专题10.7 直线与圆锥曲线的位置关系-2024年高考一轮复习数学人教A版专题讲义（含答案）

专题10.7 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系
联立得.
设一元二次方程的判别式为，
当时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当没时，方程无解，直线与椭圆相离.
2.直线与双曲线的位置关系
联立得.
设一元二次方程的判别式为，
位置关系 图形特点（形） 交点个数 方程解（数）
相交 一个公共点 （直线与双曲线的渐近线平行） 方程有1个解
两个公共点 （在一支或两支上） 方程有2个解
相切 一个公共点 方程有1个解
相离 无公共点 方程无解
注意：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
3.直线与抛物线的位置关系
联立得.
设一元二次方程的判别式为，
当时，当时，方程有两解，直线与抛物线相交；
当时，方程有一解，直线与抛物线相切；
当时，方程无解，直线与抛物线相离.
当时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个交点.
注意：
⑴直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
⑵研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
4.直线与圆锥曲线的弦长公式
⑴弦长公式：直线与圆锥曲线交于两点，设.
弦长
⑵抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦公式为，为过焦点的直线的倾斜角.
【重要结论】
1.已知椭圆．
⑴通径的长度为.
⑵过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；
过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
⑶A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.
⑷AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
⑸过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.
⑹点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
2.已知双曲线.
⑴点处的切线平分在点处的内角.
⑵若在双曲线上,则过的双曲线的切线方程是.
⑶若在双曲线外,则过作双曲线的两条切线切点为,则切点弦的直线方程是.
⑷是双曲线的不平行于对称轴且过原点的弦,为的中点,则.
⑸若在双曲线内,则被所平分的中点弦的方程是.
1.【人教A版选择性必修一 习题3.2 第13题 P128】已知双曲线．
求直线被双曲线截得的弦长；
过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点？
2.【人教A版选择性必修一 复习参考题3 第12题 P146】设是抛物线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为 ，此时点的坐标为 ．
【方法储备】
判断直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴判断直线与圆锥曲线的位置关系时，利用方程思想，联立方程组得到一元二次方程，借助方程根个数，判断直线与圆锥曲线的位置关系.在判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时，注意直线与双曲线、抛物线仅有一个公共点时，可能为相交或相切.
⑵对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
⑶利用数形结合的方法可以迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系.尤其是在解决有关直线与双曲线的位置关系问题时,灵活利用直线与渐近线的关系可以快速解题.
【典例精讲】
例1.(2023·江苏省盐城市模拟) 过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
例2.(2023·湖南省永州市月考) 已知直线与曲线恒有公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3.(2023·江苏省泰州市月考) 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练1-1(2023·陕西省西安市期中) 过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的左、右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·安徽省滁州市期末) 已知斜率存在的直线与椭圆交于，两点，且与圆切于点若为线段的中点，则直线的斜率为( )
A. B. C. 或 D. 或
练1-3(2022·广东省广州市月考)（多选） 已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，，则( )
A. 为定值 B. 为定值
C. 为定值 D. 为定值
【方法储备】
1.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与圆锥曲线的方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点坐标；
(2)点差法：将弦的两端点的坐标带入圆锥曲线的方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
2.求弦长
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为的直线与圆锥曲线相交于两个不同的点，则弦长
【典例精讲】
例4.(2023·浙江省杭州市联考) 已知离心率为的双曲线的右焦点，过点作一条直线与双曲线交于，两点，为双曲线的左焦点，若，则( )
A. B. C. D.
例5. (2023·广东省东莞市期中) 已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点，且直线与的倾斜角互补，则 ．
例6. (2023·江苏省南通市月考) 已知直线交椭圆于、两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是( )
A. B.
C. D.
【拓展提升】
练2-1(2023·天津市市辖区模拟) 已知抛物线：的焦点与椭圆：的一个焦点重合，且的准线与椭圆相交所得的弦长为，则椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
练2-2(2023·安徽省安庆市模拟) 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于、两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为( )
A. B. C. D.
练2-3(2023·河北省名校联考) 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，．
求抛物线的标准方程
设直线，的斜率分别为，，证明：为定值
求弦长的最小值．
1.(2023·重庆市市辖区模拟) 直线与曲线恰有个公共点，则实数的取值范围为 ．
2.(2023·湖南省长沙市月考) 已知抛物线：，圆：，直线：与交于，两点，与交于，两点，若，则 ．
3.(2023·江苏省盐城市模拟)（多选） 设为双曲线上一动点，，为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是( )
A. 若点，则最小值为
B. 若过点的直线交于、两点、与均不重合，则
C. 若点，在双曲线的上支，则最小值为
D. 过的直线交于、不同两点，若，则有条
【答案解析】
1.【人教A版选择性必修一 习题3.2 第13题 P128】
解：联立，得．
解得，，
则直线被双曲线截得的弦的两个端点为，，
弦长为；
假设存在直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点．
设，，易知，
则，，
两式相减得，
又，，，
，
故直线的方程为，即．
由，消去得，
，方程无解，
故过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点．
2.【人教A版选择性必修一 复习参考题3 第12题 P146】
解：方法一：设是上任意一点，
则点到直线的距离
，
当时，，此时点的坐标为．
方法二：设与抛物线相切且与直线平行的直线方程为，
由得，
因为，所以．
所以平行直线的方程为，
此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，
则，此时点的坐标为．
故答案为：；．
例1.解：由双曲线的方程可知其渐近线方程为，
则点在渐近线上，
又双曲线的右顶点为，
如图所示．满足条件的直线有两条：，．
例2.解：直线方程为，直线恒过定点．
曲线的方程为，
曲线表示椭圆．
直线与曲线恒有公共点，
点在椭圆内或椭圆上， ，即
例3.解：因为
，
可转化为点到点和点的距离之和为，
故点在椭圆上，
表示点与椭圆上一点所连直线的斜率，如图：
设该直线的方程为，
由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值，
联立方程组，整理得，
则，解得或，
故的取值范围是．
练1-1.解：已知双曲线的右焦点为，
若过右焦点且斜率为的直线与双曲线的左、右支各有一个交点，
则该直线的斜率小于渐近线的斜率的绝对值，，
即有，，
故选：．
练1-2.解：设点 的坐标分别为 ，
则： ，作差后可得： ，
即： ；
又因为直线 与直线 垂直，故可得 ，
与 联立后可得： ，解得 ，
又因为点 在圆 上，故可得： ，解得 ，
则 ，即直线 的斜率为 或 ．
故选：．
练1-3.解：由得：，由韦达定理可得，
对于，为定值，A正确
对于，，B正确
对于，，不为定值，C错误
对于，
，则为定值，D正确．
故选：．
例4.解：因为，即，又，
所以，，即双曲线方程为．
结合直线斜率不存在的情况及离心率为，可得直线斜率存在且不为，
设直线方程为，，，
把代入双曲线方程并整理得
，易得，
则，，
因为，所以，
即，
，
整理得
解得，即，，
则．．
故选：．
例5.解：由点在抛物线上得：，即．
所以抛物线的方程为：由题意知直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，
由直线与的倾斜角互补得，即
，所以．
联立，得，所以，．
所以，即，所以．
．
例6.解：设，，
又椭圆即，
所以易知，，
所以由重心坐标得，，
所以弦的中点为，
因为点，在椭圆上，
所以，
作差得，
将①和②代入得直线的斜率，
所以直线的方程为：，即．
故选：．
练2-1.解：由题意抛物线：的焦点与椭圆：的一个焦点重合，
且的准线与椭圆相交所得的弦长为，
抛物线：的焦点为，故，抛物线准线方程为，
将代入可得，结合，
得，得，则长轴长为，
故选：．
练2-2.解：设，，
则有，两式作差得，
即，
即，
，，，
又，，
故椭圆的面积为：．
故选：．
练2-3.解：由椭圆方程得，椭圆的右焦点为，
抛物线的焦点为，
，抛物线的标准方程为；
抛物线准线方程为设，
设过点的直线方程为，
与抛物线方程联立，消去得：．
其判别式，
令，得：，
由韦达定理知，，故定值
设，由，得，
故
，
所以，代入抛物线方程得，
所以，
，
，，
，
当且仅当时取等号，故的最小值为
1.解：由曲线得，当时；当时；
而直线恒过点，
所以直线与曲线的图象为
当直线与相切时，此时，
得，解得，
当直线与平行时，，
直线与曲线要恰有个公共点，
可得，
故答案为：．
2.解：设
由，得 ，
所以 ，
，
解得 ，
由圆的对称性可知，和时弦长相等，
当时，，即，
圆心到直线距离为 ，
所以 ，
故答案为．
3.解：由双曲线，可得，，
设，则，
所以最小值为，所以错；
若过点的直线斜率不存在，则，
则，
若过点的直线斜率存在，设过点的直线为，，
则，所以B正确；
，所以C正确；
把代入双曲线的方程可得，故通径长为，
又实轴长为，若，则直线有条，所以D正确．
故选BCD．

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