13.3.1等腰三角形 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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人教版八年级数学上册 13.3.1 等腰三角形 导学案
【知识清单】
1.定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
3.等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【典型例题】
考点1：等边对等角
例1．下列关于等腰三角形的说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称“三线合一” B．等腰三角形两底角的平分线相等
C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形两腰上的中线相等
【答案】A
【分析】直接根据等腰三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”故错误；
B、等腰三角形中，两底角相等，所以两底角的平分线也相等，故正确；
C、等腰三角形两腰相等，由面积相等可知，两腰上的高也相等，故正确；
D、由对称性可知等腰三角形两腰上的中线相等，故正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题关键．
考点2：三线合一
例2．如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．
【详解】解：，且的周长为10，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
考点3：等角对等边
例3．在中，，，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状．
【详解】解：在中，，，
，
∴，
故，
所以的形状是等腰三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定，解题关键是熟记三角形内角和定理，求出求出的度数．
考点4：已知两点组成等腰三角形的点
例4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，则这样的点C有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】D
【分析】由题意知、是定点，是动点，所以要分情况讨论：以、为腰、以、为腰或以、为腰．则满足条件的点可求．
【详解】解：由题意可知：以、为腰的三角形有3个；
以、为腰的三角形有2个；
以、为腰的三角形有2个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．
考点5：等腰三角形的性质和判定
例5．如图，在中，，边的垂直平分线交，于点，，且，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质得出，则，根据求出，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等．
考点6：三角形边角的不等关系
例6．如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（　　）
A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC
【答案】C
【分析】在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，故A选项错误，同理，D选项错误，假设BD＝FD，则可以判定△DBE≌△DFC，所以∠B＝∠DFC，而在题目中，∠B是定角，∠DFC随着F的变化而变化，假设不成立，故B选项是错误的，由DE＝DC，DC⊥AC，DE⊥AB，根据Rt△DEA≌Rt△DCA（HL）得到C选项是正确的．
【详解】解：（1）在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，
故A选项错误；
（2）△BDE与△DCF，只满足∠DEB＝∠DCF＝90°，DC＝DE的条件，不能判定两个三角形全等，故不能得到BD＝FD，
另一方面，假设BD＝FD，
在Rt△DBE与△DFC中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠DFC，
而图中∠B大小是固定的，∠DFC的大小随着F的变化而变化，故上述假设是不成立的，
故B选项错误；
（3）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE，
在Rt△DEA和Rt△DCA中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DCA（HL），
∴∠1＝∠2，
故C选项正确；
（4）在直角三角形ABC中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到AB＞AC，
故D选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边不等关系关系，掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形三边关系是解题关键．
【巩固提升】
选择题
1．在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，点在上，，且，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是( )

A． B． C． D．
4．高台县崇文楼始建2011年，取“崇文尚德·大运高台”之意，总高米，由台明、楼身和宝顶三部分组成．建这座楼的主要目的是为了延续高台人杰地灵、源远流长的文脉，在当今文化大发展时代，激励莘莘学子努力学习、求学上进，将来回报和建设家乡、建设祖国．如图，“崇文楼”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ）

A． B． C． D．
5．在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
6．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在中，，，则是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，在中，的平分线交于点D，，过点D作交于点E，若的周长为16，则边的长为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．16
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
10．如图，在中，，M，N，K分别是上的点，且，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
二、填空题
12．如图，点B，D在射线上，点C，E在射线上，且，已知，则 °．

13．如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等 ．

14．如图，在正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点，且使是等腰三角形，则点的个数为
．
15．如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则 ．
16．中，，，将折叠，使得点B与点A重合．折痕D分别交、于点D、P，当中有两个角相等时，的度数为 ．

17．等腰三角形的一边长11cm，另一边长5cm，它的第三边长为 ．
三、解答题
18．如图，为等腰直角三角形，，点D在上，点E在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，．

(1)求证：；
(2)试判断的形状，并说明理由．
20．已知：如图，在和中，，，垂足分别为，，，求证：是等腰三角形．

21．如图，已知坐标系内点，在坐标轴上找一点A，使是等腰三角形（利用尺规作图，找到所有满足条件的情况，保留作图痕迹，并简单写出作图说明）．
22．如图1，，其中，．

(1)若两个三角形按图2方式放置，、交于点，连接、，则与的数量关系为______，与的位置关系为_______；并证明；
(2)若两个三角形按图3方式放置，其中C、B（D）、F在一条直线上，连接，为中点，连接、．探究线段与之间的关系，并证明．
23．如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）利用尺规作图作边BC的高AD，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BD=CD．
（3）如果三角形的周长是22，一边长为5，求它的另外两边长．
参考答案
1．C
【分析】根据等边对等角得到，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角的性质．
2．B
【分析】由平行线的性质可得，在中，根据其内角和为，联立，即可求出的度数．
【详解】∵ ，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，即，
联立，
解得，．
故选：B
【点睛】此题考查了平行线的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识，解题关键是找出各角的关系．
3．B
【分析】如图，连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度；
【详解】如图连接PC，
∴垂直平分，
∴、、共线时，的值最小，最小值为的长度；

故选B
【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
4．C
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：，，
，即是的高线，
是等腰三角形，，
是的角平分线，故A选项不符合题意；
是等腰三角形，，
是的角平分线，故B选项不符合题意；
若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意；
，
，
是的角平分线，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
5．C
【分析】分三种情况讨论：以为腰，点为顶角顶点；以为腰，点为顶角顶点；以为底．
【详解】解：如图：如图，以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有5个；以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以为底的等腰，所以合计8个．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解．
【详解】解：在中，，
是等腰三角形；
，
，
，
点在的垂直平分线上，
，
是等腰三角形；
，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
，，
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形，
综上所述，等腰三角形有，，，，，共个，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．B
【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，根据等角对等边即可得出结论．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，以及等腰三角形的判定，熟知三角形的内角和等于，是解答此题的关键．
8．A
【分析】由题意可知，，有，可知，由三角形的周长可求的值，由可求的值．
【详解】解：是的平分线
∵
∴
∴
∴
∵的周长为16，
∴
∵，
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键在于推导出．
9．A
【分析】由题意得：，从而利用等边三角形的判定可得是等边三角形，然后分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
分三种情况：
当时，以点O为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点，；
当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点；
当时，作的垂直平分线，交x轴于点；
综上所述：以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
10．D
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，根据三角形全等的判定定理得出，根据三角形的外角性质得出的度数，即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
11．B
【分析】连接PC，由题意易得，进而可得要使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，然后根据三角形边角不等关系可得当点A、P、C三点共线时满足题意，最后问题可求解．
【详解】解：连接PC，如图所示：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴的周长为，
若使周长为最小，则需满足为最小，即为最小，
∵，
∴当点A、P、C三点共线时，为最小，即为AC的长，
∴的周长最小值为；
故选B．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及三角形边角不等关系是解题的关键．
12．
【分析】由“等边对等角”可得，由三角形的外角性质可得，据此即可求解．
【详解】解：∵
∴
根据三角形的外角性质有：
∵
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质．熟记相关结论是解题关键．
13．
【分析】根据勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一得出，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线重合．
14．8
【分析】根据等腰三角形的判定找出符合条件的所有点C即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
点C在、、、位置上时，；
点C在、位置时，；
点C在、位置上时，，
即满足条件的点的个数为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合条件的所有点是解题关键，注意有两边相等的三角形是等腰三角形．
15．4
【分析】利用角平分线以及平行线的性质，得到和，利用等角对等边得到，，最后通过边与边之间的关系即可求解．
【详解】解：如下图所示：
、分别是与的角平分线，
，，
∵，
，，
，，
，，
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要是考查了等角对等边以及角平分线和平行的性质，熟练根据角平分线和平行线的性质，得到相等角，这是解决该题的关键．
16．或或；
【分析】分，，三类讨论结合折叠的性质及三角形内角和定理即可得到答案；
【详解】解：①当时，
∵，
∴，
∴，
∵将折叠，使得点B与点A重合，
∴，
此时，符合题意；
②当时
∵，
∴，
∴，
∴
∵将折叠，使得点B与点A重合，
∴，
此时，符合题意；
③当时
∵，
∴
∴
∵将折叠，使得点B与点A重合，
∴，
此时，符合题意；
综上所述答案为：或或；
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意分类讨论．
17．11cm
【分析】分两种情况，当腰长分别为5cm或11cm时，结合三角形三边关系，求解即可．
【详解】解：当腰长为5cm时，则三角形三边分别为5cm、5cm、11cm，
，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去，
当腰长为11cm，则三角形三边分别为5cm、11cm、11cm，
，满足三角形三边关系，符合题意．
故答案为：11cm．
【点睛】此题考查了等腰三角形的定义，以及三角形三边关系，解题的关键是掌握等腰三角形的定义以及三角形三边关系．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到，，再利用证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到，继而求出，根据全等三角形的性质得到，再利用角的和差计算即可．
【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角．
19．(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，，进而根据，得出，根据等角对等边即可得证；
（2）根据是的垂直平分线，得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得是等边三角形；
【详解】（1）∵，，是边上的中线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）结论：是等边三角形．
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，是边上的中线，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
20．见详解
【分析】由题意易证，则有，然后问题可求证．
【详解】证明：∵，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键．
21．见解析
【分析】根据等腰三角形的定义画出图形即可．
【详解】解：如图，以O为圆心，为半径作，与坐标轴有4个交点；以P为圆心，为半径作，与坐标轴有2个交点（点O除外）；作线段的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
观察图象可知，满足条件的点A有8个．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会把复杂作图拆解成基本作图，会利用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考内容．
22．(1)，
(2)，．
【分析】（1）利用全等三角形的性质，线段的垂直平分线的判定定理即可解决问题；
（2）结论：，．如图3中，延长交的延长线于．想办法证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，

∵（已知），
，，
，
，，
，
，
，
垂直平分线段．
，
故答案为：，；
（2）结论：，．
理由：如图，延长交的延长线于．

，，，共线，
∴，
，
，，
，
，，
，
，
即，
∵（已知），
，，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）8.5.
【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画圆，在三角形内部交点为E，连接AE并延长交BC于点D即为所求；
（2）证明三角形ABD与三角形ADC全等即可；
（3）分类讨论：①AB=5,则,，三角形要满足两边之和大于第三边,此时，不符舍去；②BC=5，则.
【详解】（1） 如图，分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径画圆，在三角形内部交点为E，连接AE并延长交BC于点D即为所求；
（2）证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD与△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴BD=CD．
（3）分类讨论：①AB=5,则,，三角形要满足两边之和大于第三边,此时，不符舍去；②BC=5，则.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形三边关系，灵活运用等腰三角形的性质和分类讨论的思想是解题的关键.
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