人教A版（2019）必修第一册 第五章 《三角函数》单元综合测试（含答案）

第五章 三角函数单元综合练习卷
一．选择题（共8小题）
1．已知α的终边上有一点P（1，3），则cos（π+α）的值为（　　）
A． B． C． D．
2．设角α的终边与单位圆的交点坐标为，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．1
3．已知锐角θ满足2cos2θ＝1+sin2θ，则tanθ＝（　　）
A． B． C．2 D．3
4．设函数在区间（0，π）恰有三条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．设，b＝2sin13°cos13°，c＝，则有（　　）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
6．设函数，若对于任意实数φ，函数f（x）在区间[0，2π]上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点中心对称，则（　　）
A．f（x）在区间单调递减
B．f（x）在区间内有两个极值点
C．直线是曲线y＝f（x）的对称轴
D．函数f（x）的图像向右平移个单位长度可以得到函数g（x）＝cos2x
8．已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．下列说法错误的是（　　）
A．若函数的最小正周期为，则ω的值为2
B．函数是偶函数
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数在[0，π]上的单调递增区间是
（多选）10．将三角函数经如下变换后得到y＝sinx的图象：
①将图象向右平移个单位；②将图象向左平移个单位；③将图象向下平移个单位；④将图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍．以下变换顺序正确的是（　　）
A．④①③ B．④③①① C．②②③④ D．③①④
（多选）11．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数g（x）的图象，则关于g（x）的说法正确的是（　　）
A．最小正周期为2π
B．偶函数
C．在上单调递减
D．关于中心对称
（多选）12．函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．f（x）的最小正周期是2π
B．是f（x）的一条对称轴
C．f（x）的零点是
D．f（x）在区间上单调递减
三．填空题（共4小题）
13．已知，则tanαsinα的值为 　 　．
14．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若x1，x2∈（﹣，），且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝　 　．
15．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则tan（π﹣α）＝　 　．
16．已知直线y＝m（m＞0）与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点A，B，C满足7|AB|＝5|BC|，则实数m＝　 　．
四．解答题（共6小题）
17．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，设∠POC＝α（0＜α＜θ）．
（1）若，，求线段OA的长；
（2）已知当时，矩形ABCD的面积S最大．求圆心角θ的大小，并求此时矩形ABCD面积S的最大值是多少？
18．已知函数．
（1）求其最小正周期；
（2）求函数y＝f（x）图象的对称中心；
（3）讨论函数f（x）在上的单调性．
19．已知向量＝（2，1﹣2sin2），＝（sinα，1），且⊥．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．已知函数的最小正周期为π．
（1）求当f（x）为偶函数时φ的值；
（2）当ω＞0时，若f（x）的图象过点，求f（x）的单调递增区间．
21．已知函数的部分图象如图所示，矩形OABC的面积为．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）先将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的，最后得到函数g（x）的图象．若关于x的方程[g（x）]2+（1﹣m）g（x）﹣m＝0在区间[0，π]上仅有3个实根，求实数m的取值范围．
22．已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若，，求的值.
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8CCADA CAC
二．多选题（共4小题）
9．AD
10．BCD
11．BD
12．BCD
三．填空题（共4小题）
13．
14．
15．
16．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）根据题意，可得Rt△OBC中，BC＝OCsinα＝sinα，故AD＝BC＝sinα，
Rt△AOD中，，当，时，；
（2）AB＝OB﹣OA＝＝，
结合BC＝sinα，得矩形ABCD面积S＝AB BC＝，
由于θ是常数，所以当2α＝θ时，S有最大值，
结合题意知圆心角，矩形ABCD面积S的最大值为．
18．解：（1）∵函数＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，
∴其最小正周期为＝π．
（2）令2x﹣＝kπ，k∈Z，求得x＝+，k∈Z，
可得函数y＝f（x）图象的对称中心为（+，0），k∈Z．
（3）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
再根据x在上，可得函数的增区间为[0，]，减区间为[，]．
19．解：（1）由已知可得 ＝2sinα+1﹣2sin2＝2sinα+cosα＝0，
所以．
（2）由（1）及二倍角公式化简＝
＝＝．
20．解：（1）当f（x）为偶函数时，，
∵，
∴；
（2）函数的最小正周期为π，
∴，∴ω＝±2，
又∵ω＞0，∴ω＝2，
∴f（x）＝sin（2x+φ），将点代入f（x）得，，
∵，∴，单调递增需满足，
由，
可得，
综上，f（x）的单调递增区间．
21．解：（1）由f（x）的解析式可知|OC|＝4，
矩形OABC的面积为，所以，
根据点B在f（x）的图象上的位置知，得ω＝2，
所以．
f（x）的最小正周期为．
令，k∈Z，得，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度，
所得曲线对应的函数为，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的，
所得曲线对应的函数为，即g（x）＝．
由[g（x）]2+（1﹣m）g（x）﹣m＝0得[g（x）+1][g（x）﹣m]＝0，即g（x）＝﹣1或g（x）＝m．
作出g（x）在[0，π]上的大致图象如图所示：
易知方程g（x）＝﹣1在[0，π]上仅有一个实根．
要使原方程在[0，π]上仅有3个实根，则须方程g（x）＝m在[0，π]上有2个实根，
即直线y＝m与曲线y＝g（x）在[0，π]上有2个公共点，结合图象可知须1≤m＜2．
即m的取值范围是[1，2）．
22．解：（1），
＝＝，
所以f（x）的最小正周期为．
（2）由（1）得f（）＝sin（α﹣）＝，
所以sin（α﹣）＝，
因为得，0，
所以cos（）＝，
所以cos（）＝sinα＝sin[（）+]＝sin（）+cos（）＝＝