13.3.2等边三角形 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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人教版八年级数学上册 13.3.2 等边三角形 导学案
【知识清单】
1.定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
2.等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　
3.等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【典型例题】
考点1：等边三角形的性质
例1．如图，等边中和分别为、边上的点，且，和交于点，则的度数为（ ）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】C
【分析】先根据等边三角形的性质得到，，再证明得到，然后利用等量代换得到．
【详解】解：为等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质．
考点2：等边三角形的判定
例2．下列命题中正确的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
B．等腰三角形两腰上的高相等
C．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16
D．有一个角等于的三角形是等边三角形
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的判定进行逐项分析即可．
【详解】解：A. 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故该选项说法错误；
B. 等腰三角形两腰上的高相等，故该选项说法正确；
C. 已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为16或17，故该选项说法错误；
D. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故该选项说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定是解题的关键．
考点3：等边三角形的判定和性质
例3．如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为（ ）

A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【分析】作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：如图，∵是等边三角形，
∴，，
∵D为中点，
∴，
作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
考点4：含30度角的直角三角形
例4．如图，平分，，于D，若，，则的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】作于，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出的度数，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的性质得到答案．
【详解】解：作于，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
平分，，，
．
故选：C．

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．等腰三角形一边上的中线也是这边上的高
D．等边三角形是轴对称图形
2．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
D．三个角都相等的三角形是等边三角形
4．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能
5．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，是等边三角形，，若，，则四边形的周长为（ ）

A．8 B．9 C．13 D．15
7．如图，在中，，，过点作交于点，过点作交于点，则的长为（ ）

A． B． C． D．
8．在中，，，如果，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，则的度数为 度．

10．若中，，请添加一个条件使是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）
11．在扇形中，，扇形所在圆的半径为12，点P，N，M分别是弧，线段，上的动点，则周长的最小值为 ．

12．在中，，，，则斜边上的高线长是 ．
三、解答题
13．已知：中，，分别以斜边和一条直角边在内作等边三角形和等边三角形（或等边三角形）．

(1)如图1，直线交边于点，求证：；
(2)如图2，直线交边的延长线于点，线段，，之间有怎样的数量关系？并给出证明．
14．如图，在中，，，是边的中点，，，点、为垂足．求证：

(1)；
(2)是等边三角形．
15．是等边三角形，点、分别在边，上，，交于点，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，为的角平分线，点在的延长线上，，连接，，求证：．
16．如图，等边三角形中，D、E分别是、边上的点，，与相交于点P，，Q是射线上的动点．

(1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．
(2)若为直角三角形，求的值．
17．如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

(1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M；
(2)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
参考答案
1．D
【分析】根据三角形的外角的性质，全等三角形的判定，轴对称图形的定义一一判断即可．
【详解】解：A、三角形的外角大于它的任何一个内角，错误，应该是三角形的外角大于它的任何一个和它不相邻的内角，本选项不符合题意；
B、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，错误，应该是有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、等腰三角形一边上的中线也是这边上的高，错误，应该是等腰三角形底边上的中线也是这边上的高，本选项不符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．A
【分析】根据等边三角形的性质，证明；即可得①正确；证明，，再由，即可得②正确；先证，得，再证，即可得③正确；先证，得，再证，由，即可得④正确；
【详解】解：是等边三角形，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于边上的点G，
，
，
，故②正确；
如下图，过点G作于T，于J，于K，

平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上：正确的有4个；
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，三角形的外角，解题的关键是证三角形全等．
3．B
【分析】根据等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故该选项正确，不符合题意；
B. 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合，故该选项不正确，符合题意；
C. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故该选项正确，不符合题意；
D. 三个角都相等的三角形是等边三角形，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的判定定理，等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键．
4．C
【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．
【详解】解：因为三角形是轴对称图形，
则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，易于掌握．
5．D
【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确．
【详解】解：①∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，①正确；
②，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，②正确；
③与②的过程同理得：，
∴，
③正确；
④∵，且，
∴，故④错误；
⑤∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴⑤正确．
故选：D
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据等边三角形的判定和性质求解，即可得到答案．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质，解题关键是掌握等边三角形三条边相等，三个角均为．
7．B
【分析】作于，由，得到，求出，得到，因此，求出的长，即可得到的长，从而求出的长．
【详解】解：作于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
8．B
【分析】根据直角三角形的性质：的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】如图，

∵，，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了含角的直角三角形的性质，正确掌握含角的直角三角形定理是解题的关键．
9．
【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，得到，结合，根据三角形内角和定理，对顶角的性质得，根据得，计算即可．
【详解】∵等边，沿直线翻折，使点B落在点处，
∴，
∵，
根据三角形内角和定理，对顶角的性质得
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10．或，或，或，，或，或．
【分析】根据等边三角形的判定方法添加条件即可．
【详解】如图，

①∵中，，
，
若添加，
则是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形），
同理，也可以添加，或；
②∵中，，
若添加，
则，
则是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形），
同理，也可以添加；
③∵中，，
，
若添加，
则，
则是等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形），
同理，也可以添加．
综上，添加的条件可以是：或，或，或，，或，或．
故答案为：或，或，或，，或，或．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．
11．12
【分析】作点关于的对称点，连接，根据周长等于，当四点共线时，周长最小，根据对称性进行求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，

则：，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵周长等于，
当四点共线时，周长最小，即为的长，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用轴对称解决周长最短问题．解题的关键是掌握成轴对称的性质，构造将军饮马模型．
12．
【分析】根据直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据等面积法即可解答．
【详解】解：如图，过作于点，

∵，，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴，
∴斜边上的高线长，
故答案为：．
【点睛】此题考查了直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半和等面积法，解题的关键是熟记性质及其应用．
13．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）结合等边三角形的性质，证明，由全等三角形的性质可得，易得，即可证明；
（2）同理（1），证明，且，易得，即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵与是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）．
证明：由（1）知，同理可证及，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用证明，进而解答即可；
（2）由，进而得到．由（1）得，求出．所以是等边三角形．
【详解】（1）解：证明：，
．
，，
．
是边的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
．
（2）由（1）得，
．
，
由（1）得，
．
．
是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，，可证得，进而证得．
（2）作，交的延长线于点，作，交于点，根据角平分线的性质，可证得，进而可证得，，根据，可求得为等边三角形．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
（2）如图所示，作，交的延长线于点，作，交于点．

∵，
∴．
∵为的角平分线，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，，，
∴．
在和中
∴．
∴，，，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在和中
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴为等边三角形．
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、角平分线的性质，能根据题意构建辅助线是解题的关键．
16．(1)2，证明见解析
(2)2或8
【分析】（1）利用等边三角形的性质，以及证明即可；
（2）分为直角，两种情况，结合30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：图中有2组全等，；
证明：∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵Q是射线上的动点，当为直角三角形时：
①当时，如图，

则：，
∴；
②当时，如图，

则：，
∴．
综上：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
17．(1)中点，6
(2)存在，运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形
【分析】（1）求出运动的路程即可判断的位置，由题意得：，求出的值即可；
（2）列出关于的方程，求出的值，即可解决问题．
【详解】（1）当点第一次到达点时，
，
运动了，
点的位置在中点；
当点追上点时，
由题意得：，
，
当、运动6秒时，点追上点，
故答案为：中点，6．
（2）如图，，
作于，
，，
，
，
，

、运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，关键是由题意得到关于的方程．
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