专题11.2 二项式定理-2024年高考一轮复习数学人教A版专题 讲义 (含解析)

专题11.2 二项式定理
1．二项式定理
(1) 二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can-kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2) 通项公式：Tk＋1＝Can-kbk，它表示第k＋1项．
(3) 二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C．
2．二项式系数有关的性质
① 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
② 若，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，
奇数项系数和为，
偶数项系数之和为．
【重要提醒】
解决与二项式定理有关问题的五个关注点
(1)Tr＋1表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项．
(3)公式中a，b的指数和为n，a，b不能颠倒位置．
(4)二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混．
(5)二项式系数最大项与展开式系数最大项不同．
1.【人教A版选择性必修三 习题6.3 第2题 P34】的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
2.【人教A版选择性必修三 习题6.3 第8题 P35】若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为( )
A. B. C. D.
【方法储备】
1. 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
①利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can-rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
②根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
③把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量．
2. 求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．
【典例精讲】
例1. (2023·山东省济宁市·期末考试) 的展开式中的常数项为 用数字作答．
例2. (2023·江苏省·月考试卷) 若的展开式中的系数为，则( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练1-1 (2023·天津市高考真题) 设，则( )
A. B. C. D.
练1-2 (2023·浙江省·模拟题)展开式中的系数为 ．
【方法储备】
二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则展开式中：
(1)各项系数之和为f(1)；
(2)a0＋a2＋a4＋…＝；
(3)a1＋a3＋a5＋…＝．
【典例精讲】
例3. (2023·江苏启东第一中学·周测) 已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等，则展开式中二项式系数的和为 ．
例4. (2023·湖北省孝感市·期末考试)的展开式中各项系数之和为( )
A. B. C. D.
例5. (2022·河北张家口市·期末考试) 已知，则( )
A. B.
C. D.
【拓展提升】
练2-1 (2023·江西省新余市·月考试卷) 已知展开式中偶数项的二项式系数之和为，则( )
A. B. 展开式中各项系数之和为
C. 二项式系数之和为 D. 展开式的中间项为
练2-2 (2023·湖南省·模拟) 若二项式的展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为
练2-3 (2023·浙江省·期中考试) 关于多项式的展开式，下列结论正确的是( )
A. 各项系数之和为 B. 各项系数的绝对值之和为
C. 存在常数项 D. 的系数为
【方法储备】
二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大．
二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．
【典例精讲】
例6. (2023·广东东莞市·月考试卷) 若的展开式中当且仅当第项系数最大，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
例7. (2022·江苏省泰州市·期中考试)展开式中系数最大的项( )
A. 第项 B. 第项和第项 C. 第项 D. 第项
【拓展提升】
练3-1 (2023·广东省·期末考试) 已知二项式，若展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为，则展开式中系数最大的项为第( )项。
A. B. C. D.
练3-2 (2023·湖北大悟市·阶段测试) 在的展开式中：
求二项式系数最大的项
系数绝对值最大的项是第几项
求系数最大的项
求系数最小的项．
【方法储备】
1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．
2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．
【典例精讲】
例8. (2023·安徽省金寨一中·月考试卷)除以的余数是 ．
例9. (2023·江苏省南京市·期中考试)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中出现如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第行中从左至右只有第个数为该行中的最大值，则( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练4-1 (2023·山东省莱州市·月考试卷) 若为正奇数，则被除所得的余数是( )
A. B. C. D.
练4-2 (2023·山西省太原市·期中考试) 中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究设，，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为若，，则的值可以是( )
A. B. C. D.
1. (2023·安徽省合肥八中·周测)的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
2. (2023·全国·模拟) 设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为，若，则的展开式中，的系数为 ．
3. (2023·安徽省芜湖市·周测) 若，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案解析】
1.【人教A版选择性必修三 习题6.3 第2题 P34】
解：因为的展开式的通项为，
所以的展开式中的系数为．
故选A．
2.【人教A版选择性必修三 习题6.3 第8题 P35】
解：展开式中第项与第项的二项式系数相等，，解得：；
展开式的通项公式为：；
则当，，时，展开式中的系数为无理数，共项
故选B.
例1.解：展开式的通项公式为 ，
令 解得 ，所以在的展开式中，常数项为 ，
故答案为： ．
例2.解： ，
的通项公式为 ，
令 ，得 舍，令 ，得 ，
依题意得 ，得 ．
故选：.
练1-1.解：由题知 ．
故选A.
练1-2.解：由题意可知，展开式的通项中
时，
展开式的通项公式为
由于要求展开式中的系数，所以，，
所以展开式中的系数为．
故答案为：.
例3.解：展开式的通项公式为：，其中，，，，，，
由第二项和第三项的系数相等，知，解得；
展开式中所有二项式系数的和为：；
故答案为：．
例4.解：令，得的展开式中各项系数之和为．
故选C.
例5.解：因为，
令，则，所以A正确；
令，则，
又由，
所以，，所以B错误，C正确；
对题干等式两边取导，
由，
令，则，所以D正确．
故选ACD．
练2-1.解：由题意可知，解得，故A正确
因为，令，可得，即展开式中所有项的系数之和为，故B正确
因为，所以二项式系数之和为，故C正确
因为通项为，
所以展开式的中间项为，故D不正确．
故本题选：．
练2-2.解：令，可求得；令，可求得，所以．
设，则，．
又函数在上单调递增，所以，即．
练2-3.解：由题意可得，各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为 ．
，易知该多项式的展开式中一定存在常数项．
由题中的多项式可知，若出现，可能的组合只有和，
结合排列组合的性质可得的系数为．
故选BCD．
例6.解：因为展开式中当且仅当第项系数最大，
故，即．
故选A
例7.解：的展开式的通项公式为
，
其展开式的各项系数依次为、、、、、、、、，
所以，展开式中系数最大的项是第项和第项．
故选：．
练3-1.解：二项式第项的通式为，可令，可得展开式所有项的系数和为，而二项式系数和为，
所以，解得，
设展开式中系数最大的项为第项，则满足，
即，解得，又，，
所以，即展开式中系数最大的项为．
故选C．
练3-2.解: ．
由可知二项式系数最大的项为中间项，即为第项，
．
设第项系数的绝对值最大，
则
得
又，或．
故系数绝对值最大的项是第项和第项．
由知，展开式中的第项和第项系数的绝对值最大，而第项的系数为负，第项的系数为正故系数最大的项为．
系数最小的项为．
例8.解：
，
所以余数是．
例9.解：由题意可知，第行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，
因为只有第项的二项式系数最大，
所以为偶数，故，解得，
故选B．
练4-1.解：原式
，
又为正奇数，则，
所以余数为．
故选：．
练4-2.解：
，
被除得的余数为，
，
被除得的余数也为，
只有选项B满足．
故选：．
1.解：的展开式的通项为．
当为常数时，，解得，
则；
当为常数时，，解得，
则，
所以的展开式中常数项为．
故选B.
2.解：由题设知：，则，即，解得，
而，又含项为，
又，含项为，
故的系数为：．
故答案为：.
3.解：因为，
令，则，故A正确；
令代入，
得，所以，故B错；
令代入，
得，故C正确；
因为二项式的展开式的第项为，
所以当为奇数时，为负数；即其中为奇数，
所以；故D正确．
故选：．
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