13.4课题学习最短路径问题 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题 导学案
【知识清单】
1.最短路径问题解题根据：
（1）两点的所有连线中，段线最短.
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
2.最短路径问题类型：
（1）在直线上找一点，使这个点到直最短路径问题线异侧的两个点的距离（PA＋PB）最短。
如图所示，连接AB,与直线相交于一点P,根据“两点之间线段最短",可知P点就是要找的点.
（2）在直线上找一点，使这个点到直线同侧的两个点的距离的和（PA＋PB）最小.
如图所示.在直线旁作以直线为对称轴的A点的对称点A',再将这一对称点A'与另一点B连接交直线于P点，这个点P即为所求的点。
（3）在直线1、2上分别求点M、N,使△PMN的周长最小.
如图所示，分别作点P关于两直线1、2的对称点P',P",连接P'P",与两直线的交点即为点M,N。△PMN周长的最小值为线段P'P"的值。
（4）在直线1、2上分别求点M、N,,使四边形PMNQ的周长最小。
如图所示，分别作点P,Q关于直线1、2的对称点P',Q',连接P'Q',与两直线的交点即为点M,N四边形PMNQ周长的最小值为P'Q'+PQ的值。
【典型例题】
考点1：等边三角形的性质
例1．如图，在中，，，的面积为12，于点，直线垂直平分交于点，交于点，是线段上的一个动点，分别连接，，则的周长的最小值是（ ）

A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】B
【分析】连接，由得到是等腰三角形，由等腰三角形的性质及的面积为12得到，，由直线垂直平分交于点，交于点，则，由是线段上的一个动点得到，即当三点共线时，取最小值，最小值等于为的长，即可得到的周长最小值为
【详解】解：如图，连接，

∵，
∴是等腰三角形，
∵，于点D，的面积为12，
∴，,
∴，
∵直线垂直平分交于点，交于点，
∴，
∵是线段上的一个动点，
∴，
∴当三点共线时，取最小值，最小值等于为的长，
∴的周长为，
即的周长的最小值是7．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确当三点共线时，取最小值，最小值等于为的长．
考点2：等边三角形的判定
例2．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到当时，的值最小，即的值最小，即可得到结论．
【详解】解：连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
的最小值的最小值，
，
当时，的值最小，即的值最小，
的最小值是线段的长度，
故选：C．

【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
考点3：等边三角形的判定和性质
例3．如图，从地到地的最短路线是( )

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“两点之间，线段最短”来判断即可．
【详解】解：由“两点之间，线段最短”可知地到地的最短路线是，沿直线行走，所以从地到地的最短路线是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
考点4：含30度角的直角三角形
例4．如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】两点之间，线段最短，甲到乙最短的路线是从甲到乙的线段，由此解答即可．
【详解】解：甲到乙最短的路线是，
故选：B．
【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的是理解最短路线的简单应用．
【巩固提升】
选择题
1．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）

A．12 B．8 C．10 D．20
2．如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
4．小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）．
A． B． C． D．
5．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）

A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ；

7．如图，的面积是，最长边，平分，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
8．如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．

9．如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．

10．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．

三、解答题
11．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．

(1)作关于直线对称的图形；
(2)点P在直线上，当周长最小时，仅用无刻度的直尺在直线上作出点P的位置．
12．如图，的坐标分别是．

(1)如图1，画出关于轴对称的图形；
(2)如图2，在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标．
13．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形(顶点是网格线交点的三角形)的顶点，的坐标分别是，．

(1)请在图中的网格中建立平面直角坐标系；
(2)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
(3)请在轴上求作一点，使的周长最小(保留作图痕迹，不写作法)．
14．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
(1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
(2)在y轴上求作点D，使得值最小，请你直接写出D点坐标．
15．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、、、．

(1)请作出四边形关于轴对称的四边形，并写出点的对应点的坐标；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小，在图中标出的位置，并写出点的坐标（保留画图过程的痕迹）．
16．如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．

(1)______，______度；
(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的度数；
(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．C
【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，

∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴周长的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
2．B
【分析】由题意等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点A关于直线的对称点M，连接交于E，此时的值最小，最后依据周长的最小值求值即可得出答案．
【详解】解：如图，

∵都是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴点E在射线上运动()，
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，
∵
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∴周长的最小值．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短路径问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出的值最小．
3．B
【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点B，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，．

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点A关于直线的对称点为点B，，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
4．C
【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．
【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点，
，
，
在街道上任取除点以外的一点，连接，，，
，
在中，两边之和大于第三边，
，
，
点到两小区送奶站距离之和最小．

故选：C．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点的位置．
5．C
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，

∵，
∴，
∴，
∵，，
且，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
6．9
【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，．

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
7．10
【分析】过点C作于点E，交AD于点M，过点M作于N，则CE的长即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长即可．
【详解】解：过点C作于点E，交AD于点M，过点M作于N，
平分，于点E， 于N，
，
，
根据垂线段最短可知，CE的长即为的最小值，
的面积是，最长边，
，
，
即的最小值为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查轴对称——最短路径问题，关键是根据垂线段最短将的最小值转化为CE ．
8．
【分析】作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，证明即可．
【详解】解：作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，

，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
点E为边上的中点，
，
，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．
9．
【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，

，且，
，
点关于对称的点为，点关于对称的点为，
，，，
，
，
的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
的面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
10．3
【分析】根据是的平分线确定出点关于的对称点在上，根据垂线段最短，过点作于交于，根据轴对称确定最短路线问题，点即为使最小的点，，过点作于，利用三角形的面积求出，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得，从而得解．
【详解】解：如图，过作于交于，

则，
是的平分线，
，
，
，
，
点关于的对称点在上，
过点作于交于，
由轴对称确定最短路线问题，点即为使最小的点，，
过点作于，
，，
，
解得，
是的平分线，与关于对称，
，
是等腰三角形，
，
即的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点的位置是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作关于直线对称的图形；
（2）连接交直线于点，即可使周长最小．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）∵点关于的对称点为，连接交直线于点，
此时周长最小．
点即为所求．
【点睛】本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
12．(1)作图见详解
(2)点的坐标为
【分析】（1）根据图形关于轴对称的作法即可求解；
（2）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点的位置，根据图形与坐标即可求解．
【详解】（1）解：关于轴对称的图形，如图所示，

∴即为所求图形．
（2）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，此时的值最小，

∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，对称—最短路径的知识，掌握图像关于轴对称的作法，最短路径的计算方法是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析，点的坐标为
(3)见解析
【分析】（1）根据A、C两点坐标根据平面直角坐标系即可；
（2）画出A、B、C关于y轴对称的并依次连接，写出坐标即可；
（3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P；
【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系

（2）如图，即为所求，点的坐标为

（3）如图，点即为所求

【点睛】本题考查了作图轴对称变换、最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用轴对称解决最短问题．
14．(1)见解析，点的坐标是
(2)见解析，D点坐标是
【分析】（1）先根据轴对称性质得到对应点、、，再顺次连接可得，进而可得点坐标；
（2）根据轴对称性质，作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于点D，则此时最小，根据图形可得点D坐标．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标是；
（2）解：如上图，作点A关于y轴的对称点，连接与y轴交于点D，则此时最小，D点坐标是.
【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称变换、利用轴对称性质求最短路径，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键．
15．(1)图见解析，
(2)图见解析，
【分析】（1）根据对称的性质画图即可求解；
（2）根据尺规作图——最短路径问题进行分析即可求解．
【详解】（1）解：如图：

（2）解：如图：

过点作关于直线的对称点，连接，与直线交于点交于点，即为所求；
根据图象可知，点关于直线的对称点的坐标为，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了画已知图形的对称图形，根据对称的性质确定点坐标，尺规作图——最短路径问题等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．(1)4；45
(2)
(3)或或
(4)2
【分析】（1）根据题意可得，则，即可求得AE的长，再根据平分，即可求得的度数；
（2）根据轴对称图形的性质可得答案；
（3）根据题意可得，分三种情况：，，，再结合三角形内角和定理即可求解；
（4）过点M作，点P关于CD的对称点，根据题意可得，，根据，可得，则，，因此，以此得点E，M，三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．
【详解】（1）解：，，
，
，
点是边的中点，
平分，
，
故答案为：4；45．
（2）∵四边形为轴对称图形，平分，
∴对称轴为直线，
∴．
（3）∵平分，，
∴．
当时，，
∴；
当时，；
当时，．
综上所述，的度数为或或．
（4）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，

，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
当点E，M，三点共线时，的值最小，
又根据垂线段最短，
当时，有最小值，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．
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