专题12.4 超几何分布、二项分布、正态分布-2024年高考一轮复习数学人教A版专题讲义(教案)（含答案）

专题12.4 超几何分布、二项分布、正态分布
1.两点分布
⑴若随机变量服从两点分布，即其分布列为
0 1
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
⑵两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．
注意：
⑴两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
⑵两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2.伯努利试验与二项分布
⑴ 重伯努利试验的定义
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
⑵ 二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
⑶两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量服从两点分布,则.
②若,则.
3.超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为.
其中．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
4.正态分布
⑴正态分布定义：
若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.
⑵正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。
⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
⑶正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设，可以证明：对给定的,是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.
【重要结论】
1.对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性．
2.超几何分布和二项分布的区别
⑴超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
⑵超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
1.【人教A版选择性必修三 习题7.4 第8题 P81】为试验一种新药，某医院把该药分发给位患有相关疾病的志愿者服用试验方案为：若这位患者中至少有人治愈，则认为这种新药有效否则认为这种新药无效假设新药有效，治愈率为．
用表示这位志愿者中治愈的人数，求的期望
若位志愿者中治愈的人数恰好为，从人中随机选取人，求人全部治愈的概率
求经试验认定该药无效的概率保留位小数根据值的大小解释试验方案是否合理依据：当值小于时，可以认为试验方案合理，否则认为不合理
附：记，，，，，，参考数据如下：
2.【人教A版选择性必修三 复习参考题7 第10题 P91】现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．
通过三次传球，球经过乙的次数为，求的分布列与期望；
设经过次传球后，球落在甲手上的概率为，
(ⅰ)求，；
(ⅱ)求，并简要解释随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等．
【方法储备】
1.求超几何分布的分布列的步骤：
⑴验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值；
⑵根据超几何分布的概率公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
⑶用表格的形式列出分布列.
说明：
⑴超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
⑵超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
2.二项分布与超几何分布的辨析
袋子中有大小相同的个球，其中有个红球，N-M个白球，令,设表示摸出的个球中的红球的个数，则
摸球方式 的分布
有放回摸球 二项分布
无放回摸球 参数为的超几何分布
【典例精讲】
例1.(2023·山东省青岛市月考)（多选）某次考试中，从道题中随机地抽取道题，考生若能答对道题则规定为及格；能答对道题则规定为良好，能答对道题则规定为优秀，已知某考生能答对其中的道题，则该考生在这次考试中( )
A. 成绩在及格及以上的概率为
B. 成绩良好的概率为
C. 成绩优秀的概率为
D. 在已知该生在成绩及格及以上条件下，获得良好及以上成绩的概率为
例2.(2023·福建省厦门市月考) 西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫
欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了箱西梅，其中有箱测定为一等品．
Ⅰ现从这箱中任取箱，求恰好有箱是一等品的概率
Ⅱ以这箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望．
【拓展提升】
练1-1(2023·天津市期末) 盒中装有大小、形状完全相同的个红球和个黑球若从中取个球，恰好都是黑球的概率是 若每次取球，取后不放回，直到取出黑球时停止，则取球次数的数学期望 ．
练1-2(2023·山东省滨州市模拟) “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门为了了解全民对于“学习强国”使用的情况，现从某单位全体员工中随机抽取人做问卷调查已知某单位有名员工，其中是男性，是女性．
当时，求抽出人中男性员工人数的分布列和数学期望；
我们知道，当总量足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布现在全市范围内考虑从名员工男女比例不变中随机抽取人，在超几何分布中男性员工恰有人的概率记作；在二项分布中即男性员工的人数男性员工恰有人的概率记作那么当至少为多少时，我们可以在误差不超过即的前提下认为超几何分布近似为二项分布参考数据：
【方法储备】
1.解决二项分布的分布列问题的步骤：
⑴先判断随机变量是否服从二项分布，判断是否满足：
①对立性：一次试验中时间发生与否必居其一；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行，且每次试验事件发生的概率均为同一常数，③连续性：的取值是的整数，中间不间断；
⑵若该随机变量服从二项分布, 求出每次试验事件发生的概率；
⑶根据二项分布的分布列，列出相应的分布列.
2.与二项分布有关的期望与方差的求法
⑴求随机变量的期望与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果服从，则用公式
求解,可大大减少计算量.
⑵有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布, 则可以综合应用以及求出,同样还可求出.
3.求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
解题的一般思路是：根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数写出二项分布的分布列将值代入求解概率.
【典例精讲】
例3.( 2023·云南省昆明市联考) 进入冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为，是否感染这种病毒相互独立．记个人中恰有人感染病毒的概率是，则的最大值点的值为 ．
例4. (2023·辽宁省沈阳市模拟) 某会议室用盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为年以上的概率为，寿命为年以上的概率为，从使用之日起每满年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．
Ⅰ在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；
Ⅱ在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；
Ⅲ设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为，求的分布列和期望．
【拓展提升】
练2-1(2023·福建省厦门市模拟) 已知随机变量，且，，若，，且，则的最小值为 ．
练2-2(2023·广东省佛山市月考) 某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知甲能正确作答其中个，乙能正确作答每个问题的概率都是，甲、乙两名同学作答问题相互独立记甲答对题的个数为，乙答对题的个数为．
求甲、乙恰好共答对个问题的概率；
若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由．
练2-3(2023·吉林省长春市模拟) 昭通苹果种植历史悠久，可追溯到民国十五年年，法国人贾海义从欧洲引入，种植于昆明并传入昭通昭通苹果主要品种有金帅、红富士等，经过驯化的富士系列苹果在昭阳区种植产量高、口味好、耐贮藏、含糖量高、风味佳，有成熟早、甜度好、香味浓、口感脆等特点昭通苹果开发公司从进入市场的“昭通苹果”中随机抽检个，利用等级分类标准得到数据如下：
等级 级 级 级
个数
以表中抽检的样本估计全市“昭通苹果”的等级，现从全市上市的“昭通苹果”中随机抽取个，求取到个级品的概率
某超市每天都采购一定量的级“昭通苹果”，超市记录了天“昭通苹果”的实际销量，统计结果如下表：
销量
天数
今年级“昭通苹果”的采购价为元，超市以元的价格卖出为了保证苹果质量，如果当天不能卖完，就以元退回供货商若超市计划一天购进或“昭通苹果”，你认为应该购进还是请说明理由．
【方法储备】
1.求解正态分布的概率计算问题的一般步骤：
⑴根据题目中给出的条件确定与的值；
⑵将待求问题向，，这三个区间进行转化；
⑶利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为1求出最后结果．
2.解正态分布概率计算题的关键是借助正态曲线的对称轴确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系,必要时可借助图形判断. 常用结论有：
⑴对任意的,有；
⑵；
⑶.
⑷当条件中无已知概率时,则要将区间转化为三个特殊区间,利用三个特殊区间的概率求解.
【典例精讲】
例5.( 2022·湖南省永州市月考) 假设云南省万学生数学模拟考试的成绩近似服从正态分布，已知某学生成绩排名进入全省前名，那么该生的数学成绩不会低于 分参考数据：，
例6.( 2023·安徽省鼎尖名校联考) 为提高学生运动的积极性,某校拟在六月初进行高二年级班级篮球赛。体育教师随机记录了高二三班体育委员小杨在五月份中“定点投篮”训练中的成绩。小杨每天进行投篮训练100次,每次投篮命中得1分,否则不得分,且每次命中结果互不影响。得到如下频率分布直方图.
(1)①求小杨在五月份“定点投篮”训练成绩的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)
②若小杨在五月份“定点投篮”训练成绩X近似地服从正态分布N(,64),其中近似为样本平均数,求P(X>58)的值;
(2)为进一步激发小杨的训练斗志,体育老师特安排二班体育委员小王与其进行比赛。两人分别连续投篮100次,小杨得分达到80分为获胜,否则小王获胜.若有人获胜达3局,则比赛结束,记比赛的局数为Y.以频率分布直方图中小杨获胜的频率作为概率,求E(Y).
参考数据:若随机变量~N(,),则P(-<<+)0.6827, P(-2<<+2)0.9545,
P(-3<<+3)0.9973.
【拓展提升】
练3-1(2023·江苏省南京市模拟)（多选） 随机变量X~N(,)且P(X2)=0.5,随机变量Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),则（ ）
A. =2 B. D(X)=2 C. p= D. D(3Y)=2
练3-2(2023·湖北省荆州市模拟) 为贯彻落实《健康中国行动(2019-2030年)》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神,确保2030年学生体质达到规定要求,各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查,现从该校抽取200名学生测量他们的体重,得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求这200名学生体重的平均数和方差(同一组数据用该区间的中点值作代表).
(2)由频率分布直方图可知,该校学生的体重Z服从正态分布N(,),其中近似为平均数,近似为方差.
①利用该正态分布,求P(50.73< Z69.27);
②若从该校随机抽取50名学生,记X表示这50名学生的体重位于区间(50.73,69.27]内的人数,利用①的结果,求E(X).
参考数据:9.27.若Z~N(,),则P(-< Z+)0.6826,
P(-2< Z+2)0.9544,P(-3< Z+3)0.9974.

【方法储备】
离散型随机变量的性质容易和其他知识相结合,所涉及的参数范围(最值)问题容易与函数、基本不等式相结合,做题时需注意分布列的性质与其他模块内容的联系.
【典例精讲】
例7.( 2023·福建省龙岩市模拟) 现有两个口袋，口袋中有个球，一部分是红球，另一部分是白球，从中取出一个球恰好是白球的概率为，口袋中有个球，个红球，个白球．若将两个口袋混合在一起，从中取出一个球，恰好是白球的概率为．
若甲从口袋中每次有放回地取一个球，直到取到白球停止，则恰好第三次后停止的概率；
甲乙两人进行游戏，由第三人从两个口袋中各取一个球，若同色甲胜，否则乙胜，通过计算说明这个游戏对两人是否公平；
从口袋中一次取个球，取到一个白球得分，取到一个红球得分，求得分的期望．
例8.( 2023·重庆市模拟) 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上含的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：
甲：，，，，，，，，，
乙：，，，，，
丙：，，，．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率
设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望
在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大结论不要求证明
【拓展提升】
练4-1(2023·河北省衡水市模拟) 年月，年全国未成年人互联网使用情况研究报告发布报告显示，年我国未成年网民规模达亿，未成年人互联网普及率达互联网已成为未成年人学习、娱乐、社交的重要工具但与此同时，约两成的未成年网民认为自己对互联网存在不同程度的依赖某中学为了解学生对互联网的依赖情况，决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查：
一个袋子中装有个大小相同的小球，其中个黑球，个红球所有学生从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式回答问卷，否则按方式回答问卷”
方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“”，否则画“”
方式②：若你对互联网有依赖，则在问卷中画“”，否则画“”
当所有学生完成问卷调查后，统计画“”，画“”的比例用频率估计概率，由所学概率知识即可求得高一年级学生对互联网依赖情况的估计值．
依赖率
若高一五班有名学生，用表示其中按方式回答问卷的人数，求的数学期望
若所有调查问卷中，画“”与画“”的比例为，试估计该中学高一年级学生对互联网的依赖率结果保留两位有效数字
练4-2(2023·江苏省镇江市二模) 中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．在中国有着深厚的群众基础，是普及最广的棋类项目．某地区举行中国象棋比赛，先进行小组赛，每三人一组，采用单循环赛任意两人之间只赛一场，每场比赛胜者积分，负者积分，平局各积分．根据积分排名晋级淘汰赛，若出现积分相同的情况，则再进行加赛．已知甲、乙、丙三人分在同一个小组，根据以往比赛数据统计，甲、乙对局时，甲胜概率为，平局概率为；甲、丙对局时，甲胜概率为，平局概率为；乙、丙对局时，乙胜概率为，平局概率为各场比赛相互独立，若只考虑单循环赛的三场比赛，求：
甲积分的期望；
甲、乙积分相同的概率．
1.( 2023·安徽省阜阳市月考)（多选） 为调查中学男生的肺功能情况,对两学校各1000名男生的肺活量数据(单位:ml)进行分析,随机变量X表示甲校男生的肺活量,且X~N(3000,),随机变量Y表示乙校男生的肺活量,且Y~N(3200,),则下列说法中正确的有（ ）
A. 甲校男生肺活量数据的平均值低于乙校
B. 乙校男生肺活量数据的波动幅度大于甲校
C. 估计甲、乙两校男生肺活量在3000ml~3200ml的人数占比相同
D. 估计甲校男生肺活量低于2800ml的人数比乙校男生肺活量低于2800ml的人数多
2.( 2023·江苏省扬州市模拟)（多选） 已知随机变量的概率密度函数为，且的极大值点为，记，，则( )
A. B.
C. D.
3.( 2023·安徽省安庆市模拟) 进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为
若，求；
若，，．
①求；
②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值．

【答案解析】
1.【人教A版选择性必修三 习题7.4 第8题 P81】
解：(1) 每位患者治愈的概率为0.8,且每位患者是否治愈相互独立,
则治愈人数X~B(10,0.8),故E(X)=100.8=8；
(2)记事件A=“任选5位志愿者全部治愈”,
由（1）知，10位志愿者中治愈的人数为8人，则P(A)==；
(3) 记事件B= “经过试验该药被认定无效”, 事件B发生等价于{X4},
则p=P(B)=P(X4)=
=0.0001+0.0008+0.0055=0.0064.
因为0.0064<0.05,
所以可以认为试验方案合理.
2.【人教A版选择性必修三 复习参考题7 第10题 P91】
解：由题意可知，的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：


的数学期望是；
由题意可知，，；
由题意可知，，
则，
故数列是等比数列，
所以，则，
当时，，
所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数，
又因为第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，
所以球落在每个人手上的概率都相等，
所以球落在乙、丙、丁手上的概率为，
故传球次数足够多时，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率都是．
例1.解：设事件，，分别表示该生在这次考试中成绩为及格、良好、优秀．
那么表示该生成绩在及格及以上这一事件，
表示该生成绩在良好及以上这一事件，
则，，，
，故选项A、、C正确．
在选项D中，该事件的概率为，故选项D正确．
故答案为．
例2.解：Ⅰ设抽取的箱西梅恰有箱是一等品为事件，
则
所以从这箱中任取箱，恰好有箱是一等品的概率为；
Ⅱ以这箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，
则抽到一等品的概率为，
若从这一批西梅中随机抽取箱，表示抽到一等品的箱数，
的所有可能取值为，，，，且，
，，
，，
的分布列为：
的期望为：．
练1-1.解：由题意可得从中取个球，恰好都是黑球的概率是
的可能取值为，，，
，
，
，
故随机变量的分布列为
．
练1-2.解：当 时，男性员工有人，女性员工有人．
服从超几何分布， ，
， ，
， ，
的分布列为
数学期望为 ．
，
，
由于 ，则 ，
即 ，
即 ，
由题意易知 ，从而 ，
化简得 ，
又 ，于是 ．
由于函数 在 处有极小值，
从而 在 上单调递增，
又 ， ．
因此当 ，为正整数时符合题意，
而又考虑到 和 都是整数，则 一定是的整数倍，于是 最小为 ．
即至少为时，我们可以在误差不超过即 的前提下认为超
几何分布近似为二项分布．
例3.解：个人中恰有人感染病毒的概率是，，
则，
令，解得，
当时，；当时，，
故的最大值点为．
故答案为：．
例4.解：Ⅰ设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为 ，
则 ．
Ⅱ对该盏灯来说，第、次都更换了灯棍的概率为 ；
第一次未更换灯棍而第二次需要更换灯棍的概率为 ，
故所求概率为：
．
Ⅲ 的可能取值为，，，；
某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为 ．
，
，
，
，
的分布列为：
此分布为二项分布 ．
．
练2-1.解：随机变量∽，
，或，
或，
又，故，．
，
当且仅当，时等号成立．
故答案为．
练2-2.解：设“甲、乙恰好共答对个问题的概率”为事件，
则
．
由已知得所有可能的取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为
所以，
，
由已知得，所以，，
因为，，
所以选择甲同学参赛．
练2-3.解：(1)由题意可知,从全市上市的“昭通苹果”中随机抽取1个,
取到A级品的概率P==,
从全市上市的“昭通苹果”中随机抽取10个,取到A级品的个数X~B(10,),
则P(X=4)==.
(2)当超市一天购进170kg“昭通苹果”时,设利润为,销量为,
则的可能取值为150,160,170,的可能取值为560,620,680,
P(=560)=P(=150)==,
P(=620)=P(=160)==,
P(=680)=P(=170)=1--=.
的分布列为:
560 620 680
P
E()=560+620+680=656.
当超市一天购进180kg“昭通苹果”时,设利润为,销量为,
的可能取值为150,160,170,180,的可能取值为540,600,660,720,
P(=540)=P(=150)==,
P(=600)=P(=160)==,
P(=660)=P(=170)==,
P(=720)=P(=180)=1---=,
利润的分布列为:
540 600 660 720
P
E()=540+600+660+720=663,
E()>E(),所以超市应计划一天购进180kg“昭通苹果”.
例5.解：由题意， ， ，
， ，
从而数学成绩大于等于分的人数恰好为 ，因此要进入前名，成绩不会低于分．
例6.解：(1)①平均数=(550.010+650.020+750.045+850.020+950.005)10=74;
②由题意知,==74,=8.
P(58< X<90)=P(-2< X<+2)0.9545，
P(X<58)==0.02275，
所以P(X>58)=1-0.02275=0.97725.
(2)以频率估计概率,则小杨获胜的概率为(0.020+0.005)10=0.25=,
由题意知,随机变量Y的可能取值为3,4,5,
所以P(Y=3)=+=,
P(Y=4)=+=,
P(Y=5)=+=,
Y的分布列为
Y 3 4 5
P
所以E(Y)=3+4+5=.
练3-1.解：因为 且 ，
所以 ，故， ，选项正确，选项错误；
因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，选项 正确；
，选项 错误．
故选AC.
练3-2.解：(1)由题意可得=400.02+500.3+600.4+700.23+800.04+900.01=60;
=4000.02+1000.3+00.4+1000.23+4000.04+9000.01=86.
(2)①由(1)可知=60,==9.27,
则P(50.73< Z69.27)=P(60-9.27< Z60+9.27)=P(-< Z+)0.6826.
②由①可知1名学生的体重位于(50.73,69.27]的概率为0.6826.
因为X~B(50,0.6826),所以E(X)=500.6826=34.13.
例7.解：设口袋中有个白球，则由题知，解得，，
设事件表示从口袋中第次取出的是红球，则有，
设事件表示从口袋中有放回的各取球恰好第次后停止，
则．
设事件表示从口袋中取出一个球是红球，，
表示从口袋中取出一个球是红球，，
事件表示第三人从两个口袋中各取一球是同色球，有
，
所以游戏不公平．
设表示从口袋中一次取个球的得分，则的可取值为，，，
有，，，
从而．
例8.解：由题意得：
设“甲在校运会铅球比赛中获优秀奖”为事件．
比赛成绩达到以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到以上的有：，，四个，
所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为，
所有可能取值为，，，．
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为．
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件，则．
丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件，则．
，
，
，
，
则
丙获得冠军的概率估计值最大．
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩比赛一次，丙获得的概率为，甲获得的概率为，
乙获得的概率为，并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利．
练4-1.解：(1)每次摸到黑球的概率=,摸到红球的概率=，
每名学生两次摸到的球的颜色不同的概率=2= ，
由题意知,高一五班50名学生按方式①回答问卷的人数X~B(50,),
X的数学期望E(X)=50=24;
(2) 记事件A为“按方式①回答问卷”,事件B为“按方式②回答问卷”,事件C为“在
问卷中画''号”.
由(1)知P(A)=,P(B)=1-P(A)=,P(A)P(C|A)=P(AC)==,
由全概率公式得,P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B),
= +P(C|B)，
P(C|B)=0.18=18%,
由调查问卷估计,该中学高一年级学生对互联网的依赖率约为18%.
练4-2.解：设甲积分为，则的可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
．
的分布列为：
若甲、乙积分相同，则只能同时积分、分、分、分，
若甲、乙均积分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局丙胜，乙、丙对局丙胜，
其概率为：
若甲、乙均积分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局平局，乙、丙对局平局，
其概率为：
若甲、乙均积分，则甲、乙对局甲胜，甲、丙对局丙胜，乙、丙对局乙胜，
或者甲、乙对局乙胜，甲、丙对局甲胜，乙、丙对局丙胜，
其概率为：
若甲、乙均积分，则甲、乙对局平局，甲、丙对局甲胜，乙、丙对局乙胜，
其概率为：
所以甲、乙积分相同的概率为．
1.解：A.由3000＜3200，故甲校男生肺活量数据的平均值低于乙校，正确；
B.由＞，故乙校男生肺活量数据的波动幅度大于甲校，正确；
C.X~N(3000,),Y~N(3200,)，
=，
故,
所以估计甲校男生肺活量在3000ml~3200ml的人数占比大于乙校男生肺活量在3000ml~3200ml的人数占比，故错误;
D.X~N(3000,),Y~N(3200,)，
,
所以估计甲校男生肺活量低于2800ml的人数比乙校男生肺活量低于2800ml的人数多，故正确，
故选：ABD.
2.解：对于，由随机变量的概率密度函数为可得，
所以随机变量服从正态分布，，故A错误；
对于，因为二次函数在上单调递增，在上单调递减，
由函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可得
在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，所以，所以随机变量服从正态分布，，故B正确；
对于，因为，，又，
所以，即，故C正确；
对于，因为，，
所以，故D正确．
故选BCD．
3.解：因为∽，
所以．
①因为，
事件“的对立事件为“次试验中，成功了次或次”，
“次试验中，成功了次”的概率，
“”，
所以，
即．
②次内结束试验的概率即为，即
所以，即．
记，因为，
所以为递减数列．
因为，，
故使得不等式成立的最小正整数为，
所以的最小值为．

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