5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 教案

第五章 三角函数
5.6 函数
教学设计
教学目标
1.了解匀速圆周运动的数学模型.
2.了解，，对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象.
3.了解函数中常数，，的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念.
教学重难点
教学重点：用参数思想讨论函数的图象变换过程.
教学难点：图象变换与函数解析式变换的内在联系.
教学过程
新课导入
问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图5.6-2）
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗
新知积累
探究一：匀速圆周运动的数学模型
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律.思考：如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过s后，盛水筒从点运动到点.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间.
下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.
如图5.6-3，以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系.设时，盛水筒位于点，以为始边，为终边的角为，经过s后运动到点.于是，以为始边，为终边的角为，并且有
①
所以，盛水筒距离水面的高度与时间的关系是
②
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律.由于是常量，我们可以只研究函数①的性质
【设计意图】创设情境，引入要研究的数学模型.
探究二：函数的图象
1.探索对函数图象的影响：
一般地，当动点的起点位置所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度，就得到函数的图象.
2.探索对函数图象的影响：
一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象.
3.探索对函数图象的影响：
一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）而得到.从而，函数的值域是，最大值是，最小值是.
4.函数的图象与的图象的关系：
函数的图象向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象.
【设计意图】使学生掌握由的图象得到的变换方法，提升逻辑推理核心素养.
例题点拨
例1 画出函数的简图.
解：先画出函数的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图所示.
下面用“五点法”画函数在一个周期内的图象.
令，则.列表如下，描点画图如图所示.
0
0 2 0 0
【设计意图】引导学生参与例题的解决，调动学习的积极性，检验学生的掌握情况.
例题巩固
例1 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min后距离地面的高度为 m，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程中，游客距离地面的高度呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.
解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
（1）设时，游客甲位于点，以为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要30 min，可知座舱转动的角速度约为
5 rad/min，由题意可得，.
（2）当时，.
所以游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度约为37.5 m.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则.
经过后甲距离地面的高度为，点B相对于
点A始终落后2 rad，此时乙距离地面的高度为.
则甲、乙距离地面的高度差
.
利用，可得，
.
当（或），即（或22.8）时，
h的最大值为，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m.
课堂练习
1.为得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
答案：D
解析：因为，所以要得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D.
2.函数的最小正周期、振幅、初相分别是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由函数解析式知，最小正周期，函数的振幅为2，在中，令，求得初相为.故选C.
3.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：本题考查三角函数图象的伸缩变换和平移变换、三角函数的解析式.根据题目条件逆向思维，把函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得，即.
4.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则m的最小值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意知，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，再将的图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，.为奇函数，，，解得，，，m的最小值为.故选C.
小结作业
小结：本节课学习了函数.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
5.6 函数
1.匀速圆周运动的数学模型
2.，，对函数图象变化的影响
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