(共27张PPT)
24.4.1弧长与扇形面积
人教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.理解并掌握弧长计算公式
2.会利用弧长公式进行简单
新知导入
下图是学校操场的环形跑道，你会计算环形跑道的长度吗？
环形跑道的长度=2条直线跑道长度之和+2个半圆组成的圆的周长
新知导入诶
运动会200米赛跑比赛中，为什么选手的起跑位置不在同一处？
因为不同的跑道，跑道一圈的长度不一样，要保证这些弯道的“展直长度”是一样的，所以运动员的起跑位置不在同一处，越靠近外侧的运动员所在跑道的长度越长，所以他的起跑位置越靠前.
新知讲解
我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看做是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
360°的圆心角所对的弧长
1°的圆心角所对的弧长
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：
C=2πR
新知讲解
在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中180，n表示倍分关系，没有单位。
在弧长公式中，l、n、R三个量做到知二推一
新知讲解
例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得的长
l =（mm）
因此所要求的展直长度
L=2×700+1570=2970 （mm）
新知讲解
观察图形，尝试给出扇形的概念？
定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
扇形OAB
O
A
B
圆心角占整个周角的 所对扇形面积是
新知讲解
1800
900
450
10
n0
归纳总结
扇形面积公式
在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积是
注意:
1、 扇形面积与圆心角和半径的大小有关；
2、 n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
新知讲解
你觉得扇形的面积与哪些因素有关？
根据扇形公式，可知扇形的面积与圆心角、半径有关.
新知讲解
试探索出弧长和扇形面积之间的关系（公式转化）
∵，S扇=，∴S扇=。∴S扇=。
通过上面的公式推导，可以用弧长表示扇形面积：S扇=，其中l为扇形的孤长，R为半径。
典例精析
例2、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。（结果保留小数点后两位）。
0
B
A
C
解：如图，连接OA,OB,过点O作 的垂线，垂足为D，交 于点C,连接AC。
∵OC=0.6cm，DC=0.3cm，
∴OD=OC-DC=0.3cm
∴OD=DC
又AD ⊥DC
∴AD是线段OC的垂直平分线
∴AC=AO=OC
D
典例精析诶
∴∠AOD=60°，∠AOB=120°
有水部分的面积S=S扇形-S△OAB=×0.62 - ≈0.22(m2).
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，在中，若，，则扇形 (阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
2．如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB=120°，OA=15m，，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
B
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，小红要制作一个高4cm，底面直径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是 .
4.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到，阴影部分为线段BC扫过的区域，已知AB=4，BC=3，则阴影部分面积为 .
15π
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S．
解 S=S扇形OAB-S扇形OCD，
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1) 求证：DP是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
解：(1) 如图，连接OD.
∵∠ACD=60°，∴∠AOD=2∠ACD=120°,
∴∠DOP=180°-120°=60°.
∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°-30°-60°=90°,
∴OD⊥DP.
又∵OD为⊙O的半径，
∴DP是⊙O的切线.
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：(2)因为∠APD=30°,∠ODP=90° , OD=3,
所以OP=2OD=6,
所以DP = ,
所以S阴影=S△ODP-S扇形ODB=.
课堂总结
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
板书设计
弧长和扇形面积公式
一、弧长公式：
二、扇形面积公式:
1.若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ）
A. B.3π C.π D.2π
2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，0A=2，则阴影部
分的面积是（ )
A. B. C.π D.2π
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
C
B
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线 l 上，将矩形ABCD沿直线 l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为 .
A
B
C
D
C′
B′
B′′
C1
D1
A1
A′
6π
作业布置
【综合拓展类作业】
4. 如图，正三角形ABC的边长为a,D，E，F分别为BC,CA,AB的中点，以A,B, C三点为圆心， 长为半径作圆.求图中阴影部分的面积.
A
B
F
E
C
D
解：连接AD，S阴影= S△ABC – S扇形AEF =×a×a –3× = a 2.
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《24.4.1弧长与扇形面积公式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节教材是初中数学九年级第24章第4节的内容，是初中数学的重要内容之一，这是在学习了正多边形和圆的基础上，对圆知识的进一步深入和拓展， 在今后的解题及几何证明中，将起到重要作用。
学习者分析 九年级的学生正处于思维能力培养的重要时期，他们已经具备一定的归纳、猜想能力，但个别学生在理解、应用上还须借助老师、同学的帮助，通过教师的指导和同伴的帮助，也会有所收获。九年级学生的思维以形象型为主，具备了抽象思维能力；仍然在一定程度困扰有好奇、好动的习性依存，因此，教学中尽量采用问题诱导和直观演示帮助学生逐步实现加深对知识的理解.
教学目标 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程. 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
教学重点 (1)推导弧长及扇形面积计算公式的过程。 (2)掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题
教学难点 两个公式的应用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 下图是学校操场的环形跑道，你会计算环形跑道的长度吗？ 环形跑道的长度=2条直线跑道长度之和+2个半圆组成的圆的周长 运动会200米赛跑比赛中，为什么选手的起跑位置不在同一处？ 学生活动1： 教师提出问题，学生根据所学知识回答活动意图说明：通过实际生活中的例子，展示数学的美，激发学生学习数学的兴趣.环节二：新知探究教师活动2： 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看做是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？ C=2πR 360°的圆心角所对的弧长 1°的圆心角所对的弧长 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为： 在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中180，n表示倍分关系，没有单位。 在弧长公式中，l、n、R三个量做到知二推一学生活动2： 教师提出问题，学生根据所学知识尝试回答 活动意图说明：引导并调动学生课堂参与的积极性，在老师的指引下，在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辨、补充，自己得出几个公式。不仅锻炼学生的合作学习能力、表达能力， 同时对知识有了深刻、全面、正确的理解，培养了他们抽象思维能力、科学严谨的学习态度和数学学习的方式方法。环节三：典例精析教师活动3： 例1、制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm) 解：由弧长公式，可得弧AB 的长 l =（mm） 因此所要求的展直长度 L=2×700+1570=2970 （mm） 答：管道的展直长度为2970mm． 学生活动3： 学生先独立解决问题，然后进行交流、探讨，教师巡视并予以指导。 活动意图说明：培养学生独立解决问题的能力及合作学习的能力。环节四：新知讲解 教师活动4： 观察图形，尝试给出扇形的概念？ 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 填表 扇形面积公式： 若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积 . ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ ．学生活动4： 教师提出问题，学生通过观察图形得出扇形的概念 教师提出问题，学生根据所学知识尝试回答 教师提出问题，先由学生回答，教师根据情况补充 通过教师引导，学生很快发现新的扇形面积公式 活动意图说明：通过n°的圆心角所对的扇形面积公式的推导，让学生再次体会由“特殊到一般”的数学思想，分解组合扇形面积公式和弧长公式来推导新公式，让学生体会由“整体”的数学思想环节五：典例精析教师活动5： 例2、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。 解：如图，连接OA,OB,过点O作弦AB的垂线， 垂足为D，交弧AB于点C,连接AC。 ∵OC=0.6cm，DC=0.3cm， ∴OD=OC-DC=0.3cm ∴OD=DC 又AD ⊥DC ∴AD是线段OC的垂直平分线 ∴AC=AO=OC ∴∠AOD=60°，∠AOB=120° 有水部分的面积S=S扇形-S△OAB=×0.62 - ≈0.22(m2). 学生活动5： 学生思考，试着解答 活动意图说明：培养学生独立解决问题的能力及合作学习的能力。
板书设计 一、弧长公式： 二、扇形面积公式:
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，若，，则扇形 (阴影部分)的面积是( ) A． B． C． D． 2．如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB=120°，OA=15m，，则种草区域的面积为（ ） A． B． C． D． 3.如图，小红要制作一个高4cm，底面直径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是 . 4.如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到，阴影部分为线段BC扫过的区域，已知AB=4，BC=3，则阴影部分面积为 选做题： 5. 如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S． 【综合拓展类作业】 6.如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°. (1) 求证：DP是⊙O的切线； (2) 若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（ ） A. B.3π C.π D.2π 2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，0A=2，则阴影部 分的面积是（ ) A. B. C.π D.2π 选做题： 3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线 l 上，将矩形ABCD沿直线 l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为 . 【综合拓展类作业】 4. 如图，正三角形ABC的边长为a,D，E，F分别为BC,CA,AB的中点，以A,B, C三点为圆心， 长为半径作圆.求图中阴影部分的面积.
教学反思 这节课的内容比较简单，所以在课堂上能够很明显感觉到成绩较好学生的思维明显受到限制，不能最大限度的培养数学优生的数学思维。如何在关注全体学生的同时让优生最大限度的发展，最终体现课程标准中让不同的人在数学上得到不同的发展的理念，是我之后数学课堂教学一直要思考的问题。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十四章
课标要求 1.与圆有关的概念:正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系。2.与圆有关的角:掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理:定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”中这个关系。4.与圆有关的位置关系:了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键。5.切线长定理:切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。6.会计算圆的弧长、扇形的面积。7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。8.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。9.在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
内容分析 与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，也是“空间与图形”的主要研究对象，是人们生活中常见的图形。在学生前面学习了一些基本的直线形一一三角形、四边形等的基础上，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，进一步研究一个基本的曲线形一一圆，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识.探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。由于本章综合性强，会与全等、相似、四边形等知识相联系，往往在考试中得分率较低，因此在讲授本章知识时，教师要注意从具体情景出发，使学生了解知识的来源和形成，加深对数学概念的理解，从而达到能熟练掌握知识技能并应用其灵活解决问题的能力。
学情分析 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质，而且把直线形里学过的一些基本图形，几何变换加以灵活运用．通过本章的学习，学生会对圆有一个较为全面系统的认识，而且对各种数学思想如分类讨论，转化思想，完全归纳、类比的思想等有很好的理解和把握。
单元目标 教学目标1、经历探索圆及其相关结论的过程，认识圆的轴对称性和中心对称性；2、探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等的关系定理；3、探索并理解圆心角和圆周角的关系定理，三种位置关系及对应的数量关系；4、知道三角形的外心和内心；5、探索并理解直线与圆的位置关系，掌握切线的性质与判断；6、了解正多边形与圆的关系，会计算弧长和扇形的面积。（二）教学重点、难点教学重点：圆周角定理和切线的性质与判定的理解和运用.教学难点：对圆集合定义的理解，运用相关定理进行证明与计算.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数24.1 圆的有关性质424.2 点和圆、直线与圆的位置关系424.3正多边形和圆124.4弧长及扇形的面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务24.1圆的有关性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。3.探索圆周角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论，圆内接四边形的对角互补4.知道三角形的内心和外心。学生通过理解相关概念，掌握垂径定理以及圆周角定理从而能解决一些问题任务1：学生通过图片，操作掌握圆中相关概念.任务2：学生能利用弧、弦、圆心角之间的关系解题任务3：学生知道圆是轴对称图形，并能指出圆的对称轴. 垂径定理的条件是：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，已知五个条件中的两个就可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理任务4：理解圆周角以及圆心角的关系，会用其解题.24.2点和圆、直线与圆的位置关系1.了解点与圆的位置关系.2.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。3.探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等理解点与圆，直线与圆的位置关系，并能熟练运用切线的性质以及判定解决问题。任务1：通过学生探究掌握点与圆的位置关系任务2：认识直线与圆的位置关系任务3：通过探究掌握切线的性质以及判定定理任务4：引出切线长概念并探究切线长定理24.3正多边形和圆 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系学生能根据正多边形与圆的关系解决问题任务1：认识正多边形.任务2：根据图形得出正多边形和圆的相关概念.24.4弧长与扇形面积1.会计算圆的弧长、扇形的面积2.掌握圆锥侧面展开图学生能利用弧长公式、扇形面积公式解决问题任务1：学生通过探究弧长与圆的周长之间的关系得出弧长的计算公式任务2：学生通过探究扇形与圆的面积之间的关系得出扇形的面积计算公式任务3：通过观察圆锥侧面展开图，推出圆锥侧面积的计算方法
任务1：通过例子引出圆的概念
任务2：例题求证四点共圆
24.1.1圆
任务3：归纳圆中相关概念
活动1：探究圆的对称性从而得出垂径定理
活动2：探究切线长定理
活动3：思考在三角形上截下一块圆形，得出三角形内切圆
24.2.2.3切线长定理
活动1：研究圆外一点作两条圆的切线之间的关系，得出切线长概念
24.2.2.2切线的性质与判定
活动3：例题
活动2：探究切线的性质定理
活动1：思考经过半径外端作垂线，这条直线与圆的位置关系，概括切线的概念
活动3：思考直线与圆的位置关系中数量关系的表述
活动2：理解直线与圆的关系中的相关概念
活动1： 通过日出得出直线与圆的位置关系
24.2.2.1直线和圆的位置关系
活动4：思考经过同一条直线上的三点能作出一个圆，得出反证法
活动3：思考不在同一条直线上的三点作圆，找到确定圆心的方法
24.2.1点和圆的位置关系
活动2：探究经过一个点、两个点作圆得出圆心分布的特点
活动1：通过问题得出点和圆的三种位置关系
圆
活动4：通过思考四个角的关系得出圆内接四边形的性质
24.1.4圆周角
活动3：通过例题得出圆内接四边形的概念
活动2：通过学生活动探究圆周角定理及推论
活动1：通过导入总结出圆周角的概念
活动2：验证垂径定理
活动3：例题解析
24.1.2垂直于弦的直径
24.1.3弧、弦、圆心角
活动3：例题解析
活动2：思考圆心角，弧，弦之间的关系
活动1：探究圆的中心对称性以及得出圆心角概念
24.4.2弧长及扇形的面积
活动1：通过引例得出圆锥的有关概念
活动2：思考圆锥侧面展开图，并学会计算圆锥的侧面积
活动3：例题
24.3正方形和圆
24.4.1弧长及扇形的面积
活动1： 回忆正多边形的概念知道圆与正多边形的关系
活动2：画圆内接正五边形得出相关概念
活动3：例题
活动4：练习画圆内接正多边形
活动2：例题
活动3：思考扇形面积与圆面积的关系
活动4：例题
活动1：思考弧长与圆周长的关系
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