＝GF2+2CG DG，S2＝GF2，
S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG NF，
∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF＝3GF2，∴S2的值是：7．故选：C．
10.如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ C ）
A．12 B．32 C．64 D．128
解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形， ；
图（4）比图（3）多出16个正方形， ；
图（5）比图（4）多出32个正方形， ；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．
二．填空题(30分)
11. 如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 __ a2＋b2＝c2 _______。
第11题图 第12题图 第13题图
12. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是__10_____。
解：分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为，由勾股定理得出＝7，＝3，＝10，即最大正方形的面积为10。
13.数形结合是重要的思想和解题方法,如:“当0解：如图,根据题意可得,AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,PD=4-x,当AP、BP共线时,代数式有最小值,最小值为线段AB的长,在Rt△ABE中,AE=AC+CE=1+2=3,BE=CD=4,AB2=AE2+BE2,∴AB=5,∴代数式的最小值是5.
14.勾股定理最早出现在《周髀算经》中:“勾广三,股修四,径隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差1,柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是　m2+1　　　(结果用含m的式子表示).
解:　∵2m为偶数,∴设其股是a,则其弦为a+2,根据勾股定理得(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2-1. ∴其股为m2-1,则其弦为m2-1+2=m2+1.
15.如图①,直角三角形纸片的一条直角边长为5,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图②所示的方式放入一个边长为13的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图②中阴影部分的面积为　120　　　.
解:由题意可得,直角三角形纸片的斜边长为13,一条直角边长为5,故该直角三角形纸片的另一条直角边长为12,故阴影部分的面积是×5×12×4=120.
① ②
第15题图 第16题图 第17题图
16.如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为_______.
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，∴AC BC＝AB CE，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝ ∴B′F＝
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为　 　．
解：连接AE，∵ED是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，∵AC＝9，BC＝12，∴CE＝12﹣x，∵∠ACE＝90°，∴AC2+CE2＝AE2，即92+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，故答案为：．
18.如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是____________.
解：∵沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处,∴AD=AB=2,∠B=∠ADB.
∵折叠纸片,点C与点D重合∴CE=DE,∠C=∠CDE.BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,
∴∠ADB+∠CDE=90°,∴∠ADE=90°,∴AD2+DE2=AE2.设AE=x,则CE=DE=3-x,
∴22+(3-x)2=x2.解得x=,∴AE=.
第18题图 第19题图 第20题图
19．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，则∠APB＝__150°___．
20.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3 ， 则S1+S2+S3=___18_____.
解：过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I， ∴∠I=∠DFE=90°，∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°，∴∠AEI=∠DEF，∵AE=DE，∴△AEI≌△DEF(AAS)，∴AI=DF，∵EH=EF，∴S△AHE=S△DEF ， 同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF ， S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF ， ∵正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16， ∴DE2=DF2+EF2,∴△DEF是Rt三角形，且∠DFE=90°，∴S△DEF= ×3×4=6，∴S1+S2+S3=18.故答案为：18.
三。解答题（60分）
21.（8分）已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
解：（1）证明：∵a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1． ∴m2+1＞2m＞m2﹣1
∴(m2+1) 2＝m4+2m2+1(m2﹣1)+( 2m) 2 ＝m4+2m2+1即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形
（2）解：当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m＝3时，直角三角形的边长为5，12，13．（答案不唯一）
22.（8分）如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D.
（1）求证：PD=DQ；
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长.
解：（1）∵EF垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC=40°，∵AD⊥BC，BD=DE，∴AB=AE，
∴∠B=∠BEA=2∠C=80°，∴∠BAD=90°﹣80°=10°；
（2）由（1）知：AE=EC=AB，∵BD=DE，∴AB+BD=DE+AE=DE+CE=DC，∴DE=1.
23．（8分）如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD＝4，BD＝3，CD＝5. (1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数．
解：(1)△DEC是直角三角形，理由如下：因为△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，所以△CBE≌△ABD.所以BE＝BD＝3，CE＝AD＝4.又因为∠DBE＝60°，所以△BDE是等边三角形．所以DE＝BD＝3.又因为CD＝5，所以DE2＋CE2＝32＋42＝25＝52＝CD2.所以△DEC是直角三角形．
(2)由(1)，得∠DEC＝90°，△BDE是等边三角形，所以∠BED＝60°.所以∠BEC＝90°＋60°＝150°.因为△ABD≌△CBE，所以∠ADB＝∠BEC＝150°
24.（12分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；
S大正方形=_____，还可以表示为_____，所以可得到_______=______，化简后最终得到____．
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．
解：(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）；故答案为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②图2：大正方形的面积为，还可以表示为：四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，所以可得到，化简后最终得到：；故答案为：；；；；；
（2）解：设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为，由圆的面积公式得：，，，
由勾股定理得：，则，即，故答案为：；
（3）解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，由（2）可知，，则阴影部分的面积为
，故答案为：．
25.（12分）已知，等腰，在直角边的左侧作直线，点关于直线的对称点为，连结，，其中交直线于点．
（1）当时，求的度数；
（2）当时，利用图1，度数；
（3）若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
解：（1）如图1所示：∵由轴对称的性质得：，，，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴；
（2）由轴对称的性质得：，是的垂直平分线，∴，，
∴，，∴，∵，∴，∵
∴，∴，∴，即；
（3）解：，理由如下：如图2所示：作于，则，∵，∴，在和中，
，∴，∴，∵，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，，∵，∴．
26.（12分）在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．
（1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
解：（1）猜想： ，证明：如图2，过点作于点，设，则，
在Rt中，有, 在Rt中，有 ，
∴ ，解之：，
∵均为正数，∴ ；
（2）猜想： 证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则， 在Rt中，有，在Rt中，有 ，
∴，解之：，∵均为正数，∴ ；
（3）如图4，连接．在Rt中，有，∴，
∵，∴ ，过点作于点E，设，则EC=100-x，在Rt中，有，即，在Rt中，有，即 ，∴，解之：，
在Rt中，有，∴DE=（取正），∴DE=，
∴，=（米2），∴四边形ABCD的面积是米2．