专题10.8 圆锥曲线的综合应用一 -2024年高考一轮复习数学人教A版专题讲义(含解析）

专题10.8 圆锥曲线的综合应用一
1.轨迹问题
通常有以下两类：一类是以定义法、相关点法、待定系数法等为主,难度较低；另一类是综合考查各种方法，难度较高.解题过程注意：
⑴区别“轨迹”、“轨迹方程”：求轨迹方程, 求出方程即可；求轨迹, 求出方程后，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.
⑵求出方程后，要确定轨迹范围：①准确理解题意,挖掘隐含条件；②列式不改变题意, 并且要全面考虑各种情形；③推理要严密,方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合, 查“漏”补“缺”.
2.圆锥曲线中的定点、定值问题
⑴圆锥曲线中的定点问题
求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零，因方程对任意参数都成立，则参数的系数全部等于零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．
⑵圆锥曲线中的定值问题
定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的方 法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1.【人教A版选择性必修一 习题3.1 第7题 P115】年月日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点月日时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点平面机动，同时将近火点高度调整至约若此时远火点距离约为，火星半径约为，则调整后天问一号的运行轨迹环火轨道曲线的焦距约为( )
A. B. C. D.
2.【人教A版选择性必修一 复习参考题3 第11题 P146】（多选）已知的两个顶点、的坐标分别是、，且、所在直线的斜率之积等于，则正确的是( )
A. 当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆除去与轴的交点
B. 当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线除去两个顶点
C. 当时，点在的轨迹为圆除去与轴的交点
D. 当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大
【方法储备】
求轨迹方程常用方法：
⑴直接法：如果题且中的条件直明显的等量关系, 或者可以利用平面几何的基本知识推出
等量关系, 求方程时便可利用直接法。
⑵定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,则可直接利用曲线定义写出方程.
⑶相关点法：如果动点依赖于另一动点,而又在某一已知曲线上运动,则可先列出关于的方程组,利用表示出,把代入已知曲线方程便可得出动点的轨迹方程,又称为代入法.
⑷参数法：如果采用直接法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，进而通过消参化为轨迹的普通方程.
⑸交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用.
⑹几何法: 利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质, 发现动点运动规律和动点满足的条件, 然后求出动点的轨迹方程.
注意：在处理轨迹问题时, 要特别注意运用平面几何知识, 其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时, 可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.
【典例精讲】
例1.(2023·北京市市辖区月考) 已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为 ．
例2.(2023·山东省潍坊市期中) 已知的边长都为，在边上任取一点，沿将折起，使平面平面在平面内过点作平面，垂足为，那么随着点的变化，点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
例3.(2023·广东省湛江市模拟) 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与交于，两点，则直线与交点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
【拓展提升】
练1-1(2023·江苏省苏州市月考) 点，点是轴上的动点，线段的中点在轴上，且垂直，则点的轨迹方程为 ．
练1-2(2023·广东省佛山市期末) 已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，点的轨迹方程是 ．
练1-3(2022·湖南省衡阳市模拟) 点是正方体的侧面内的一个动点，若与的面积之比等于，则点的轨迹是( )
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
练1-4(2023·河北省衡水市模拟) 在一张纸上有一圆和定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下条直线折痕，设折痕与直线的交点为．
求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
曲线上一点，点、分别为直线在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围．
【方法储备】
1.定点问题
⑴参数法：根据题意引入参数，一般为点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等；结合条件，表示出对应的直线方程,或曲线的方程；列出方程组或求出定点坐标.
(2)特殊到一般法：从特殊位置入手，找到定点,再证明该定点与变量无关. 同理，对于定值问题，可以根据特殊情况先找到这个定值，明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.
①研究特殊情形从问题的特殊情形出发，如直线的斜率不存在，或直线过原点等，得到目标关系所要探求的定点（定值）；②探究一般情况；③下结论综合上面两种情况定结论.
2.定值问题
⑴参数法：根据问题特征,合理设定参数，①参数可能为点,若所设点为两个参数时,则其横坐标必须满足圆锥曲线的方程，②参数可能为角,题目常常将圆锥曲线上的点设为角的形式；③参数可能为直线斜率,此时需要考虑直线斜率是否存在.用参数表示求定值的式子，联立方程,整体代入,消去参数.
⑵特殊到一般法：通过考查特殊位置，探索出“定值”是多少，然后再证明这个值与变量无关.
【典例精讲】
例4.(2022·湖南省衡阳市月考) 已知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，点在椭圆上．
求椭圆的方程
若矩形满足各边均与椭圆相切，求证：矩形对角线的长度为定值．
例5. (2023·浙江省杭州市月考) 已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
如图，椭圆的左、右顶点分别为、，点、是椭圆上异于、的不同两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：直线过定点．
【拓展提升】
练2-1(2023·安徽省合肥市期末) 已知抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上点的横坐标为，且．
求抛物线的方程；
过抛物线的焦点作与轴不垂直的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
练2-2(2023·湖北省黄冈市模拟) 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，，分别是椭圆的右顶点和上顶点，三角形的面积为为坐标原点．
求椭圆的标准方程；
若直线交椭圆于，两点，且三角形的面积是，设直线的斜率为，直线的斜率为，问：与的乘积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
1.(2023·辽宁省鞍山市期末) 已知双曲线和椭圆的右焦点分别为，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为( )
A. B. C. D. 不确定值
2.(2023·重庆市市辖区模拟) 已知椭圆的离心率为，过点．
求椭圆的标准方程；
设椭圆的右焦点为，定直线，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，过，两点分别作于，于 ，直线 、 交于点 ，证明：点为定点，并求出点的坐标．
3.(2023·江苏省南通市月考) 已知圆：，直线过点且与圆交于点，，中点为，过中点且平行于的直线交于点，记的轨迹为．
求的方程；
坐标原点关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与交于点，，直线，相交于点请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明．
①的面积是定值；②的面积是定值；③的面积是定值．
【答案解析】
1.【人教A版选择性必修一 习题3.1 第7题 P115】
解：设椭圆的方程为，
由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为，最大值为，
根据题意可得近火点满足①，
远火点满足②，
由①-②得．
故选A．
2.【人教A版选择性必修一 复习参考题3 第11题 P146】（多选）
解：设点的坐标为，由题意知点、的坐标分别为、，
则直线的斜率，直线的斜率，
因为，所以，即，
对于，当时，，
所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆除去与轴的交点，故A错误；
对于，当时，，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线除去两个顶点，
故B正确；
对于，当时，，所以点的轨迹为圆除去与轴的交点，
故C正确；
对于，当时，，所以点的轨迹为焦点在轴的椭圆，
因为点所在的椭圆的离心率，
所以离心率随着的增大而减小，故D错误．
故选：．
例1.解：设点，其中，
则，，
由题可得，整理可得．
即点的轨迹方程为．
故答案为：．
例2.解：由题意可知，平面平面，平面，
那么随着点的变化，始终成立，同时平面，可得在平面中，始终成立，
即得点的轨迹是以为直径的圆的一部分．
由题知随着点的变化，的范围为，
可得点的轨迹是以为直径的圆的，即得点的轨迹长度为．
故选C．
例3.解：由题得，，设，其中，则，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
两式相乘得，
又，
所以，得，
所以直线与交点的轨迹方程为．
练1-1.解：设，，则中点坐标为，
由得，即，
又，若，
则，
即，
若，则，，重合，直线不存在．
所以点的轨迹方程是．
故答案为：．
练1-2.解：联立直线与双曲线方程得，，
因为与双曲线相切于点，，
所以，化简得．
解方程得，，
所以过点且与垂直的直线为，
所以，，
所以，
，
，
所以点的轨迹是．
练1-3.解：由正方体的结构特点可知，与是直角三角形，且，
与的面积之比等于，即，
如图在平面中建立平面直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，
则，，设，
则，化简得，
点的轨迹是圆的一部分．
故选A．
练1-4.解：证明：如图：
由点与关于对称，则，
，故为定值．
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，
设双曲线方程为，
，，，，
，
双曲线方程为；
由题意知，分别为双曲线的渐近线，
设，，
由，设
，
，，由于点在双曲线上，
，
，，
又，同理，
设的倾斜角为，
则，
，
，
．
当且仅当，即时取最小值，
当时，有最大值，
．
例4.解：
椭圆的方程为．
①当斜率为或不存在时，对角线
②当斜率存在且不为时，设，则，
设过且与椭圆相切的直线方程为，
则，
．
，
，，
，是该方程的两个根，
．
点在定圆上，即，，，均在该圆上，其对角线，为直径，
即，
综上，矩形对角线的长度为定值．
例5. 解：由题意得：
故椭圆的方程为
证明：由知：，，
设：，
与椭圆方程联立，有
得，
可知，
所以，
所以，，
所以点坐标为
设：，
与椭圆方程联立，有
得，
则，
所以，
所以，，
所以点坐标为
①当时，即，解得，可得，
所以猜想过定点．
②当时，
，
，
所以，
所以、、三点共线．
综上，直线过定点．
练2-1.解：由题意可设抛物线方程为，，
由，可得，即解得，
抛物线方程为：．
证明：设直线：，，，
由得，．
则．
直线的方程为，与联立可得：，同理可得．
以为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为．
令则．
即，解得或即以为直径的圆经过轴上的两个定点，．
练2-2.解：由已知得
，，，
椭圆
当直线的斜率不存在时，设直线且，
代入，得，所以，
则，解得，
，
当直线的斜率存在时，设点，，直线，
代入，得，
，
，，
，
又原点到直线的距离，
，
所以，
即，
即，
所以，即
所以得到
，
综上所述，与的乘积为定值．
1. 解：设为原点，则，．
而，得，
于是、、三点共线，因为，
所以，且，
得，
设、，点在双曲线的上，有，
则．
设直线的斜率分别是，，
所以 ①
又由点在椭圆上，有同理可得 ②
、、三点共线，由①、②得．
2.解：由题意知，解得，，
所以椭圆的方程为；
因为直线的斜率不为零，设的方程为：，，，
联立，消得，则，
所以，，
由，，则，，
则，故直线的方程为：，
由椭圆的对称性，则定点必在轴上，
令，则 ，
而，，则 ，
所以，
故直线恒过定点，且定点为，
同理可得直线也过定点，
所以直线 、 交于点为定点，且．
3.解：由题意得，，．
因为为中点，所以，即，
又，所以，
又为的中点，所以，
所以，
所以点的轨迹 是以，为焦点的椭圆左、右顶点除外
设，其中，．
则，，，．
故 ．
结论正确下证：的面积是定值．
由题意得，，，，，且直线的斜率不为，
可设直线，，，且，
由
所以，
所以
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得
，
解得．
故点在直线，所以到的距离，
因此的面积是定值，为．

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