微专题5 与圆有关的最值问题-2024年高考一轮复习数学人教A版专题 讲义 (含解析)

微专题5 与圆有关的最值问题
1.求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，整体的思路为：
⑴定型：根据条件确定最值问题的类型；
⑵作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想分析；
⑶求值：根据图形，利用相关知识求解.
2.圆的最值类型：
⑴与距离有关的最值问题
①圆上的点到定点的距离的最值问题
i.圆外一点到圆上点的距离距离的最大值等于，最小值等于；
ii.圆内一点到圆上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.
②圆上的点到定直线的距离的最值问题（直线与圆相离，圆心到直线的距离为）
圆上的动点到直线距离的最大值等于；最小值等于.
③切线长的最值问题
从圆外任一点向圆引两条切线，圆心,两切点分别为,我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为,则有：
i.切线长的计算：，当半径给定时，最小时，切线长最小；
ii.四边形的面积、角度等的最值，转化为研究直角三角形，进一步转化为最值问题.
④圆上的点到其他曲线上的点间的距离最值问题
圆上动点与其他曲线上动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题.
⑤过定点的圆的弦长问题
已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
⑵与面积有关的最值问题
与圆的面积的最值问题，一般转化为求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系求最值.
⑶圆上的点的坐标满足的代数式的取值范围
①数形结合转化为代数的几何意义
i.求形如的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点和的直线斜率的最值问题；
ii.求形如的最值,可转化为求动直线截距的最值，即当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值；或把代入圆的方程中,消去得到关于的一元二次方程,由求得的范围,进而求得最值；
iii.求形如的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值.
②利用圆的参数方程或消元法转化为函数问题求最值.
【方法储备】
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.解题时关键把握：构建正确的函数类型；确定自变量的取值范围，求解函数的最值.
【典例精讲】
例1.(2022·浙江省温州市月考) 若对任意，直线与圆恒无公共点，则的取值范围是 ．
例2.(2023·四川省成都市模拟) 已知点，，若圆：存在点满足，则的取值范围为 ；实数的最大值为 ．
【拓展提升】
练1-1(2023·安徽省六安市月考) 已知，过定点的动直线和过定点的动直线
交于点，则的取值范围是 ．
练1-2(2023·湖南省岳阳市模拟) 已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是 ．
【方法储备】
圆不仅是轴对称图形,而且是中心对称图形,利用圆相关的定理、性质,从图形视角解答最值问题可极大的简化运算.当所求的代数式具有明显的几何意义，转化为几何问题，利用数形结合法求最值.
【典例精讲】
例3.(2023·广东省潮州市模拟) 已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，则长度的最小值为 ，直线的斜率最大值为 ．
例4. (2023·福建省厦门市模拟) 若直线：与曲线有两个相异的公共点，则的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
例5. (2022·湖北省孝感市期中) 已知圆的圆心为，点是直线上的点，若该圆上存在点使得，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【拓展提升】
练2-1(2022·山东省聊城市月考) 已知点，，若线段 与圆 存在公共点，则 的取值范围为 ．
练2-2(2023·浙江省丽水市联考) 已知，，则的最大值和最小值分别是
( )
A. B. 和
C. D.
练2-3(2023·江苏省宿迁市期中)（多选） 如图，，是圆：上的两个动点，的延长线与直线：交于点.若，则( )
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 当时，弦的长取最大值
D. 的最大值为
【方法储备】
利用圆的向量方程的几何意义求解平面向量模长的最值问题，借助向量表达式提取出圆的方程，数形结合作出图形，借助圆的性质求解.
补充：已知平面向量 ，如果向量满足，则向量终点的轨迹是以的终点为圆心,为半径的圆.
【典例精讲】
例6.(2023·山东省临沂市期末) 已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是
( )
A. B. C. D.
例7.(2023·湖南省长沙市模拟) 已知点是圆上的动点，则的取值范围为
A. B. C. D.
【拓展提升】
练3-1(2022·陕西省榆林市模拟) 已知平面向量，满足：，，，，则 ，的取值范围是 ．
练3-2(2022·江苏省淮安市月考)（多选） 已知，是圆上的两点，则下列结论中正确的( )
A. 若，则
B. 若点到直线的距离为，则
C. 若，则的最大值为
D. 的最小值为
【方法储备】
求解形如(其中均为动点)且与圆有关的折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
②“曲化直”：即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【典例精讲】
例8.(2023·辽宁省朝阳市期末) 设是椭圆上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
例9.(2022·河北省沧州市月考) 已知圆和圆，若是圆上任意一点，，则的最大值是 ，最小值是 ．
【拓展提升】
练4-1(2023·辽宁省鞍山市模拟)（多选） 已知点，，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是( )
A. 当最大时，的面积为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
练4-2(2023·山东省青岛市模拟)（多选） 已知直线与圆交于，两点，点为圆上的一动点，点，记到的距离为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的最大值为
C. 是等腰三角形
D. 点为直线上的动点，的最小值为
1.(2023·浙江省衢州市期末) 已知直线和圆和曲线都经过同一点，则的取值范围是_________．
2.(2023·重庆市模拟)（多选） 三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中正确的有( )
A. 三棱锥体积的最小值为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D. 直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
3.(2023·安徽省滁州市模拟) 已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像关于原点中心对称．
求函数的解析式；
若三角形满足，，是边上的两点，且，，求三角形面积的取值范围．

【答案解析】
例1.解：由题意，圆心到直线的距离：，
设，则，
因为，由，可得，
所以，
由在上是减函数，
得，
所以的取值范围是，
故答案为．
例2.解：圆：，令为参数，
则，
因为，
所以．
因为，所以在以为直径的圆上，
故两圆有公共点，即，
解得或，
故．
故答案为 ；．
练1-1.解：动直线过定点，动直线
即过定点，且此两条直线垂直．
点在以为直径的圆上，
设，则，
，
，，
，
，
故答案为．
练1-2.解：由已知，得，，
如图，设点，则，
，
在中，有
，
易知，则，
则，
因为，，所以当时，取得最大值，
又，所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．
例3.解：圆：，圆心为，半径为；
圆：，圆心为，半径为，
两圆的圆心距为，
两圆外离，
的最小值是两圆的圆心距减去半径的和，即；
如图，当两圆的内公切线经过点，时，直线的斜率最大，
易得，即，点，，
故直线的倾角为，即斜率为．
故答案为；．
例4.解：直线：，整理变形为，
解方程组得直线过定点，
曲线，变形为，表示以为圆心，半径为的上半圆，
如图，，
当直线的斜率为时，直线与半圆相切，
由题意，的斜率的取值范围是．
故选B．
例5.解：过点作圆的切线，切点为，如图所示，
圆的圆心为，半径，
要使圆上存在点使得，
则，此时，
因为点为直线上的点，所以圆心到直线的距离小于等于，
因为圆心到直线的距离，
所以，解得，
故实数的取值范围为
故选：．
练2-1.解：圆 的圆心为 ，半径为 ， ，
如图：当圆和线段相切时，圆的半径最小，当圆过点时，圆的半径最大．
当圆和线段相切时，
，即 ，
，得 ，
当圆过点时， ，得 ．
若线段 与圆存在公共点，则
故答案为： ．
练2-2.解：设均为实数，则，，
由，则 ，表示在以为圆心，为半径的圆上．
则，而表示到的距离，
根据圆的几何性质可知，
圆上的动点到点的距离，
最大值为，
最小值为．
故的最大值和最小值分别是．
故选A．
练2-3.解：如图所示，
过点作圆的切线为切点，则有，
所以，则，
又因为为直线：上的动点，
所以点到直线上的点的距离的最小值为，故A，B正确；
当时，，
当时，点与点重合，，，
，故C错误．
当时，此时点，点，
取，此时，故D错误，
故选AB．
例6.解：由，得，
不妨设，则的终点在以为圆心，以为半径的圆周上．
因为与是单位向量，且，
不妨设，
所以的最大值是与圆心距离加，即，
最小值是与圆心距离减，即，
故最大值和最小值之和为，
故选A．
例7.解：设，原点，则，，
所以，
即，当与圆相切时，取得最大值和最小值，
设：，由，解得，
所以
所以，
故选C．
练3-1.解：，，，
则夹角为，
；
设，，，
由，
得，
，
即的终点是以为圆心，为半径的圆．
可以表述为点到点的距离，
则，
所以，
即，
即的取值范围是
故答案为：，
练3-2.解：对，若，又，，故A错
对，若点到直线的距离为，由勾股定理知，故B对
对，，
几何意义为，到直线的距离之和的倍，
设中点为，，而中点的轨迹为，
所以，
所以的最大值为，故C错
对，，的最小值为，故D对
综上所述，选BD．
例8.解：设两圆心分别为 ， ，且 ， ，则 ， 为椭圆的焦点，
又点为椭圆上任意一点，
，
由图可知，
的最小值为 ；
的最大值为，
所以的最小值为，的最大值为．
故选C．
例9.解：圆的方程可化为，圆心恰好为，半径为．
圆的圆心为，半径为．
因为，
所以两圆内含．
如图，．
．
练4-1.解：如图，
点在圆内，，，三点共线，当与圆相切时，即与重合时，最大，
此时，A错误
当为线段与圆的交点时，取得最小值，B正确
因为，所以当最大时，也最大，当，，三点共线，
且在，之间时，其最大值为，C正确
当为射线与圆的交点时，取得最大值，D正确．
故选BCD．
练4-2.解：对于，由圆，可得，半径为，
点到直线的距离为，则，故A错误；
对于，由题意，可作下图：
设点为弦的中点，直线，，则点到直线的最大距离为，故B错误；
对于，由选项B与题意，
易得，，则直线的斜率，，
由，则直线的斜率，
则直线的方程为，则，
即点在直线上，为的中垂线，是等腰三角形，故C正确；
对于，如图：设圆心关于直线的对称点坐标为，
，解得，则．
则点关于直线的对称点在圆，圆心，
当三点共线时取得最小值，
最小值为故D正确．
故选CD．
1.解：联立，消去得，
则，解得，
解得：，
当，满足，
①当时，或，
当时，，，；
当时，，，
②当时，，
当时，
，
当时，
，
由二次函数性质易得函数在上单调递增，
易得，即；
综上，的取值范围是．
故答案为：．
2.解：作平面，则．
设，，，
．
又有，，圆心，半径，
所以，则，
，A正确，B错误；
由
当最小时，有在外部，如图，此时，二面角为锐角，为钝角，D正确．
故选：．
3.解：由已知化简，得
，
，
由，得，，
，，
又，，
；
易得，
由①，
②，
又，，
将①×②式并结合可得：，
以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，，
设，则由可得：
点的轨迹方程为，即，
当时，取到最大值，
根据几何关系易知三角形面积的取值范围为 .
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