山东省青岛超银高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试卷（PDF版含解析）

青岛超银高级中学 2023-2024学年第一学期月考考试题 7．已知a 0，b 0，且a+ 2b+ 2ab = 8，则a + 2b的最小值为（ ）
A．2 B．2 2 C．4 D．6
高一 数学 科目试题
8．设函数 y =mx2 mx 1，若对于 x 1,3 ， f (x) m+ 2恒成立，则实数m 的取值范围（ ）
考试时长： 120 分钟 满分：150 分
3 3
A． (3,+ ) B． , C． ( ,3) D． ,+
注意事项： 7 7
1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
二、多选题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，请将对应题目的答案写在答题纸相应位置上。
第 I 卷（共 60 分） 求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)
9．下列说法正确的有（ ）
一、单选题 （本大题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是
A．集合 1,2,4,5 有 16 个真子集 B．对于任意集合 A， A
符合题目要求的.）
1．设集合 A = x x 0 , B = x 2 x 1 ，则 ( R A) B =（ ） C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若 A ，则 A
A． x x 2 B． x x 0 C． x 2 x 0 D． x 0 x 1 10．下列说法正确的是（ ）
A． a b的一个必要不充分条件是a+1 b
2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
2 1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 B．若集合 A = x ax + x +1= 0 中只有一个元素，则 a = 4
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1C．已知 p： x R， 0，则 p的否定对应的 x的集合为 x x 2
x 2
3．下列结论正确的是（ ）
D．已知集合M = 0,1 ，则满足条件M N = M 的集合 N的个数为 3
A．若ac bc ，则 a b B．若a2 b2 ，则 a b
11．已知关于 x 的不等式ax2 +bx + c 0的解集为 x | 2 x 3 ，则下列说法正确的有（ ）
C．若 a b，c 0，则ac bc D．若 a b ，则 a b
1 A．a 0 B．a+b+ c 0
4．不等式 1的解集为（ ）
x 1 c2 + 4 1
C． 的最小值为 6 D．不等式cx2 bx + a 0的解集为 x | x 或x 3
2
A．
a +b
x x 0 B． x x 0或 x 1 C． x 0 x 1或 x 1 D． x x 0
12．下列结论正确的是（ ）
5．集合 A ={x x 1或 x 3}， B = x ax +1 0 若B A，则实数 a的取值范围是（ ） 1
A．当 x>0 时， x + ≥2
x
1 1 1
A．[ ,1) B． ，1 C． ( , 1) [0,+ ) D．[ ,0) (0,1) 13 3 3 B．当 x>3 时，x+ 的最小值是 2
x
1
6．设实数 x 满足 x 1，则函数 y = 2x +3+ 的最小值是（ ） 3 4x 1 C．当 x< 时，2x 1+ 的最小值是 4
2 2x 3
A．1 2 2 B．5+ 2 2 C．1+ 2 2 D．5 2 2 2 1
D．设 x>0，y>0，且 2x+y=1，则 + 的最小值是 9
x y
高一 数学科目试题 第 1 页 共 4 页 高一 数学科目试题 第 2 页 共 4 页
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第 II卷（共 90分） 20．（1）若不等式 ax
2 + (1 a)x + a 2 2对一切实数 x 恒成立，求实数 a的取值范围；
（2）解关于 x 的不等式ax2 + (1 a)x+ a 2 a 1(a R)．
三、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)
13．命题“ n N， n2 1 Q ”的否定为 .
2
14．已知 A = a 2,2a + 5a,12 且 3 A，则由 a的值构成的集合是 .
15．已知集合 A = (x, y) | y = x +3 , B = (x, y) | y = 3x 1 ，则 A B = ．
16．已知实数 x，y满足 3 4x y 3，2 2x + y 9，则5x + y的范围为 ．
四、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知全集为 R，A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}．
(1)若 A∩B＝{2}，求实数 p，q的值；
17．设U = R, A = x x2 x 2 4x +3 0 , B = x 0 ,C = x a x a +1,a R
x 4 m n
(2)若 B＝{x|x2+2x+q＝0}＝{m，n}（m，n∈R），求使得 + 为整数的实数 q的整数值
n m
(1)分别求 A B, A ( U B)
(2)若B C =C，求实数 a的取值范围
18．已知集合 A = x 1 x 3 ，集合B = x 2m x 1 m ． 22．已知关于 x 的不等式ax2 3x + 2 0的解集为{x | x 1或 x b} .
(1)若 A B = ，求实数m 的取值范围； (1)求 a，b 的值；
(2)命题 p : x A，命题 q : x B ，若 p是 q成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． a b(2)当 x 0， y 0且满足 + =1时，有2x+ y k 2 + k + 2恒成立，求 k 的取值范围.
x y
1 1
19．（1）已知一元二次不等式 x2 + px+ q 0的解集为 x | x ，求不等式qx
2 + px+1 0的解集；
2 3
（2）若不等式 x2 mx+ (m+7) 0在实数集 R上恒成立，求 m的范围.
高一 数学科目试题 第 3 页 共 4 页 高一 数学科目试题 第 4 页 共 4 页
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参考答案：
1．C
【分析】求出集合 A的补集，根据集合的交集运算求得答案.
【详解】由题意得，痧RA x x 0 , RA B x 2 x 0 ,
故选：C．
2．B
【详解】 ，所以答案选择 B
【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.
3．C
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.
【详解】A选项， ac bc，如 2 1 1 1 ，而 2 1，所以 A选项错误.
B 2选项， a2 b2，如 1 02，而 1 0，所以 B选项错误.
C选项， a b,a b 0,c 0，则 ac bc a b c 0，所以ac bc，所以 C选项正确.
D选项， a b ，如 1 2 ，而1 2，所以 D选项错误.
故选：C
4．B
x x 1 0
【分析】不等式可转化为 ，根据二次不等式的解法结合图像即可求解
x 1 0
1 1 x
【详解】由 1得 +1 0，即 0，
x 1 x 1 x 1
x x 1 0
也即 ，解得 x 0或 x 1，
x 1 0
所以原不等式的解集为 x x 0或 x 1 ，
故选：B
5．A
【分析】按 a 0,a 0,a 0讨论求解集合 B ,按 B A列出 a满足的条件求解即可.
【详解】 B A，
答案第 1页，共 10页
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①当B 时，即ax 1 0无解，此时 a 0，满足题意．
②当 B 时，即 ax 1 0有解，
a 0
1
当a 0时，可得 x ，要使 B A，则需要 1 ，解得 0 a 1．a 1
a
a 0
1 1
当 a<0时，可得 x ，要使 B A，则需要
a
1 ，解得 a 0，
3 3 a
1
综上，实数 a的取值范围是[ ,1)．
3
故选：A．
6．D
【分析】将函数解析式拼凑变形后使用基本不等式求最大值.
【详解】因为 x 1，所以1 x 0，
所以 y 2x 3
1
2 x 1 1 5 2 1 x 1 5 5 2 2
x 1 x 1 1 x
2
当且仅当 x 1 时，等号成立，
2
故选：D.
7．C
【分析】由基本不等式得出关于a 2b的不等式，解之可得．
【详解】因为 a 0,b 0，
(a 2b) 2
所以8 a 2b 2ab a 2b ，当且仅当 a 2b时取等号．
4
(a 2b) 2 4(a 2b) 32 0 ，解得 a 2b 4或a 2b 8（舍去），
所以 a 2b 4，即 a 2b的最小值.4．此时 a 2,b 1．
故选：C．
8．A
3 3
【分析】由题意变量分离转为m 2 在 x 1,3 上恒成立，只需m x x 1 ，求 x2 x 1 max
出最大值即可得到实数m的取值范围.
【详解】由题意， f x m 2可得mx2 mx 1 m 2，即m x2 x 1 3，
当 x 1,3 2时， x x 1 1,7 m 3，所以 2 在 x 1,3 上恒成立，x x 1
答案第 2页，共 10页
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m 3 只需 x2 x 1 ，当 x 1
3
时 2
x x 1
有最小值为 1，则 2 有最大值为 3， max x x 1
则m 3，实数m的取值范围是 3, ，
故选：A
【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属
于基础题.
9．BCD
【分析】根据集合的真子集个数公式判断 A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合
的真子集判断 B、C、D.
【详解】集合 1,2,4,5 有 4个元素，故其有 24 1 15个真子集，故 A错误；
空集是任何集合的子集，则 A，故 B正确；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故 C正确；
空集是任何非空集合的真子集，若 A，则 A ，故 D正确.
故选：BCD.
10．AC
【分析】根据必要条件、充分条件的定义，集合的基本关系，以及全称命题的否定逐一判断
即可．
【详解】解：对于 A，因为由 a b，得 a b 1成立，即 a 1 b成立，反之不成立，
故“ a 1 b ”是“ a b ”的一个必要不充分条件，故 A正确；
2
对于 B，若集合 A x ax x 1 0 中只有一个元素，当 a 0时， A x x 1 ，符合题
a 0 1
意，又 ，解得 a ，也符合题意，故 B不正确；
1 4a 0 4
1
对于 C，已知 p： x R ， 0，即 x R ， x 2，故 p对应的 x的集合为 x x 2 ，
x 2
故 C正确；
对于 D，由M N M ， N M ，故集合 N的个数为 22 4，故 D不正确．
故选：AC
11．BC
答案第 3页，共 10页
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a 0

b
【分析】由不等式与方程的关系得出 2 3 ，从而得到：b 5a， c 6a，且 a<0，
a

2 3
c

a
再依次对四个选项判断即可得出答案.
【详解】 不等式 ax2 bx c 0的解集为 x | 2 x 3 ，

a 0

2 3
b
，解得：b 5a， c 6a，且 a<0，故选项 A错误；
a
2 c 3
a
a b c a 5a 6a 2a 0，故选项 B正确；
c2 4 36a2 4
9a 1 6，
a b 4a a
当且仅当 a
1
时等号成立，故选项 C正确；
3
cx2 bx a 0可化为：6ax2 5ax a 0，即6x2 5x 1 0，

则解集为 x x
1 1
或x
2 3
，故选项 D错误；

综上所述选项 B、C正确，
故选：BC.
12．AD
【解析】利用基本不等式判断各选项．
【详解】解：对于选项 A，当 x
1 1
0时， x 0， x 2 x 2，当且仅当 x 1
x x
时取等号，结论成立，故 A正确；
对于选项 B 1 1，当 x 3时， x 2 x 2，当且仅当 x 1时取等号，但 x 3，等号取不
x x
1
到，因此 x 的最小值不是 2，故 B错误；
x
3
对于选项 C，因为 x ，所以3 2x 0，则
2
y 4 2x 1 3 2x 4 4 2 2 3 2x 2 2 ，当且仅当2x 3 3 2x 3 2x
答案第 4页，共 10页
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3 2x 4 ，即 x
1
时取等号，故 C错误；
3 2x 2
y 0 2 1 2 1 2y 2x对于选项 D，因为 x 0， ，则 2x y 5 5 2
2y 2x
=9，
x y x y x y x y
2y 2x 1
当且仅当 x y ，即
x y 时，等号成立，故 D正确.
3
故选：AD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，
则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
13． n N， n2 1 Q
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出 p .
【详解】由全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，可得：命题“ n N，n2 1 Q ”
的否定为“ n N，n2 1 Q ”.
故答案为： n N， n2 1 Q .
3
14．
2
【分析】由集合的互异性列出不等式解得答案即可.
a 2 3 2a2 5a 3

【详解】 ﹣3 A，A a 2，2a2 5a，12 2a2； 5a 3或 a 2 3 a 3，解得 .
2 2
2a 5a 12 a 2 12
3
故答案为： ．
2
15．
【详解】由题意可知，集合 A表示直线 y 2x 1上的点组成的集合，
集合 B表示直线 y = x+ 3上的点组成的集合，
联立直线方程可得交点坐标为 4,7 ，
据此可得： A B 4,7 .
答案第 5页，共 10页
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3
16． ,15 2
【分析】用 4x y、 2x y表示出5x y，然后可算出答案.
1
4m 2n 5 m
【详解】设5x y m(4x y) n(2x y)
2
，则
m n 1
，解得
n 3
，

2
∴5x y
1
(4x y) 3 (2x y)
2 2
∵ 3 4x y 3
3 1
，∴ (4x y)
3
，
2 2 2
∵2 2x y 9
3
，∴3 (2x y)
27

2 2
3
∴ 5x y 15．
2
3 ,15 故答案为：
2
17．(1) A B x 2 x 3 ； A U B {x | x 3或 x 4
(2)a 2,3
【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；
（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围.
2
【详解】（1）解：解不等式可得 A x x 4x 3 0 x 1 x 3 ，
B x
x 2 0 x 2 x 4 ，
x 4


所以 A B x 2 x 3 ， UB x x 2或 x 4 ， A UB x x 3或 x 4 ；
（2）解：由 B C C可得C B，且C ，
a 2
所以 ，解得2 a 3，即 a 2,3
a 1 4
.
18．(1) m∣m 0
(2) m∣m 2
【分析】（1）讨论 B ， B 两种情况，结合交集运算的结果得出实数m的取值范围；
答案第 6页，共 10页
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（2）由 p是 q成立的充分不必要条件，得出A是 B的真子集，再由包含关系得出实数m的
取值范围．
【详解】（1）由 A B ，得
2m 1①若 1- m，即m 时， B ，符合题意；
3
m 1 m 11 1
②若 2m < 1- m，即m 时，需 3 或 3 ，解得0 m ．3
1 m 1 2m 3
3
综上，实数m的取值范围为 m∣m 0 ．
1 m 2m

（2）由已知A是 B的真子集，知 2m 1 两个端不同时取等号，解得m 2．

1 m 3
由实数m的取值范围为 m∣m 2 ．
19．（1）{x | 2 x 3}；（2） 2 4 2 m 2 4 2 .
【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出 p,q的值，然后就可以解不等式了；
（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.
x2 px q 0
1 1
【详解】（1）因为 的解集为 x | x ，
2 3


所以 x
1 1
与 x 是方程 x21 2 px q 0的两个实数根，2 3
1 1
p,

3 2 p
1
,
6
由根与系数的关系得
1 1
解得
q, q 1 .
3 2

6
不等式 qx2 px 1 0，
1 x2 1即 x 1 0，整理得 x 2 x 6 0，解得 2 x 3 .
6 6
即不等式 qx2 px 1 0的解集为{x | 2 x 3} .
（2）由题意可得， ，即m2 4 1 (m 7) 0，整理得m2 4m 28 0，
解得 2 4 2 m 2 4 2 .
1
20．（1） a ；（2）答案见解析.
3
【分析】（1）讨论 a 0和a 0两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数 a的
取值范围；
答案第 7页，共 10页
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1
（2）按 a 0， a 0和 a<0三种情况分类讨论，当 a<0，比较 和1的大小，分情况写出
a
不等式的解集．
【详解】（1）由题意， ax2 (1 a)x a≥0 恒成立，
当 a 0时，不等式可化为 x 0，不满足题意；
a 0
当a 0时，满足 ，
Δ 0
a 0
a 1即
(1 a)
2 4a2 0 ，解得 ； 3
1
故实数 a的取值范围是 a ．
3
（2）不等式 ax2 (1 a)x a 2 a 1(a R)等价于 ax2 (1 a)x 1 0．
当 a 0时，不等式可化为 x 1，所以不等式的解集为{x∣x 1}；
当a 0时，不等式可化为 (ax 1)(x 1) 0
1
，此时 1，
a
x 1 x 1 所以不等式的解集为 ∣ ；
a


当 a<0时，不等式可化为 ax 1 x 1 0，
1
①当 a 1时， 1，不等式的解集为{x∣x 1}；
a
1
②当 1 a
1
0时， 1，不等式的解集为
a x x 或 x 1 ；a
1 1
③当 a 1时， 1，不等式的解集为 x x 1或 x .a a
1
综上： a 1时，等式的解集为 x x 1或 x
a
a 1时，不等式的解集为{x∣x 1}
1
1 a 0时，不等式的解集为 x x 或 x 1
a
a 0时，不等式的解集为{x∣x 1}
a 0时，不等式的解集为 x
1
x 1 ∣
a
21．(1) p 1,q 8
(2)q 1, 2, 4
【分析】（1）由题意， 2 A, 2 B，代入求解即可；
答案第 8页，共 10页
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（2）利用韦达定理可求解m n,mn，然后结合二次方程根的存在条件求出实数q的范围，
分析即得解
【详解】（1）由题意 A＝{x|x2+px﹣6＝0}，B＝{x|x2+2x+q＝0}，且 A∩B＝{2}，
故 2 A, 2 B
所以 4 2p 6 0,4 4 q 0
解得 p 1,q 8
（2）由题意， 4 4q 0
解得 q 1
此时m n 2,mn q
m n m2 n2 (m n)2 2mn 4
故 2为整数
n m mn mn q
所以 q 1,2,4, 1, 2, 4，又 q 1
故q 1, 2, 4
22．(1)a 1,b 2
(2)[ 3,2]．
【分析】（1）根据不等式的解集可确定 1和b是方程 ax2 3x 2 0的两个实数根且 a 0，
结合韦达定理即可求得答案；
（2）利用基本不等式可求得 2x y的最小值，根据 2x y k 2 k 2 恒成立可得 k 2 k 6 0，
即可求得答案.
【详解】（1）因为不等式 ax2 3x 2 0的解集为 x x 1或 x b ，
所以 1和b是方程 ax2 3x 2 0的两个实数根且a 0，
1 b 3


a a 1
所以 ，解得 ，即 a 1,b 2
1 b 2 b 2
．

a
a 1 1 2
（2）由（1）知 b 2，于是有
1，
x y
故2x y (2x y)(
1 2
) 4 y 4x 4 2 4 8
x y x y ，
y 4x 1 2 x 2
当且仅当 x y ，结合
1
x y ，即 时，等号成立， y 4
答案第 9页，共 10页
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依题意有 (2x y)min k
2 k 2，即8 k 2 k 2，
得 k 2 k 6 0，即 3 k 2，
所以 k的取值范围为[ 3,2]．
答案第 10页，共 10页
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