第四章 指数函数与对数函数 单元综合练习卷（含答案）

第四章 指数函数与对数函数单元综合练习卷
一．选择题（共8小题）
1．里氏震级（M）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A）和观测点所在地规模0地震所应有的振幅（A0）的常用对数演算而来的，其计算公式为．2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A5.5和A3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则＝（　　）（参考数据：）
A．25 B．31.6 C．250 D．316
2．2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为66个．已知1个超导量子比特共有“|0＞，|1＞”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00＞，|01＞，|10＞，|11＞”4种叠加态，3个超导量子比特共有“|000＞，|001＞，|010＞，|011＞，|100＞，|101＞，|110＞，|111＞”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长．设M个超导量子比特共有N种叠加态，且N是一个20位的数，则这样的M有（　　）个．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若二次函数y1＝x2﹣ax+b的两个零点为2，3，则二次函数y2＝bx2﹣ax﹣1的零点是（　　）
A．﹣1， B．1，﹣ C．， D．﹣，﹣
4．某地投资a亿元进行基础建设，t年后产生的社会经济效益为f（t）＝aeλt亿元，若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过t1年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16倍，则t1＝（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的ABCD面积为1000m2，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积A1B1C1D1最小时，则核心喷泉区BC的长度为（　　）
A．20m B．50m C． D．100m
6．已知2a＝15，log83＝b，则2a﹣3b＝（　　）
A．25 B．5 C． D．
7．已知2m＝9n＝6，则＝（　　）
A．log618 B．log65 C．1 D．2
8．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：
x/月份 2 3 4 5 6 …
y/元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
请从模型，模型中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（　　）（参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301）
A．8 B．9 C．10 D．11
二．多选题（共4小题）
9．已知正数x，y，z满足等式2x＝3y＝6z，下列说法正确的是（　　）
A．x＞y＞z B．x＞2y C． D．
10．已知2a＝3b＝6，则下列不等式中一定成立的是（　　）
A．a＞b B．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2
C．ab＞5 D．a2+b2＞8
11．已知2a＝3b＝6，则a，b满足（　　）
A．a＞b B． C．ab＞4 D．a+b＞4
12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），函数f（x+1）为偶函数，且当x∈[1，3]时，f（x）＝﹣x2+2x，则（　　）
A．f（x）的图象关于点（2，0）成中心对称
B．对任意整数k，f（2k）＝0
C．f（x）的值域为[﹣3，1]
D．3f（x）﹣x+2＝0的实数根个数为7
三．填空题（共4小题）
13．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度．假设在室内温度为20℃的情况下，一杯饮料由100℃降低到60℃需要20min，则此饮料从60℃降低到25℃需要 　 　min．
14．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在区间上的最大值是2，则a＝　 　．
15．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣a有两个零点，则实数a的取值范围是 　 　．
16．已知函数若方程f（x）＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是 　 　．
四．解答题（共6小题）
17．化简求值：
（1）；
（2）．
18．已知x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，且x12 x22﹣x1﹣x2＝115．
（1）求k的取值．
（2）求x12+x22﹣8的值．
19．新学期开学季，成都某学校附近又新开了一家奶茶店，其中有一种名为“奶茶三兄弟”的饮品很受学生欢迎，老板费尽心思想在这种饮品上赚得第一桶金，其销售的价格在一学期不同周次有所变化．设开始时每杯定价10元，从第一次周开始每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后，学生的新鲜感已过，平均每周削价2元，直到16周周末，老板为了让学生安心准备期末考试复习而不挂念“三兄弟”，该饮品暂停销售．
（1）试求该饮品每杯价格p（元）与周次t，（t∈[1，16]，t∈N）之间的函数关系式；
（2）若此饮品每杯成本价q（元）与周次t之间的关系是（t﹣8）2+12，t∈[1，16]，t∈N，试问该饮品第几周每杯的销售利润最大，并求出最大值．
20．某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为x，y，如图所示．
（1）写出：x，y满足的关系式；
（2）求温室体积的最大值．
21．已知函数y＝ax2﹣（a+2）x+2，a∈R
（1）y＜3﹣2x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若存在m＞0使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值．
22．已知函数，函数，
（Ⅰ）已知直线l是曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y＝g（x）相切，求a的值；
（Ⅱ）若方程f（x）＝g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围.
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8DBBCB BCC
二．多选题（共4小题）
9．AC
10．ABD
11．ACD
12．BCD
三．填空题（共4小题）
13．60
14． 或4
15．[﹣1，0] {1}
16．（10，12）
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝4+2lg2+2lg2×lg5+2（lg5）2＝4+2lg2+2lg5（lg2+lg5）
＝4+2lg2+2lg5＝4+2＝6．
18．解：（1）由题意可得，x1+x2＝6，x1x2＝k，Δ＝36﹣4k≥0，
所以k≤9，
∵x12 x22﹣x1﹣x2＝k2﹣6＝115，
所以k＝11（舍）或k＝﹣11，
（2）x12+x22﹣8＝＝36+22﹣8＝50．
19．解：（1）由题意得当0≤t≤5且t∈N*时，p＝10+2t；
当5＜t≤10且t∈N*时，p＝20；
当10＜t≤16且t∈N*时，p＝40﹣2t，
综上所述，p＝；
（2）由（1）得p＝，（t﹣8）2+12，t∈[1，16]，t∈N，
设利润为W，则W＝p﹣q，
∴当0≤t≤5且t∈N*时，，W＝10+2t﹣[﹣（t﹣8）2+12]＝t2+6，
∴当t＝5时，Wmax＝9.125；
当5＜t≤10且t∈N*时，W＝20﹣[﹣（t﹣8）2+12]＝t2﹣2t+16，
∴当t＝8时，Wmax＝8；
当10＜t≤16且t∈N*时，W＝40﹣2t﹣[﹣（t﹣8）2+12＝t2﹣4t+36，
∴当t＝11时，Wmax＝7.125，
∵9.125＞8＞7.125，
∴该饮品第5周每杯的销售利润最大，且最大值9.125元．
20．解：（1）由题意得，顶棚所用材料的面积为xy，3面墙壁所用材料的面积为3x+6y，
∵至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，
∴xy+3x+6y≤54（0＜x＜18，0＜y＜9）．
（2）∵3x+6y≥2＝6，
当且仅当x＝2y时取等号，
∴xy+6≤xy+3x+6y≤54，
令＝t＞0，则t2+6t﹣54≤0，
解得0＜t≤3，即0＜xy≤18，
当且仅当x＝6，y＝3时取等号，
∴温室体积V＝3xy≤54，
则温室体积的最大值为54m3．
21．解：（1）由题有ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，
即ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，
当a＝0时，﹣1＜0恒成立，符合题意，
当a≠0时，则，得，
得﹣4＜a＜0，
综上，a的取值范围为（﹣4，0]．
（2）当m＞0时，令t＝m++1≥2+1＝3，
当且仅当m＝1时取等号，
则关于x的方程f（|x|）＝t可化为a|x|2﹣（a+2）|x|+2﹣t＝0，
关于x的方程为a|x|2﹣（a+2）|x|+2﹣t＝0有四个不等的实数根，
即ax2﹣（a+2）x+2﹣t＝0，有两个不同的实数正根，
则，解得a＜﹣2，
由（1）可知存在t∈[3，+∞）使得不等式4at+（a+2）2﹣8a＞0成立，
故4a×3+（a+2）2﹣8a＞0，即a2+8a+4＞0，
解得a＜﹣4﹣2或a＞﹣4+2，
综上可得a＜﹣4﹣2，
所以a的取值范围为（﹣∞，﹣4﹣2）．
22．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝x3﹣6x的导数为f′（x）＝x2﹣6，
∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线l的方程为y＝﹣6x，
又曲线g（x）＝上点（m，n）为切点的切线l的方程为，
∴，解得a＝18．
（Ⅱ）记F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x3﹣x2﹣6x﹣a，
F′（x）＝x2﹣x﹣6，由F′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝3．
当x＜﹣2时，F′（x）＞0，F（x）递增；
当﹣2＜x＜3时，F′（x）＜0，F（x）递减；
当x＞3时，F′（x）＞0，F（x）递增．
可得x＝﹣2时，F（x）取得极大值，且为﹣a，
x＝3时，F（x）取得极小值，且为﹣a，
因为当x→+∞，F（x）→+∞；x→﹣∞，F（x）→﹣∞．
则方程f（x）＝g（x）有三个不同实数解的等价条件为：
﹣a＞0且﹣a＜0，解得＜a＜．
故实数a的取值范围为