5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 学案（含答案）

第五章 三角函数
5.6 函数
学案
学习目标
1.了解匀速圆周运动的数学模型.
2.了解，，对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象.
3.了解函数中常数，，的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念.
知识汇总
1.对函数图象的影响：
一般地，当动点的起点位置所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度，就得到函数的图象.
2.对函数图象的影响：
一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象.
3.对函数图象的影响：
一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）而得到.从而，函数的值域是，最大值是，最小值是.
4.函数的图象与的图象的关系：
函数的图象向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象.
习题检测
1.为得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
2.函数的最小正周期、振幅、初相分别是( )
A. B. C. D.
3.将函数的图像向左平移个最小正周期后，所得图像对应的函数为( )
A. B.
C. D.
4.设，函数的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，则的最小值是( )
A. B. C. D.3
5.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.5
6.将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则正数的最小值是( )
A. B. C. D.
7.若将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则函数图象的对称轴可能是( )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
8.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B.
C. D.
9.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则m的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则m的值可能为( )
A. B. C. D.
11.（多选）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.
B.若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数
C.若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数
D.，若恒成立，则的最大值为.
12.函数的图象可由函数的图象至少向右平移_______个单位长度得到.
13.已知函数的部分图象如图所示，则__________.
14.已知函数满足，其中，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象.
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)求在上的最值及相应的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以要得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D.
2.答案：C
解析：由函数解析式知，最小正周期，函数的振幅为2，在中，令，求得初相为.故选C.
3.答案：C
解析：函数，其最小正周期，其图像向左平移个最小正周期后，可得的图像.故选C.
4.答案：C
解析：由函数的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，得是此函数周期的整数倍.又，，，.故选C.
5.答案：D
解析：，
因为该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
因为的图象关于y轴对称，所以是偶函数，
因此有，
因为，所以当时，有最小值，最小值为5.
故选：D.
6.答案：D
解析：将函数的图象向左平移个单位后，可得函数
的图象，再根据得到的图象关于y轴对称，可得，，即，，令，可得正数的最小值是，故选D.
7.答案：C
解析：由题得，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，令，，得，，当时，得函数图象的一条对称轴为直线.故选C.
8.答案：B
解析：本题考查三角函数图象的伸缩变换和平移变换、三角函数的解析式.根据题目条件逆向思维，把函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得，即.
9.答案：C
解析：由题意知，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，再将的图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，.为奇函数，，，解得，，，m的最小值为.故选C.
10.答案：B
解析：由题意得，，，，，又，，，，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，由题意可知，函数为奇函数，，，当时，，故选B.
11.答案：AB
解析：由题图，知，，.
，即，，
即，，，，故A正确；把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数解析式为，是奇函数，故B正确；把的图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到图像对应的函数解析式为，，，在上不是增函数，故C错误；，由恒成立，可得恒成立，令，，则，，，，，的最小值为，故D错误.故选AB.
12.答案：
解析：本题考查三角函数图象的平移变换.，令，则，即，当时，.
13.答案：
解析：由题图可知，所以，因此，所以，又函数图象过点，所以，即，，解得，，又因为，所以.故答案为.
14.答案：(1)
(2)
(3)当时，取得最小值，当时，取得最大值
解析：(1)函数
.
又，
，，解得，
又，.
(2)由(1)知，函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数)的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，
函数.
(3)当时，，，
由(2)知，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值.
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