专题12.2 事件的相互独立性与条件概率-2024年高考一轮复习数学人教A版专题讲义(教案)（含答案）

专题12.2 事件的相互独立性与条件概率
1.条件概率
⑴定义：一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
⑵乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
⑵条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则
①；
②如果和是两个互斥事件，则；
③设和互为对立事件，则．
④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：.
注意：
⑴如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；
⑵已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
2.相互独立与条件概率的关系
事件与事件 相互独立 对任意的两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.即事件与相互独立的充要条件是．
性质 ⑴若事件与事件相互独立，则与，与，与也都相互独立； ⑵若事件与事件相互独立，，
概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则
3.全概率公式
⑴定义：一般地,设是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.
⑵全概率公式的直观意义：
①某事件B的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件B是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和
.
②“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和.
4.贝叶斯公式：
设
【重要结论】
1.在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分和的不同，表示在事件发生的条件下，事件发生的概率；而则表示在事件发生的条件下，事件发生的概率.
2.概率与的联系与区别：
⑴联系：事件都发生了；
⑵区别：①在中，事件发生有时间上的差异，事件先发生，事件后发生；在中，事件同时发生；
②基本事件空间不同在中，事件成为样本空间，即；在中，基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即.
1.【人教A版必修二 10.2事件的相互独立性 例1 P251】（多选）某不透明的袋子中装有个质地、大小均相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，事件“第一次取出的球的数字是”，事件“第二次取出的球的数字是”，事件“两次取出的球的数字之和是”，事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
2.【人教A版选择性必修三 7.1.1条件概率 练习3 P48】（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个红球，个白球，每次从中随机摸出个球，则下列结论中正确的是( )
A. 若不放回的摸球次，则第一次摸到红球的概率为
B. 若不放回的摸球次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为
C. 若有放回的摸球次，则仅有前次摸到红球的概率为
D. 若有放回的摸球次，则恰有次摸到红球的概率为
【方法储备】
1.相互独立事件的判断
⑴定义：从定义的角度看看一个事件的发生对另一个事件的发生的概率是否有影响,若一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响,则两事件是相互独立的；
⑵公式：对于两个事件,若有成立,则得事件相互独立.
2.求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【典例精讲】
例1.(2023·湖北省襄阳市联考) 先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丁相互独立 D. 丙与丁相互独立
例2.(2023·河南省安阳市模拟) 某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得分；如果只有一个人投中，则小组得分；如果两人都没投中，则小组得分．甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于分的概率为 ．
【拓展提升】
练1-1(2023·安徽省亳州市模拟) 国家于年月日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件互斥但不对立 B. 事件与事件互斥且对立
C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立
练1-2(2023·湖南省长沙市月考) 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得分，回答错误得分；第二个问题回答正确得分，回答错误得分；第三个问题回答正确得分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ；该选手闯关成功的概率是 ．
练1-3(2022·吉林省长春市月考) 甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛每两支队比赛一场，比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第二轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记分，输的球队记分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线．假设四支球队每场比赛获胜概率以近场球队相互之间的胜场比为参考．
队伍 近场胜场比 队伍
甲 乙
甲 丙
甲 丁
乙 丙
乙 丁
丙 丁
三轮比赛结束后甲的积分记为，求；
若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为、、、，求甲队能小组出线的概率．
【方法储备】
条件概率的两种常用方法：
1.定义法：先求和，再由，求；
2.样本点法：借助古典概型概率公式，先求事件包含的样本点数，再求事件所包含的样本点数，得.
【典例精讲】
例3.(2023·安徽省合肥市期末) 袋子中有大小相同的个白球和个红球，从中任取个球，已知个球中有白球，则恰好拿到个红球的概率为( )
A. B. C. D.
例4. (2023·江苏省徐州市模拟) 设集合，且，，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
例5. (2023·江苏省无锡市期中) 若，则在“函数的定义域为”的条件下，“函数为奇函数”的概率为( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练2-1(2023·广东省梅州市模拟) 甲袋中装有个白球，个红球和个黑球，乙袋中装有个白球，个红球和个黑球先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用表示乙袋取出的球是白球，则( )
A. 两两不互斥 B.
C. 与是相互独立事件 D.
练2-2(2023·河北省石家庄市月考) 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为，，，的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭主持人知道奖品在哪个箱子里游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．
现有抽奖人甲选择了号箱，在打开号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子．
计算主持人打开号箱的概率
当主持人打开号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选号箱，还是改选号或号箱以获得奖品的概率最大为决策依据
【方法储备】
运用全概率公式的一般步骤如下：
(1)求出样本空间的一个划分；
(2)求；
(3)求；
(4)求目标事件的概率．
【典例精讲】
例6.(2023·浙江省金华市期中) 某人从地到地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为，，，乘火车迟到的概率为乘轮船迟到的概率为，乘飞机迟到的概率为，则这个人从地到地迟到的概率是( )
A. B. C. D.
例7.(2023·福建省三明市模拟) 第届冬奥会奥运村有智能餐厅、人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为( )
A. B. C. D.
例8.(2023·江苏省苏州市模拟) 在二十大报告中，体育、健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标．某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局
求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率．
【拓展提升】
练3-1(2023·浙江省台州市模拟) 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则 ．
练3-2(2023·辽宁省鞍山市模拟)（多选） 甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )
A. 事件与事件相互独立 B.
C. D.
1.(2023·浙江省模拟) 班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有的可能答对问题，的可能答对问题，的可能答对问题记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答( )
A. 问题 B. 问题
C. 问题和都可以 D. 问题
2.(2023·天津市市辖区月考) 现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，，，假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是 ．
直接挑战第关并过关的概率为；
连续挑战前两关并过关的概率为；
若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则；
若直接挑战第关，则过关的概率是．
【答案解析】
1.【人教A版必修二 10.2事件的相互独立性 例1 P251】（多选）
解：袋中个球，有放回的随机取两次，每次取个，样本空间，，，，元素个数为．
，，，，，共个元素，则
，，，，，共个元素，则
，，，，共个元素，则
，，，，，共个元素，则．
，则，而，所以，即与不相互独立，A错误
，则，而，所以，即与相互独立，B正确
，则，而，所以，即与相互独立，C正确
，则，而，所以，即与不相互独立，D错误故选BC．
2.【人教A版选择性必修三 7.1.1条件概率 练习3 P48】（多选）
解：对于，第一次摸到红球的概率为，故A错误，
对于，不放回的摸球次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率，故B正确，
对于，有放回的摸球次，则仅有前次摸到红球的概率，故C正确，
对于，有放回的摸球次，则恰有次摸到红球的概率，故D正确．
故本题选BCD．
例1.解：由题意可知，两次掷出的点数之和是的所有可能结果为：
，，，，，共种
两次掷出的点数之和是的所有可能结果为：，，，，，，共种
则甲，乙，丙，丁．
甲丙甲丙；
甲丁甲丁；
乙丁乙丁
丙丁丙丁，
故答案选：．
例2.解：该小组在两轮活动中得分之和为分的概率为，
该小组在两轮活动中得分之和为分的概率为
，
该小组在两轮活动中得分之和为分的概率为，
所以该小组在两轮活动中得分之和不低于分的概率为．
故答案为．
练1-1.解：设表示女孩，表示男孩该家庭的子女情况可表示如下：
，，，，，，，．
事件包括：，，，，，
事件包括：，，，
事件包括：，，，．
对于选项A，事件与事件互斥且对立， A错误
对于选项B，事件与事件不互斥， B错误
由上可知：，，，，，
由于，则事件与事件不是相互独立事件，C错误；
由，事件与事件相互独立，成立．
故选D．
练1-2.解：记该选手回答问题正确的个数为，由题设，选手仅回答正确两个问题的概率
，
由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于分，
只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于分，
所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为 ．
故答案为： ，
练1-3.解：设甲的第场比赛获胜记为，
则有．
分以下三种情况：
若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙胜丙，
则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为、、、，
此时甲、乙、丁三支球队积分相同，要抽签决定排名，甲抽中前两名的概率为，
所以这种情况下，甲出线的概率为
若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙输丙，
则甲、乙、丙、丁积分变为、、、，
此时甲一定出线，甲出线的概率为
若第三轮甲输丁，另一场比赛乙输丙，
则甲、乙、丙、丁积分变为、、、，
此时甲、乙、丙三支球队要抽签决定排名，甲抽到第二名的概率为，
所以这种情况下，甲出线的概率为．
综上，甲出线的概率为．
例3.解：由题意，任取个球中有白球的情况有种，
其中恰好拿到个红球的情况有种，
故所求概率为.
例4.解：因为，
所以，
所以，故A错误；
，故B错误；，故D错误；
因为 ，
所以，故C正确；
故选C．
例5.解：用所有的有序数对 表示满足 的结果，
则所有的情况为： ，共种，
记“函数 的定义域为 ”为事件，
因为函数 的定义域为 ，
所以 ， 恒成立，
即 ，即 ，
其中满足 的基本事件有：
共种，故 ．
记“函数 为奇函数”为事件．
已知 是奇函数，且定义域为 ，则 ，
即 ，即 ，
解得 或 ．
满足 或 的情况有 共种，
所以，即同时满足事件和事件的情况有 共种，
故 ，所以 ．
故选：．
练2-1.解：对于，由题意可知，，不可能同时发生，
所以，，两两互斥，所以不正确；
对于，由题意可得，
所以，所以 B正确；
对于，因为，，
，
所以，所以与不是相互独立事件，所以C错误；
对于，由选项可知，是错误的．
故选：．
练2-2.解：设，，，分别表示，，，号箱子里有奖品，
设，，，分别表示主持人打开，，，号箱子，
则，且，，，两两互斥．
由题意可知，事件，，，的概率都是，
，，，．
由全概率公式，得．
在主持人打开号箱的条件下，号箱、号箱、号箱里有奖品的条件概率分别为：
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选号或号箱．
例6.解：设事件表示“乘火车”，事件表示“乘轮船”，事件表示“乘飞机”，事件表示“迟到”，
则，
，，
且，
由全概率公式，可得这个人迟到的概率为：
．
故选B．
例7.解：设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，则，且与互斥．
根据题意得：，，，
由全概率公式，得：
．
故答案选：．
例8.解：设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”．
由全概率公式知，
因为每名队员上场顺序随机，故，，
，
，
．
所以
，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为．
设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，
，，．
．
因为．
由知，所以．
所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为．
练3-1.解：，，
则，，
由全概率公式得：，
则，
所以，
故答案为：．
练3-2.解：，，，
先发生，此时乙箱中有个红球，个白球和个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有个红球，个白球和个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有个红球，个白球和个黑球，则，
所以，故B正确，
，故 C错误，
因为，，
所以，即事件与事件不独立，故A错误，
因为，故D正确，
故选：．
1.解：若先回答问题，则答题顺序可能为，，和，，，
当答题顺序为，，且连对两题时，
当答题顺序为，，且连对两题时，
所以先回答问题，连对两题的概率为
同理先回答问题，连对两题的概率为先回答问题，连对两题的概率为
所以要使得最大，他应该先回答问题，
2.解：对于， ，所以两次点数之和应大于，
即直接挑战第关并过关的概率为 ，故正确；
对于， ，所以挑战第关通过的概率 ，
则连续挑战前两关并过关的概率为 ，故错误；
对于，由题意可知，抛掷次的基本事件有 ，
抛掷次至少出现一个点的事件共有 种，
故 ，而事件 包括：含，，的种，含，，的有种，共种，
故 ，所以 ，故正确；
对于，当 时， ，
而“次点数之和大于”包含以下种情况：
含，，，的有种，含，，，的有种，
含，，，的有种，含，，，的有种，
含，，，的有种，含，，，的有种，
含，，，的有种，
所以 ，故正确．
故答案为：

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