5.5.2 简单的三角恒等变换 教案

第五章 三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换
教学设计
教学目标
1.会通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.
2.理解积化和差与和差化积公式的推导.
3.会把形如的三角函数转化成一个角的一个三角函数的形式，并能用来解决有关周期、最值等问题.
4.体会划归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想.
教学重难点
教学重点：半角公式、积化和差、和差化积公式的推导，三角变换的内容、思想和方法.
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计.
教学过程
新课导入
学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.这节课我们就来继续学习一下其他的三角恒等变换公式.
新知积累
探究一：半角公式
例题引入：
例1 试以表示，，.
解：是的二倍角.
在倍角公式中，以代替，以代替，
得，所以.①
在倍角公式中，以代替，以代替，
得，所以.②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得.
师：例1的结果还可以表示为：
，，.
符号由所在象限决定.
【设计意图】通过总结归纳半角公式的特点，使学生了解半角公式的结构特征，熟练掌握半角公式，以便在三角恒等变换中熟练应用.
探究二：积化和差公式与和差化积公式
例题引入：
例2 求证：
（1）；
（2）.
证明：（1）因为，
，
将以上两式的左右两边分别相加，得，
即.
（2）由（1）可得.①
设，，那么，.
把，的值代入①，即得.
师：由例2我们可以进一步得到：
1.积化和差公式
；
；
；
.
2.和差化积公式
；
；
；
.
探究三：辅助角公式
师：怎样将转化成的形式呢？
生：.
因为，
从而令，，
则有.
因此，有如下结论：
，其中.
师：类似地，是否可以将其写成余弦的形式呢？
生：可以将其写成余弦的差角形式，即
，其中.
【设计意图】师生一起探究辅助角公式的生成过程，有利于学生明确公式的来龙去脉，对于具体的问题，也方便学生进行推导.
例题点拨
例3 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）；（2）.
解：（1）
.
因此，所求周期为，最大值为2，最小值为.
（2）设，
则，
于是，，
于是，所以.
取，则，.
由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为.
【设计意图】增强学生的动手解题能力，提升数学运算素养.
例题巩固
例1 如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解：在中，，.
在中，.
所以，.
设矩形ABCD的面积为S，则
.
由，得，
所以当，即时，.
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
课堂练习
1.已知，且，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：本题考查余弦的半角公式.由，得，
所以.
2.已知是第三象限的角，，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为，，所以.
因为是第三象限的角，所以，所以.
3.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为，
所以.
4.函数的一个单调递增区间是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，令，
解得，，令，可得，
即是函数的一个单调递增区间.故选D.
小结作业
小结：本节课学习了简单的三角恒等变换.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
5.5.2 简单的三角恒等变换
1.半角的正弦、余弦、正切公式
2.积化和差与和差化积公式
3.辅助角公式
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