专题12.1 随机事件的概率及古典概型-2024年高考一轮复习数学人教A版专题讲义(教案)（含答案）

专题12.1 随机事件的概率及古典概型
1．随机事件的概率
⑴ 有限样本空间
随机试验的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验的样本空间.一般地,我们用表示样本空间,用表示样本点.如果一个随机试验有个可能结果 ,则称样本空间为有限样本空间.
⑵确定基本事件数的方法
①列举法：适用于包含基本事件数较少的古典概型问题，解题时按照某一标准将所有的基本事件一一列举出来，做到不重不漏；
②列表法（坐标法）：适用于从多个元素中选定2个元素的试验；
③树状图：使用与有顺序的问题或复杂问题中对基本事件的探求；
④排列组合法：适用于基本事件数较多，且可以用排列组合数表示的问题.
⑶随机事件
一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生.
⑷事件间的关系和运算
名称 定义 符号表示
包含关系 如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件 (或称事件包含于事件) (或)
相等关系 如果事件包含事件，事件包含事件，即且则称事件与事件相等
并事件 (和事件) 若事件与事件至少有一个发生，事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件) (或)
交事件 (积事件) 若事件和事件同时发生，这样的一个事件的样本点既在事件中，又在事件中，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件) (或)
互斥事件 若事件与事件不能同时发生，也就是说为不可能事件，即，则称事件与事件互斥（或互不相容）
对立事件 若事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立事件，事件的对立事件记为 ，
2.频率与概率
⑴ 频率的稳定性
大量试验表明, 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此, 我们可以用频率估计概率.
⑵频率与概率的关系
①区分:频率是利用频数除以总试验次数所得到的确定的数值，而概率是频率的稳定性，因此频率是一个精确值，而概率是一个估计值，根据这两点来区分频率与概率，从而判断所给的数值是频率还是概率.
②联系: 随机事件的频率, 指此事件发生的次数与试验总次数的比值, 它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多, 这种摆动幅度越来越小.我们给这个常数取一个名字, 叫作这个随机事件的概率.概率可看作频率在理论的期望值, 它从数值上反映了随机事件发生的期望值, 它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.
3．古典概型
⑴古典概型及其特点
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
具有以上两个体征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型.
⑵古典概型的概率公式
一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,
则定义事件的概率,
其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
4．概率的基本性质
⑴概率的取值范围：；
⑵必然事件的概率为；不可能事件的概率为，即；
⑶如果事件与事件互斥，那么；
推广：如果事件两两互斥，那么事件；
⑷若事件与事件互为对立事件，那么；
⑸如果，那么.
【重要结论】
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件所含的结果组成的集合的补集.
2.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
1.【人教A版必修二 习题10.1 第10题 P246】甲乙进行游戏，规则如下：两人各掷一枚质地均匀、大小相同的骰子，观察正面向上的点数用数字，，，、，表示掷出的点数，用表示“甲掷的点数是，乙掷出的点数是”
若点数是顺连号，则甲获胜；若点数相同，则乙获胜，试问这个游戏公平吗？为什么？
定义事件为：“甲掷出的骰子正面向上的点数是”，事件为：“两人掷出的骰子的点数之和是”，试求的值．
2.【人教A版必修二 习题10.1 第11题 P247】袋子中有个大小相同的球，其中个红球，个白球，依次从中不放回地取球，则第一次取到白球，且第二次取到红球的概率为_________．
【方法储备】
确定样本空间的方法：
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
【典例精讲】
例1.(2022·安徽省合肥市期末) 甲盒放有个白球和个黑球，乙盒中放有足够的黑球．现每次从甲盒中任取两个球放在外面．当被取出的两个球同色时，需再从乙盒中取一个黑球放入甲盒；当取出的两球异色时，将取出的白球再放回甲盒，直到甲盒中只剩两个球，则下列结论不可能发生的是 填入满足题意的所有序号．①甲盒中剩两个黑球；②甲盒中剩两个白球；③甲盒中剩两个同色球；④甲盒中剩两个异色球．
例2. (2023·广东省中山市期末) 投掷两枚骰子，点数之和为所包含的样本点有 个．
【拓展提升】
练1-1(2023·陕西省西安市模拟) 袋中装有除颜色外其余均相同的个红球，个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回个球”的事件为( )
A. B. C. D.
练1-2(2023·浙江省杭州市联考)（多选） 下列说法不正确的是( )
A. 任意事件发生的概率总满足
B. 今天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为”是错误的
C. 一年按天计算，两名学生的生日相同的概率是
D. 若事件的概率为，则事件一定是不可能事件
【方法储备】
1.和事件：记作，表示事件和事件至少发生一个.
⑴若事件和事件是两个不相交的事件(即),则.
⑵若事件和事件是两个有交集的事件(即),则.
2.积事件：表示事件A和事件B同时发生.
⑴若事件和事件是两个不相交的事件(即),则
⑵若事件和事件是两个有交集的事件(即),则.
3.差事件：记作表示事件发生而事件不发生.
⑴对任意的两个事件，则；
⑵当事件满足包含于时，则，.
4.补事件：表示事件不发生.对于任意一个事件，则．
5.求复杂的互斥事件概率的两种方法
⑴直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.
⑵间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便.
【典例精讲】
例3.(2023·天津市市辖区月考) “清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”描述的是我国传统节日“清明节”的景象“青团”创于宋朝，是清明节的寒食名点之一，也是人们提起清明节会最先想到的美食某地居民喜好的青团品种有个，假定每个人购买时对于每种青团的选择是独立的，选择每个品种的概率均为，若在清明节当日，某传统糕点店为顾客只准备了个品种的青团，则一位进店顾客，他的要求可以被满足的概率为( )
A. B. C. D.
例4.(2023·江苏省徐州市月考) 某市举行一环保知识竞赛活动竞赛共有“生态环境”和“自然环境”两类题，每类各题其中每答对题“生态环境”题得分，答错得分；每答对题“自然环境”题得分，答错扣分已知小明同学“生态环境”题中有题会作答，而答对各个“自然环境”题的概率均为若小明同学在“生态环境”题中抽题，在“自然环境”题中抽题作答，每个题抽后不放回则他在这次竞赛中得分在分以下含分的概率为( )
A. B. C. D.
例5.(2023·浙江省台州市模拟) 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位，十位百位千位，上面一粒珠子简称上珠代表，下面一粒珠子简称下珠代表，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字现将算盘的个位十位，百位，千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则有：；；上述结论正确的个数是( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练2-1(2023·辽宁省鞍山市模拟) 若，互为对立事件，其概率分别为，，且，，则的最小值为 ．
练2-2(2022·广东省佛山市模拟) 年月底，在长江台州段，工作人员发现大面积盛开的野大豆，野大豆的发现，对我国大豆的育种等有很大的帮助，通过上一代野大豆的培育，出现某新品种，有“抗倒伏”和“抗虫害”两种遗传性状，该新品种出现“抗倒伏”性状的概率为，出现“抗虫害”性状的概率为，“抗倒伏”和“抗虫害”性状都不出现的概率为，则该品种在“抗倒伏”性状的条件下，出现“抗虫害”性状的概率为( )
A. B. C. D.
【方法储备】
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
随机事件的频率与概率问题的常见类型及解题策略:
(1)补全或列出频率分布表：可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率.
(2)由频率估计概率：可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率.
(3)由频率估计某部分的数值：可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值.
【典例精讲】
例6.(2023·河南省信阳市模拟) 在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定，，，表示被感染，，，，，，表示没有被感染．经随机模拟产生了如下组随机数：
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为( )
A. B. C. D.
例7. (2022·安徽省安庆市期末) 某市在“创文”期间，创“文明行车、出行安全”交警部门通过路面监控随机抽样辆小轿车调查经过某区间路段的汽车行驶速度，现将行车速度分成六段，得到如图所示的频率分布直方图，根据图解答下列问题．
估计这辆小型车辆车速的平均数；
假设车速在以下为安全行驶，估计某小型轿车途径该路段时为安全行驶的概率；
若在这辆车中随机抽取两辆车速为内的轿车，求这两辆车的车速都在内的概率．
【拓展提升】
练3-1(2023·江苏省南通市月考) 用随机事件发生的频率去估算这个事件发生的概率．下列结论正确的是( )
A. 事件发生的概率是
B. 事件发生的概率，则事件是必然事件
C. 用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为
D. 某奖券中奖率为，则某人购买此券张，一定有张中奖
练3-2(2023·江苏省南京市模拟) 下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小
②做次随机试验，事件发生次，则事件发生的概率为
③频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的，不依赖于试验次数的理论值
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
其中正确命题的序号为 ．
【方法储备】
1.利用公式法求解古典概型问题的步骤：
⑴定型：根据事件的特点，判断是否为古典概型；
⑵定量：分别求出事件和样本空间包含的样本点个数；
⑶求值：代入公式求解.
2.可利用对立事件、加法公式求古典概型的概率.
【典例精讲】
例8.(2023·湖北省咸宁市月考)月日时分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功经历了天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这种种子中随机选取种，则水稻种子被选中的概率为( )
A. B. C. D.
例9.(2023·湖北省襄阳市联考) 一个箱子里装有件产品，包括件一等品，件二等品，件次品，从中任意不放回地随机抽取，每次件，直到取到次品为止，则此过程中恰好把件一等品全部取出的概率为 ．
例10.(2022·江苏省盐城市期末)（多选） 有两批种子，甲批种子粒，能发芽的占，乙批种子粒，能发芽的占，则下列说法正确的有．( )
A. 从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是
B. 从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是
C. 从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是
D. 如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为
【拓展提升】
练4-1(2023·湖北省宜昌市模拟) 连掷两次骰子分别得到点数，，则向量与向量的夹角的概率是( )
A. B. C. D.
练4-2(2023·海南省海口市月考) 已知是，，，，，，，的第百分位数，在，，，，，，，中随机取两个数，这两个数一个比大，另一个比小的概率为( )
A. B. C. D.
练4-3(2022·湖北省孝感市联考) 设，，曲线：，则下列说法正确的为( )
A. 曲线表示双曲线的概率为 B. 曲线表示椭圆的概率为
C. 曲线表示圆的概率为 D. 曲线表示两条直线的概率为
1.(2023·四川省遂宁市模拟) 已知事件，，的概率均不为，则的充要条件是( )
A. B.
C. D.
2.(2023·湖南省岳阳市月考) 北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的个重要建筑及遗存．某同学欲从这个重要建筑及遗存中随机选取相邻的个游览，则选取的个中一定有故宫的概率为( )
A. B. C. D.
3.(2023·吉林省长春市模拟) 已知数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位长度，则移动次后仍在原点的概率为 ；记移动次数为，当 时，质点位于数轴上刻度为处的概率最大．

【答案解析】
1.【人教A版必修二 习题10.1 第10题 P246】
解：因为样本空间
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，
，，，，，，，
记事件为：“甲获胜”，事件为：“乙获胜”
则由题意可知，，，，，
所以．
同理可得．
因为，所以这个游戏不公平．
因为，，，，，
所以，
，，，所以，
又，则，
所以．
2.【人教A版必修二 习题10.1 第11题 P247】
解：口袋中装有大小形状相同的红球个，白球个，
设事件 表示“第一次取得白球”，事件 表示“第二次取得红球”
甲从中不放回的逐一取球，
，
故答案为：．
例1.解：由题意可知一次操作后盒中的白球数要么减少个，要么不变，
当最后剩余球时，必有白球，黑球，
故答案为：①②③．
例2.解：设表示两颗骰子掷出的点数组合，则点数之和为所包含的样本点为，，，，，共个．
答案：
练1-1.解：袋中装有除颜色外其余均相同的个红球，个黑球，
每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止，
若抽取的次数为，则表示“放回个球”的事件是指前次都是取到黒球，
第次取到了红球，故．
故选：．
练1-2.解：任意事件发生的概率满足，故A中说法错误
“天气预报降水的概率为”是指该地区降水的可能性为，故B中说法不正确
两名学生生日相同的概率是，故C中说法正确
不可能事件的概率为，但概率为的事件不一定是不可能事件，故D中说法错误．
例3.解：设不被满足的概率为，则，
所以被满足的概率为．
故选择：．
例4.解：他在这次竞赛中得分在分以下含分的事件为 ，
“生态环境”题答对且“自然环境”题全错的事件为 ，
“生态环境”题答错且“自然环境”题最多答对题的事件为 ，显然 与 互斥， ，
， ，
所以 ．
故选：
例5.解：只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或，四位数的个数是．
能被整除的四位数，数字和各出现个，
因此满足条件的四位数的个数是，所以，①正确；
能被整除的四位数，个位数为，满足的个数为，，②不正确；
能被整除的四位数的个位数是，十位、百位、千位为一个两个，
因此满足这个条件的四位数的个数是，概率为，③正确；
，④正确．
故正确的有个，
故选：．
练2-1.解：，互为对立事件，其概率分别为 ， ，且，，
，
．
当且仅当 ，即时取等号，
的最小值为．
故答案为．
练2-2.解：记事件该新品种“抗倒伏”性状，事件该新品种“抗虫害”性状，
则，，，
则，
又因为，
则，
故所求概率为．
故选B．
例6.解：由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有，，，，共个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为，
故选：．
例7.解：根据频率分布直方图可知，平均数的估计值为：
；
解法一：根据频率分布直方图可知，车速在、、、内的频率分别为、、、；
所以车速在以下的频率为，
故某小型轿车途径该路段时为安全行驶的概率估计为；
解法二：根据频率分布直方图可知：车速在、内的频率分别为、，
所以车速在以下的频率为，
故某小型轿车途径该路段时为安全行驶的概率估计为；
由可知：车速在内的频率为，车辆数为，
车速在内的频率为，车辆数为，
车速在内的辆车记为、，车速在内的辆车记为、、、，
设在车速内随机抽取两辆小型轿车，两辆车速都在内为事件，
则从辆车中随机抽取辆车的所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，共种；
事件包含的基本事件为：，，，，，共种；
所以，
故在车速为内随机抽取两辆小型轿车，这两辆车的车速都在内的概率为．
练3-1.解：对于，可以是或，故A错误；
对于，事件发生的概率，则事件是随机事件，故B错误；
对于，根据概率的定义，估计有明显疗效的可能性为，可判断C正确；
对于，某奖券中奖率为，某人购买此券张，不一定有张中奖，D错误；
故选：．
练3-2.解：本题是概率和频率的关系，频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率为；
频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，
故答案为：.
例8.解：设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为，，，，，
从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这种种子中随机选取种，
基本事件有种情况，分别为：
，，，，，，，，，，
其中水稻种子被选中包含的基本事件有种，分别为：
，，，，
则水稻种子被选中的概率．
故选：．
例9.解：记事件“取到次品停止时恰好把件一等品全部取出”，
“第次取到次品，前次取出的全是一等品“，
“第次取到次品，前次取出的含件一等品和件二等品”．
“第次取到次品”，前次取出的含件一等品和两件二等品”，
则．
所以此过程中恰好把件一等品全部能取出的概率为．
故答案为．
例10.解：甲批种子粒，能发芽的占，乙批种子粒，能发芽的占，
则甲批有粒发芽，乙批有粒发芽．
：从甲批种子任取粒，至少粒能发芽的概率为，故 A正确；
：从乙批种子任取粒，至多粒能发芽的概率为，故 B错误；
：从甲、乙两批种子中各取粒，至少粒能发芽的概率为，故 C正确；
：将两批种子混合后，随机抽取粒能发芽的概率为，故 D正确．
故选：．
练4-1.解：连掷两次骰子分别得到点数，，所组成的向量的可能组合共有种，
要使向量与向量的夹角，
则，即即，满足题意的情况如下，
当时，；
当时，，；
当时，，，；
当时，，，，；
当时，，，，，；
综上，共有种，
故所求事件的概率是 ．
故选D．
练4-2.解：因为是，，，，，，，的第百分位数，
所以，故，
因为在，，，，，，，中随机取两个数，
有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个。
故两个数一个比大，另一个比小的基本事件个数为个，
故这两个数一个比大，另一个比小的概率为．
练4-3.解：对于，当时，曲线表示双曲线，
则当时，有种，当时，有种，
所以曲线表示双曲线的概率为，故 A不正确；
对于，当，曲线表示椭圆，所以有种，
曲线表示椭圆的概率为，故 B正确；
对于，当，曲线表示圆，有种情况，
曲线表示圆的概率为，故 C不正确；
对于，当或，曲线表示两条直线，
当时，有种情况，当时，有种情况，共种情况，
曲线表示两条直线的概率为，故 D不正确．
故选：．
1.解：对于：因为，
由，只能得到，并不能得到，故A错误；
对于：由于不能确定，，是否相互独立，
若，，相互独立，则，，
则由可得，
故由无法确定，故B错误；
对于：因为，，
由，只能得到，
由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故C错误；
对于：因为，，
又，所以，故D正确．
故选：．
2.解：设这个重要建筑依次为，，，，，，，，，，其中故宫为，
某同学欲从这个重要建筑及遗存中随机选取相邻的个游览，基本事件有个，分别为：
，，，，，，，，
其中选取的个中一定有故宫的基本事件有个，分别为：，，，
选取的个中一定有故宫的概率．
故选：．
3.解：记向右移动一次为，向左移动一次为．
移动次为，则次移动中次为，其概率为；
当时，记向左移动次，则向右移动次，，显然为奇数，
则质点位于数轴上刻度为处的概率，
令，为大于等于的奇数，
，
由得，其中时取等号，
故中与最大，
即或．

2