江西省都昌第一中学2014-2015学年北师大版高一上期末考试数学试题

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都昌一中2014-----2015学年度第一学期期末考试
高一年级数学科试题
考试时间：120分钟 满分：150分
姓名：＿＿＿___ 班级：＿＿___＿＿ 总分：＿＿＿＿＿＿
选择题得分
选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）21教育网
1．设集合M={x|x=3k，k∈Z}，P={x|x=3k+1，k∈Z}，Q={x|x=3k-1，k∈Z}，则 CZ（P∪Q）=（　　）2·1·c·n·j·y
A.M B.P C.Q D.
2.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为 （） A． ， B． ， C． ， D． ， ，
3.设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
.是偶函数 .||是奇函数
.||是奇函数 .||是奇函数
4下列各组函数中，表示同一个函数的是
A．与 B．与
C．与 D．与
5. 已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A. B.
C．2 D．4
6.若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，g(x)＝是奇函数，则a＋b的值是(　　)
A. B．1
C．－ D．－1
7.若函数是函数 ，且的反函数，其图象经过点，，则 （）
A. B. C. D.
8．若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则log2等于(　　)
A．2 B．2或0
C．0 D．－2
9．设函数的集合P＝{f(x)＝log2(x＋a)＋b|a＝－，0，，1；b＝－1,0,1}，平面上点的集合Q＝{(x，y)|x＝－，0，，1；y＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图像恰好经过Q中两个点的函数的个数是(　　)21·cn·jy·com
A．4 B．6
C．8 D．10
10.已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图像是(　　)21·世纪*教育网
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
填空题得分
11.已知loga>0，若≤，则实数x的取值范围为______________．
12．．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
　
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则不等式f[g(x)]>g[f(x)]的解为________．
13．直线y＝1与曲线y＝x2－＋a有四个交点，则a的取值范围为________________．
14. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．2-1-c-n-j-y
三、解答题（本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
解答题得分
15．（满分12分）已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
源:21世纪教育网]
16．（满分12分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1.其中a>0且a≠1.
(1)求f(2)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)解关于x的不等式－117.（满分14分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：www-2-1-cnjy-com
（其中是仪器的月产量）．
(1)将利润表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(利润=总收益-总成本)
18．（满分14分）定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数，都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数的广义周期，称为周距．　　21*cnjy*com
（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距的值；
（2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期和周距；
（3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值．
19.（满分14分）已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式f(2x2－1)<2.
20.（满分14分）已知函数,()，若同时满足以下条件：
①在D上单调递减或单调递增；
②存在区间[]D,使在[]上的值域是[]，那么称()为闭函数．
（1）求闭函数符合条件②的区间[]；
（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间[]；若不是请说明理由；
（3）若是闭函数，求实数的取值范围.
（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增还是减函数即可）
都昌一中2014-----2015学年度第一学期期末考试
高一年级数学科试题参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分）
1. A 【解析】集合M={x|x=3k，k∈Z}，表示被3整除的整数构成的集合，P={x|x=3k+1，k∈Z}，表示3除余数为1的整数构成的集合，
Q={x|x=3k-1，k∈Z}═{x|x=3n+2，n∈Z}，表示3除余数为2的整数构成的集合，
故P∪Q表示3除余数为1或余数为2的整数构成的集合，CZ（P∪Q）=M，
故选A．【出处：21教育名师】
2.A 【解析】试题分析：根据函数定义域及幂指数的“奇偶性”，=－1，时，函数定义域均非R，所以使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为1,3，选A。
考点：本题主要考查幂函数的性质，函数的奇偶性。
3.C 【解析】试题分析：因为是奇函数，是偶函数，
所以；
；故选C.
考点：函数的奇偶性.
4.D 【解析】试题分析：对于选项A：函数的定义域不包含1，而直线的定义域是R，显然不是同一个函数．【版权所有：21教育】
对于选项B：函数y=lgx的定义域为x＞0，而函数y=lgx2不的定义域是R，显然不是同一个函数．21教育名师原创作品
对于选项C：函数的值域是大于-1的．而直线y=x-1的值域是R，显然不是同一个函数．
对于选项D：因为y=x=logaax，且定义域都为R，所以为同一个函数．
故选D．
考点：本题主要是考查判断两个函数是否为同一个函数的问题，在判断此类问题的时候需要判断定义域和值域是否相同．属于基础题型21*cnjy*com
5. C　【解析】依题意，函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a＋a2＋loga2＝loga2＋6，解得a＝2.]21世纪教育网版权所有
6．A　【解析】∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即lg(10－x＋1)－ax＝lg－ax＝lg(10x＋1)－(a＋1)x
＝lg(10x＋1)＋ax，
∴a＝－(a＋1)，∴a＝－，
又g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即2－x－＝－2x＋，∴b＝1，∴a＋b＝.]
7. B 【解析】试题分析：函数 (，且)的反函数是，由得.
考点：反函数.
8．A　【解析】方法一　排除法．
由题意可知x>0，y>0，x－2y>0，
∴x>2y，>2，∴log2>1.
方法二　直接法．
依题意，(x－2y)2＝xy，∴x2－5xy＋4y2＝0，
∴(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y或x＝4y，
∵x－2y>0，x>0，y>0，∴x>2y，
∴x＝y(舍去)，∴＝4，∴log2＝2.
9．B　【解析】当a＝－，f(x)＝log2(x－)＋b，
∵x>，
∴此时至多经过Q中的一个点；
当a＝0时，f(x)＝log2x经过(，－1)，(1,0)，
f(x)＝log2x＋1经过(，0)，(1,1)；
当a＝1时，f(x)＝log2(x＋1)＋1经过(－，0)，(0,1)，
f(x)＝log2(x＋1)－1经过(0，－1)，(1,0)；
当a＝时，f(x)＝log2(x＋)经过(0，－1)，(，0)，
f(x)＝log2(x＋)＋1经过(0,0)，(，1)．
10.B 【解析】据题意由f(4)g(－4)＝a2×loga4<0，得00时，y＝loga|x|＝logax是减函数．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分2 0分）
11.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【解析】由loga>0得0由≤得≤a－1，
∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1.
12.x＝2
【解析】∵f(x)、g(x)的定义域都是{1,2,3}，
∴当x＝1时，f[g(1)]＝f(3)＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不等式不成立；
当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，此时不等式成立；
当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，
此时，不等式不成立．
因此不等式的解为x＝2.
13.1＜a＜
【解析】y＝
作出图像，如图所示．
此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，
∴1＜a＜.
14. (－∞，－1)
【解析】当x>0时，由1－2－x<－，
()x>，显然不成立．
当x<0时，－x>0.
因为该函数是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝2x－1.
由2x－1<－，即2x<2－1，得x<－1.
又因为f(0)＝0<－不成立，
所以不等式的解集是(－∞，－1)．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分）
15．（满分12分）解：解　(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m)>0，www.21-cn-jy.com
可解得m<；Δ＝0，可解得m＝；Δ<0，
可解得m>. ………………4分
故m<时，函数有两个零点；
m＝时，函数有一个零点；
m>时，函数无零点. ………………8分
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1. ……………… 12分
16. 解　(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0. ………………3分
(2)当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝a－x－1.
由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
∵f(－x)＝a－x－1，
∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．
∴所求的解析式为f(x)＝. ……………… 6分
(3)不等式等价于
或，
即或.
当a>1时，有或，
注意此时loga2>0，loga5>0，
可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．
同理可得，当0不等式的解集为R.
综上所述，当a>1时，
不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；
当017.（满分14分）解：（1） ……5分
(2)当时，
………………8分
∴当时，有最大值为 …………9分
当时，
是减函数， ………………10分
………………12分
∴当时，的最大值为 ………………13分
答：每月生产台仪器时，利润最大，最大利润为元． ………14分
18.（1）2； （2），，； （3）．
【解析】
试题分析：本题是一个新定义概念问题，解决问题的关键是按照新定义把问题转化为我们熟悉的问题，（1）就是找到使为常数，考虑到，因此取，则有，符合题设，即得；（2）在（1）中求解时，可以想到一次函数就是广义周期函数，因此取，再考虑到正弦函数的周期性，取，代入新定义式子计算可得；（3）首先，函数应该是广义周期函数，由新定义可求得一个广义周期是，周距，由于，可见在区间上取得最小值，在上取得最大值，而当时，由上面结论可得，最小值为，当时，，从而最大值为．21cnjy.com
试题解析：（1），
，（非零常数）
所以函数是广义周期函数，它的周距为2． （3分）
（2）设，则
（非零常数） 所以是广义周期函数，且． （6分）
（3），
所以是广义周期函数，且 ． （9分）
设满足，
由得：
，
又知道在区间上的最小值是在上获得的，而，所以在上的最小值为． （11分）
由得得：
，
又知道在区间上的最大值是在上获得的，
而，所以在上的最大值为23． （14分）
考点：新定义，新定义概念的理解，新定义概念的应用与函数的最值．
②在上任取且，则……………5分
……………8分
因为，所以，又因为，
所以 ，即 ……………9分
所以是上的单调递减函数。 ……………10分
（2）（法一：）是奇函数时，，
即对定义域中的任意实数都成立，
化简整理得，这是关于的恒等式，
……………12分
19.(1)证明　令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数． ……………4分
(2)证明　设x2>x1>0，
则f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)
＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()，
∵x2>x1>0，∴>1.
∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ……………8分
(3)解　∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.
又∵f(x)是偶函数，
∴不等式f(2x2－1)<2可化为f(|2x2－1|)又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴|2x2－1|<4.
解得－即不等式的解集为(－，)． ……………14分
20.（满分14分）（1）在R上单减，所以区间[]满足 ……2分
解得 ………3分
（2）不是．（反证法）假设是闭函数，又因在R上单增，
………4分
所以存在区间[]使得， ………5分
则方程有两不等实根，即有两个不等的实根，等价于至少有2个零点， ………7分
令，则易知为R上单调递增函数，且，，所以在有零点，由在R上单调递增，知在R上有且只有一个零点，矛盾。所以假设不成立，即不是闭函数。………9分
（3）易知在上单调递增. ………10分
设满足条件②的区间为，则方程组
有解， ………11分
即方程至少有两个不同的解 21世纪教育网
也即方程有两个都不小于的不等根. ………12分
得，即为所求. ………14分
第10题图
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