5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教案

第五章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
教学设计
教学目标
1.了解推导两角差的余弦公式的过程.
2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
3.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式进行简单的三角函数的化简、求值、证明.
教学重难点
教学重点：两角和与差的三角函数公式的推导及其内在联系.
教学难点：两角差的余弦公式的探究.
教学过程
新课导入
前面我们学习了诱导公式，观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和（或差）的三角函数与这个任意角的三角函数的恒等关系.如果把特殊角换为任意角，那么任意角与的和（或差）的三角函数与，的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题.
【设计意图】加强新旧知识间的联系，使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识.
新知积累
探究一：两角差的余弦公式的推导
1.单位圆与三角函数的定义.
教师：（1）怎样作出角，，的终边？
（2）怎样表示出终边与单位圆交点的坐标？
学生：思考.
，，
，
，
教师让学生学习圆的旋转对称性，由此得出.
2.在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角与弦长相等，由上图，可以得出.
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性.
3.两点间的距离公式
平面上任意两点，间的距离公式为.
教师指导帮助学生了解两点间的距离公式的有关内容，根据这个公式和上面得到的的结论，把点，，，的坐标代入公式中，可以得到两角差的余弦公式.
4.两角差的余弦公式
.
提问：左面的公式是在，的情况下得到的，如果，，上述公式还成立吗？
学生：思考讨论.
总结：此公式给出了任意角，的正弦，余弦与其差角的余弦值，简记为说明：有了公式以后，我们只要知道，，，的值，就可以求得的值了.
例题点拨
例1 利用公式证明.
（1）；（2）.
证明：（1）
.
（2）
.
例2 已知，，，是第三象限角，求的值.
解：由，，得
.
又由，是第三象限角，得
.
所以
.
【设计意图】锻炼学生动脑、动手的能力，进一步熟悉公式的表达形式.
探究二：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.两角和的余弦公式的推导
两角和的余弦公式.
教师：如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
教师引导学生用代换中的，便可得到：.
教师：使用条件：，都是任意角，简记符号：.
记忆口诀：“余余正正，符号相反”.
2.两角和与差的正弦公式的推导
两角和与差的正弦公式
如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和与差的正弦公式？
教师：提示学生：在前面我们已经学习了诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们今天的问题又帮助吗？
学生：动手完成两角和与差的正弦公式推导过程，得出：
，
.
教师：使用条件：，都是任意角，简记符号：，.
记忆口诀：“正余余正，符号相同”
3.两角和与差的正切公式的推导
两角和与差的正切公式
（1）怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
教师：引导学生借助同角三角函数的基本关系式得出结论
学生：观察两角和与差的正弦、余弦公式并思考得出：
，
分子分母同除以，便可得到：.
（2）由两角和的正弦公式如何得到两角差的正切公式？
用替换中的即可得到：.
（3）对于两角和与差的正弦公式，思考讨论：
a.公式是如何推导出来的？有什么限制条件？
b.公式有何特点？
c.公式有何用处？有何变形？
师生共同探讨：
a.必须在定义域范围内使用上述公式，即，，只要有一个不存在就不能使用这两个公式，只能（也只需）用诱导公式来解.
b.注意公式的结构，尤其是符号.
c.的变形：
，
，
.
的变形：
，
，
.
【设计意图】在教师的指导下，学生通过合作交流，探究问题，共同完成两角和与差的正弦、正切公式的推导，提升学生数学抽象素养.
例题点拨
例3 已知，是第四象限角，求，，的值.
解：因为，是第四象限角，得，
，
于是有，
，
.
例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
解：（1）；
（2）；
（3）．
【设计意图】固化概念，提升能力，提升学生的数学运算素养.
探究三：二倍角的正弦、余弦、正切公式
师：提出问题：在公式，，中对，如何合理赋值，才能出现，，的表达式？请同学们把对应的等式写出来.
生：在公式，，中，令就可以求出，，的表达式.
；
；
.
师：对于和，，但是在使用时，要保证分母，且有意义，即，且.当时，的值不存在；当时，的值不存在，故不能用二倍角公式求，此时可以利用诱导公式直接求.
【设计意图】在教师指导下，学生通过合作交流，探究问题，共同完成二倍角公式的推导，提升学生的数学抽象素养.
例题点拨
例5 已知，，求，，的值.
分析：已知条件给出了的正弦函数值.由于是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.
解：由，得.
又，所以.
于是
.
；
.
【设计意图】通过动手，增强学生运用所学知识解决问题的能力，提升学生的数学运算素养.
课堂练习
1.( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：解法一
，故选D.
解法二 由题意可知
，故选D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.1
答案：A
解析：.
3.( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
，故选B.
4.若，则( )
A.2 B. C. D.1
答案：D
解析：，故选D.
5.设为锐角，若，则的值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为为锐角，且，所以，
所以，故选B.
6.若，是方程的两个根，则____________.
答案：
解析：因为，是方程的两个根，
所以，，
所以.
7.已知，，则____________，____________.
答案：；
解析：，，
.，，即，
，.
小结作业
小结：本节课学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角差的余弦公式
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.二倍角公式
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