山东省青岛市青岛大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月阶段性检测数学试卷（PDF版含解析）

2023～2024 学年第一学段阶段性诊断测试
高一数学试题
2023.10
第Ⅰ卷（选择题 共 60分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
8
1.已知集合 A {x | x Z, N}，则集合 A用列举法可表示为
6 x
A.{2,4} B.{ 2,5} C.{1,2, 4,8} D．{ 2, 2, 4,5}
2.已知“ x a”是“ x b”的充分不必要条件，则实数a,b满足
A.a b B.a b C.a b D.a b
3.已知命题 p：存在集合 A使得 A，则命题 p是
A.全称量词命题，且是真命题 B.全称量词命题，且是假命题
C.存在量词命题，且是真命题 D.存在量词命题，且是假命题
4.已知 x R ， A (x 2)(x 3),B 2x(x 1)，则
（A） A B （B） A B （C） A B （D） A,B的大小关系与 x的取值有关
5.已知函数 y f (x)的定义域为{x | 0 x 6} f (2x)，则函数 g(x) 的定义域为
x 2
（A）{x | 0 x 2,2 x 3} （B）{x | 0 x 2,2 x 6}
（C）{x | 0 x 2,2 x 12} （D）{x | x 2}
6.已知集合 A {x | (x 1)(x 2) 0},B {x x 0}，则 A ( RB) x 1
（A）{x | 2 x 0} （B）{x | 0 x 1} （C）{x | x 1} （D）{x | 2 x 1}
4 1
7.若 x 0, y 0且 x y 1，则 的最小值为
x y
A.7 B.8 C.9 D.16
8.已知m 0,n 0，mn m 3n 9，则m 3n的最小值为
A.3 B.6 C.18 D.36
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有
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多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.当两个集合中一个集合包含另一个集合时，称这两个集合构成全蚀；当两个集合有公
1 2
共元素，但互不包含时，称这两个集合构成偏蚀；若 A { 1,1, },B {x ax 1,a 0}构
2
成全蚀或偏蚀，则实数 a的值可以是
A.0 B.1 C. 2 D. 4
10.已知“ x M ,x 0”是真命题，“ x M ,x 3”是假命题，则集合M 可以是
（A）{x | 3 x 1} （B）{x | x 2} （C）{x | 0 x 3} （D）{x | x 3}
11.在 a克的糖水中含有b克的糖（ a b 0），再添加少许的糖m克（m 0），全部溶解后
b m b b m b n
糖水更甜了，由此得糖水不等式 .若 x, y（ n 0），则
a m a a m a n
A.若m n，则 x y B.若m n，则 x y
b m 1 a n m n b m a nC. D.当 时 .
a m b n a m b n
x (x 2)(ax b)12．已知关于 的不等式 0的解集为{x | x 2,1 x 2}，则
x c
A． c 1 B．点 (a,b)在第二象限内
C． 2a 1 2的最大值为 2 D．不等式 ax ax b 0的解集为{x | x 2, x 1}b
第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1
13.已知命题 p： x 0， 0，则命题的否定 p：________．
x 4
1
14.已知 x 1，则 4x 的最小值为________．
x 1
15.已知 m,n R ，定义运算 m n mn 2m n ，则 x (x 2) 0 的解集为
________．
16.已知集合 A {x | x 2 3x 2 0}, B {x N | 0 x 5}，若 A C B，则符
合题意的一个集合C为 （写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合
D {x | ax2 bx 1 0},E {x | x2 ax b 0}，若D E ，且 3 ( UD) E，
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则 a b = .【第一空 2分，第二空 3分】
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10分）
a
问题：已知 6 a 8， 2 b 3，求 的取值范围.
b
下面是某同学的解答过程.
1 1 1
解：由 2 b 3可得， ； （步骤 1）
3 b 2
1 1 1 a
在 6 a 8两端乘以 得 2 4； （步骤 2）
3 b 2 b
a a
所求 的取值范围是 2 4 . （步骤 3）
b b
请分析其解答过程中的错误所在的步骤并求出正确的结果.
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18．（本小题满分 12分）
已知 A {x | 2a 1 x a 1},B {x | 1 x 3} .
1
（I）若a 2，求 A ( RB)；
（II）在① A B B；② A (A B)；③ A B ；这三个条件中任选一个，求
满足条件的实数 a构成的集合 P .
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.
19．(本小题满分 12分)
已知a 0,b 0，且ab a b 3 .
（I）求ab的取值范围；
（II）求a b的取值范围.
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20.（本小题满分 12分）
已知实数 x, y满足 4 x y 1, 1 4x y 5 .
（I）若9x y m(x y) n(4x y)，求实数m,n的值；
（II）求9x y的取值范围.
21.(本小题满分 12分)
（I）一家商店使用一架两臂不等长的天平（左臂长acm 大于右臂长b cm）称黄金.一
位顾客到店里购买 10克黄金，售货员先将 5克的砝码放在天平左盘，取出一些黄金（m
克）放在天平右盘使天平平衡；再将 5克的砝码放在天平右盘，取出一些黄金（n克）放
在天平左盘使天平平衡；最后将两次称量的黄金交给顾客，请比较m n与 10的大小；
（II）某驾驶员给爱车加油有两种不同的办法：第一种是不考虑价格变化，每次都加满
油箱（大约 40升）；第二种是不考虑价格变化，每次都加 300元（油箱能装下）；当前油
价在不断的变化中，请从数学角度比较哪种方法更经济实惠.
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22.（本小题满分 12分）
已知 A(3,0),B(0,3)，一次函数 y x 3(0 x 3)的图象是线段 AB，二次函数
y x2 mx 1的图象是开口向下的抛物线.
（I）①若抛物线与线段 AB相切，求实数m的值；
②若抛物线与线段 AB只有一个交点，求实数m的取值范围；
（II）求证：抛物线与线段 AB恰有两个不同交点的充要条件是3 m
10

3 .
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2023～2024 学年度高一阶段性考试数学
参考答案及评分标准
一、1．D解析：6 x 8,4,2,1， x = 2, 2, 4,5，故选（D）.
2．A解析：由 x a x b可推出a b，选（A）.
3.C.解析：存在集合 A使得 A，是存在量词命题，且是真命题，选（C）.
4.C. 2 2解析： A x x 6,B 2x 2x ，B A x2 x 6 0，B A，故选（C）.
5.A.解析：0 2x 6且 x 2 .故选（A）.
6.B.解析： A {x | 2 x 1},B {x | x 0, x 1}， RB {x | 0 x 1}，
( RB) A {x | 0 x 1}，故选（B）.
4 1 4 1
7.C解析：xy 0且 x y 1，则 ( )(x y) 4 1 4 y x 9 ，选（C）.
x y x y x y
8.B.解析：m 0,n 0 9 1m 3n m 3n 1 (m 3n ， ) 2 m 3n ，则m 3n 6，
3 3 2
n 9 m m 3n m 27 3m 36 3(m 3)故选（B）.【 ，则 m 3 3 6 】
m 3 m 3 m 3
1 2
二、9.ABD.解析：因为 A { 1,1, },B {x ax 1,a 0}，若 a 0，则 B ，A,B构
2
1 1
成全蚀；若 a 1，则 B {1, 1}， A,B构成全蚀；若 a 4，则 B { , }， A,B构成
2 2
偏蚀；故选（A）（B）（D）.
10.AB.解析：“ x M ,x 0”是真命题，“ x M ,x 3”是假命题，则集合M 中
必有负数，且元素都小于 3，集合M 可以是{x | 3 x 1}、{x | x 2}，故选（A）（B）.
b m b b m b n
11.ABC.解析：a b 0，m 0，则 .若 x, y（ n 0），若m n，
a m a a m a n
则 x y；若m n，则 x y b m a n； 1 ；选（A）（B）（C）.
a m b n
(x 2)(ax b) 0 {x | x 2,1 x 2} a(x 2)(x 2)12．AC.解析： 的解 ，则 0，
x c x c
b
因此 c 1， 2且 a 0，点 (a,b)在第三象限内， 2a
1 b 1 ( b 1 ) 2 ，
a b b b
不等式 ax2 ax b 0等价于 x2 x 2 0，其解集为{x | 2 x 1}，故选（A）（C）.
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1
三、13. x 0， 0或 x 4 0 .解析：易错点：漏掉 x 4 0 .
x 4
x 1 4x 1 4(x 1) 114.8.解析： ，则 4 2 4 4 .
x 1 x 1
15.{x | 2 x 1} .解析： x (x 2) 0，即 x2 x 2 0解得 2 x 1 .
16.{1,2},{1,2,3},{1,2,4}中的一个， 1.解析：A {1,2},B {2,3,4,1}，若 A C B，
则C是{1,2},{1,2,3},{1,2,4}中的一个； ax2 bx 1 0, x2 ax b 0，D E {1}，
且 3 ( UD) E，则 a b 1 0，9 3a b 0，解得 a 2且b 3，a b 1．
四、17.解：错误在步骤 2，其中 6 a 8中不是正数不等式，不能应用乘法.………2分
6 a 1 1 1 0 0 a 6 0 a 3 3 a正解：当 时， ，乘 得 ， 0；6分
3 b 2 b b
当0 1 1 1 a 8 a时，与 相乘可得 0 4；……………9分
3 b 2 b
3 a
a
综上得 4， 的取值范围是 ( 3, 4) .……………10分
b b
18．解：（I）a
1
， A {x | 2 x 1 }, RB {x | x 1, x 3}2 ，………3分2
则 A ( RB) {x | 2 x 1}；……………5分
（II）选① A B B，则 A B；……………6分
若 A ，此时2a 1 a 1，解得a 2；……………8分
若 A ，此时a 2，只需2a 1 1,a 1 3，解得0 a 2；……………11分
综上满足条件的实数 a构成的集合P {a | a 0} .……………12分
选② A (A B)，则 A B；……………6分
若 A ，此时2a 1 a 1，解得a 2；……………8分
若 A ，此时a 2，只需2a 1 1,a 1 3，解得0 a 2；……………11分
综上满足条件的实数 a构成的集合P {a | a 0} .……………12分
选③ A B ，则若 A ，此时2a 1 a 1，解得 a 2；……………7分
若 A ，此时a 2，只需2a 1 3或a 1 1，……………9分
显然2a 1 3即a 2无解；解a 1 1得a 2；……………11分
综上满足条件的实数 a构成的集合P {a | a 2,a 2} .……………12分
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.
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a 3
19．解法一：（ I）由 ab a b 3 可得 b （ a 1），…………… 2 分
a 1
ab a(a 3) (a 1 1)(a 1 4) (a 1) 4 5 9（当且仅当 a 3时取得最小
a 1 a 1 a 1
值），所求 ab的取值范围是[9, )；……………6分
a 3
（II）由ab a b 3可得b （ a 1），……………8分
a 1
a b a a 3 a 1 a 1 4 4 1 a 1 2 6（当且仅当 a 3时取得最小
a 1 a 1 a 1
值），所求a b的取值范围是[6, ) .……………12分
解法二：（I）由 a 0,b 0，ab a b 3得 ab a b 3 2 ab 3，………2分
令 ab t t2，则 2t 3 0，解得 t 3（ t 1舍去），所求 ab的取值范围是
[9, )；……………6分
a b 2 a b 2
（II）由ab ( ) ，且 ab a b 3可得 a b 3 ( ) ，……………8分
2 2
2
令 a b t ，则 t 4t 12 0，解得 t 6（ t 2舍去）， a b 的取值范围是
[6, ) .……………12分
20.解：（I）9x y m(x y) n(4x y) (m 4n)x (m n)y，……………3分
5 8
所以m 4n 9,m n 1，解得m ,n ；……………6分
3 3
（II）由（I）知9x
5 8
y (x y) (4x y)，……………7分
3 3
4 x y 1, 1 4x y 5 5 5 ， (x y)
20 8 8 40
, (4x y) ，……10分
3 3 3 3 3 3
所以 1 9x y 20，即9x y的取值范围是[ 1,20] .……………12分
21.解：（I）两次分别取出黄金m克、n克，则5a mb,na 5b，……………3分
a b m n 5a 5b 5a 5b因为 ， 2 10，所以m n 10；……………6分
b a b a
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（II）设第一次加油的价格是m（元/升），第一次加油的价格是n（元/升），第一种加
40m 40n m n
油方式的平均价格是 x ；……………8分
40 40 2
300 300 2mn
第二种加油方式的平均价格是 y 300 300 ；……………10分
m n
m n
因为 x m n mn y 2mn ， mn（当且仅当m n时取等号），……11分
2 m n
所以，如果两次加油价格有变化，则第二种加油方式的平均价格更低，如果两次加油价
格没有变化，两种加油方式平均价格相同，总之，第二种加油方法更经济实惠.………12分
22.解：（I）①抛物线与线段 AB相切，则 y x 3(0 x 3)与 y x2 mx 1联立
2
可得 x (m 1)x 4 0，由 (m 1)2 16 0得m 3或m 5；……3分
y x2 m相切时抛物线 mx 1的对称轴 x 只能在[0,3]内，故m 3；……4分
2
②若抛物线与线段 AB只有一个交点，由①知，若 0，m 3；……5分
若 0，则m 3或m 5；……6分
2 10
令 f (x) x (m 1)x 4， f (0) 4， f (3) 10 3m 0，m 3 ，……7分
m 10 2 4但 3 时，方程
x (m 1)x 4 0有两个实数根 x 3或 x 3，所以只能是
m 10 ，所求实数m的取值范围是{m|m
10
或m 3}
3 3 ；……8分
2
（II）抛物线与线段 AB恰有两个不同交点，则方程 x (m 1)x 4 0在[0,3]内有
m
两个不等实数根，只需 0,0 3, f (3) 0同时成立，……11分
2
10
故充要条件是3 m 3 .……12分
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