人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元综合练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元综合练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 457.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-24 15:05:44 | ||
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文档简介
第1章 空间向量与立体几何单元综合练习
一．选择题（共8小题）
1．已知向量在基底下的坐标为（0，2，1），则在基底下的坐标为（ ）
A．（0，1，2） B．（1，2，3） C．（1，3，2） D．（3，2，1）
2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，则以下正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，M分别是DD1，AB，BB1的中点，则异面直线A1M与PQ所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥M﹣ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，AB＝2，，F是棱MC上一点，使异面直线BC与AF所成角的余弦值，则VF﹣ABC：VM﹣ABF＝（ ）
A． B．2 C． D．3
6．已知空间直角坐标系O-xyz中，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面四个结论中正确的个数是（ ）
①PQ与EF一定不垂直
②二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是
③△PEF的面积是
④点P到平面QEF的距离是常量
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1满足棱长都相等且AA1⊥平面ABC，D是棱CC1的中点，E是棱AA1上的动点．设AE＝x，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（ ）
A．先增大再减小 B．减小
C．增大 D．先减小再增大
二．多选题（共4小题）
9．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．+，﹣2， B．﹣，+3，2
C．，2，﹣ D．+，﹣，
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成角为45°
D．异面直线MN与DD1所成角为60°
11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点P是半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是[0，16]
B．若C1Q与平面ABCD所成的角为θ，则
C．CP的最小值为
D．若三棱锥P﹣BCQ的外接球表面积为S，则S∈[16π，32π）
12．如图为一正方体的展开图、则在原正方体中（ ）
A．AB∥CD
B．AB⊥CD
C．直线AB与EF所成的角为60°
D．直线CD与EF所成的角为60°
三．填空题（共4小题）
13．若直线l的方向向量与平面α法向量的夹角为120°，则直线l平面α所成角的大小为 ．
14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点，M为棱CC1上任意一点，则＝ ．
15．已知，，若，，且BP⊥平面ABC，则x+y+z＝ ．
16．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为 ．
四．解答题（共6小题）
17．把矩形O1O2FB以O1O2所在的直线为轴旋转180°，得到几何体如图所示．其中等腰梯形ABCD为下底面的内接四边形，且AB＝2AD＝2，点G为上底面一点，且CG∥O1O2，O1O2＝1．
（1）若P为DE的中点，求证：AP⊥平面BDE；
（2）设，λ∈[0，1]，试确定λ的值，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为．
18．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，DA＝DB＝DC，∠BDC＝90°，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）求PQ与平面BCM所成角的正弦值．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是正三角形，侧面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB1A1；
（2）若AC＝AC1＝2，，求直线B1C1与平面EFG所成角的正弦值．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1B1B，AC＝BC，四边形AA1B1B是边长为2的菱形，∠BAA1＝60°．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若点B1到平面ACA1的距离为，求平面BA1A和平面CA1A夹角的余弦值．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°．
（1）证明：直线PB∥平面ACE；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
22．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使A到达A′，连接A′B，A′C，得到四棱锥A′﹣BCDE．
（1）证明：DE⊥A′B；
（2）当二面角A′﹣DE﹣B的平面角在内变化时，求直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8BDBBB CCD
二．多选题（共4小题）
9．AC
10．ABC
11．BCD
12．BCD
三．填空题（共4小题）
13．30°
14．
15．
16．2
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）证明：因为AB为直径，所以BD⊥AD，
因为EA⊥平面ABD，BD 平面ABD，所以EA⊥BD，
因为AE∩AD＝A，所以BD⊥平面ADE，
因为AP 平面ADE，所以BD⊥AP，
因为AD＝AE，P为DE的中点，所以AP⊥DE，
因为BD∩DE＝D，所以AP⊥平面BDE．
（2）因为等腰梯形ABCD为底面半圆O1的内接四边形，AB＝2AD＝2，
所以，
所以CD＝BC＝1，
如图，以O1为坐标原点，在底面半圆O1过点O1垂直于平面ABFE作直线为x轴，
以O1B，O1O2所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
由于AD＝DC＝BC＝1，CG＝1，由（1）可知AO1＝1，
故A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，E（0，﹣1，1），
则，，
设平面ABG的一个法向量为，
则，令，则，
由，λ∈[0，1]，，
可得，所以，
设直线AP与平面ABG所成角为θ，，
则，
即得9λ2﹣9λ+2＝0，解得或，符合λ∈[0，1]，
∴或时，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为．
18．解：（1）证明：如图：取MD的中点E，连接PE，QE，
因为M是AD的中点，P是BM的中点，所以PE∥BD，且，所以QE∥DC，
又PE∩EQ＝E，BD∩DC＝D，平面PQE∥平面BCD，则PQ∥平面BCD；
（2）如图建立空间直角坐标系，
设DA＝DB＝DC＝4，
则B（4，0，0），C（0，4，0），A（0，0，4），M（0，0，2），所以P（2，0，1），Q（0，3，1），
，＝（﹣4，0，2），＝（﹣4，4，0），
设平面BCM的法向量，则 ，
取x＝1，得＝（1，1，2），设PQ与平面BCM所成角为α，
则sinα＝|cos＜＞|＝||＝．
19．解：（1）取A1B1的中点M，连接ME，MB，因为E，F分别是棱A1C1，BC的中点，
则ME∥B1C1∥BF，，∴四边形MEFB为平行四边形，
所以EF∥MB，∵EF 平面ABB1A1，MB 平面ABB1A1，
EF∥平面ABB1A1；
（2）在平面ACC1A1中过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，
∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1 平面ABC＝AC，∴C1O⊥平面ABC，
由菱形ACC1A1，AC＝AC1＝2，得CC1＝2，∠ACC1＝60°，，
因为点O为AC的中点，∴OB⊥AC，
故以O为原点，OB、OC、OC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则
所以
，，
设平面EFG的法向量为，
则有，令z＝5，y＝2，x＝4，
所以平面EFG的法向量为，
设直线B1C1与平面EFG所成角为θ，
则，
综上，直线B1C1与平面EFG所成角的正弦值为．
20．（1）证明：取AB中点O，连接OC，OA1，A1B，
∵AC＝BC，OA＝OB，∴AB⊥OC，
∵△AA1B为正三角形，OA＝OB，
∴AB⊥OA1，
又∵OC∩OA1＝O，OC、OA1 面A1OC，
∴AB⊥面A1OC，
又AlC 面AlOC，
∴AB⊥A1C；
（2）解：∵CO⊥AB，面ABC⊥平面AA1B1B，面ABC∩面AA1B1B＝AB，
∴CO⊥面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直，
设OC＝h，以O为原点，分别以OA、OA1、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
∴，
设面AA1C的法向量＝（x，y，z），
则，令，可得，
∴，解得h＝，
又面AA1B的法向量＝（0，0，1），而，
则，
所以平面BA1A与平面CA1A夹角的余弦值为．
21．解：（1）证明：如图，连接BD交AC与点F，
则F为BD中点，又E为线段PD的中点，
∴EF∥PB，
又PB 平面ACE，EF 平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
（2）设B到平面PCD的距离为d，
又AB∥平面PCD，
∴B到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，
由题意易知A到平面PCD的距离为AE＝AP＝1，
∴d＝AE＝1，又PB＝，
设PB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ＝＝＝，
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．
22．解：（1）证明：由题意证明如下，
在菱形ABCD中，E为AB的中点，∠BAD＝60°，
∴DE⊥AB，
在翻折过程中，恒有DE⊥A′E，DE⊥BE，
又A′E∩BE＝E，A′E，BE 平面A′BE，
∴DE⊥平面A′BE，
而A′B 平面A′BE，
∴DE⊥A′B．
（2）由题意及（1）得，
∠A′EB为二面角A′﹣DE﹣B的平面角，记其为θ，则，
以的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则E（0，0，0），A′（cosθ，0，sinθ），，，
，，
设平面A′DE的法向量，则，得
令x＝sinθ，得，，
则，
令t＝2﹣cosθ，，得
，
当且仅当时，等号成立，
设直线A′C与平面A′DE所成角为α，
则，
故直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值的最大值为，
当时，，
当时，
∵，∴直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值的范围为
一．选择题（共8小题）
1．已知向量在基底下的坐标为（0，2，1），则在基底下的坐标为（ ）
A．（0，1，2） B．（1，2，3） C．（1，3，2） D．（3，2，1）
2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，则以下正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，M分别是DD1，AB，BB1的中点，则异面直线A1M与PQ所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥M﹣ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，AB＝2，，F是棱MC上一点，使异面直线BC与AF所成角的余弦值，则VF﹣ABC：VM﹣ABF＝（ ）
A． B．2 C． D．3
6．已知空间直角坐标系O-xyz中，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面四个结论中正确的个数是（ ）
①PQ与EF一定不垂直
②二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是
③△PEF的面积是
④点P到平面QEF的距离是常量
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1满足棱长都相等且AA1⊥平面ABC，D是棱CC1的中点，E是棱AA1上的动点．设AE＝x，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（ ）
A．先增大再减小 B．减小
C．增大 D．先减小再增大
二．多选题（共4小题）
9．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．+，﹣2， B．﹣，+3，2
C．，2，﹣ D．+，﹣，
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成角为45°
D．异面直线MN与DD1所成角为60°
11．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点P是半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是[0，16]
B．若C1Q与平面ABCD所成的角为θ，则
C．CP的最小值为
D．若三棱锥P﹣BCQ的外接球表面积为S，则S∈[16π，32π）
12．如图为一正方体的展开图、则在原正方体中（ ）
A．AB∥CD
B．AB⊥CD
C．直线AB与EF所成的角为60°
D．直线CD与EF所成的角为60°
三．填空题（共4小题）
13．若直线l的方向向量与平面α法向量的夹角为120°，则直线l平面α所成角的大小为 ．
14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点，M为棱CC1上任意一点，则＝ ．
15．已知，，若，，且BP⊥平面ABC，则x+y+z＝ ．
16．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为 ．
四．解答题（共6小题）
17．把矩形O1O2FB以O1O2所在的直线为轴旋转180°，得到几何体如图所示．其中等腰梯形ABCD为下底面的内接四边形，且AB＝2AD＝2，点G为上底面一点，且CG∥O1O2，O1O2＝1．
（1）若P为DE的中点，求证：AP⊥平面BDE；
（2）设，λ∈[0，1]，试确定λ的值，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为．
18．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，DA＝DB＝DC，∠BDC＝90°，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）求PQ与平面BCM所成角的正弦值．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是正三角形，侧面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB1A1；
（2）若AC＝AC1＝2，，求直线B1C1与平面EFG所成角的正弦值．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1B1B，AC＝BC，四边形AA1B1B是边长为2的菱形，∠BAA1＝60°．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若点B1到平面ACA1的距离为，求平面BA1A和平面CA1A夹角的余弦值．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，E为线段PD的中点，已知PA＝AB＝AD＝CD＝2，∠PAD＝120°．
（1）证明：直线PB∥平面ACE；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
22．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使A到达A′，连接A′B，A′C，得到四棱锥A′﹣BCDE．
（1）证明：DE⊥A′B；
（2）当二面角A′﹣DE﹣B的平面角在内变化时，求直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8BDBBB CCD
二．多选题（共4小题）
9．AC
10．ABC
11．BCD
12．BCD
三．填空题（共4小题）
13．30°
14．
15．
16．2
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）证明：因为AB为直径，所以BD⊥AD，
因为EA⊥平面ABD，BD 平面ABD，所以EA⊥BD，
因为AE∩AD＝A，所以BD⊥平面ADE，
因为AP 平面ADE，所以BD⊥AP，
因为AD＝AE，P为DE的中点，所以AP⊥DE，
因为BD∩DE＝D，所以AP⊥平面BDE．
（2）因为等腰梯形ABCD为底面半圆O1的内接四边形，AB＝2AD＝2，
所以，
所以CD＝BC＝1，
如图，以O1为坐标原点，在底面半圆O1过点O1垂直于平面ABFE作直线为x轴，
以O1B，O1O2所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
由于AD＝DC＝BC＝1，CG＝1，由（1）可知AO1＝1，
故A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，E（0，﹣1，1），
则，，
设平面ABG的一个法向量为，
则，令，则，
由，λ∈[0，1]，，
可得，所以，
设直线AP与平面ABG所成角为θ，，
则，
即得9λ2﹣9λ+2＝0，解得或，符合λ∈[0，1]，
∴或时，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为．
18．解：（1）证明：如图：取MD的中点E，连接PE，QE，
因为M是AD的中点，P是BM的中点，所以PE∥BD，且，所以QE∥DC，
又PE∩EQ＝E，BD∩DC＝D，平面PQE∥平面BCD，则PQ∥平面BCD；
（2）如图建立空间直角坐标系，
设DA＝DB＝DC＝4，
则B（4，0，0），C（0，4，0），A（0，0，4），M（0，0，2），所以P（2，0，1），Q（0，3，1），
，＝（﹣4，0，2），＝（﹣4，4，0），
设平面BCM的法向量，则 ，
取x＝1，得＝（1，1，2），设PQ与平面BCM所成角为α，
则sinα＝|cos＜＞|＝||＝．
19．解：（1）取A1B1的中点M，连接ME，MB，因为E，F分别是棱A1C1，BC的中点，
则ME∥B1C1∥BF，，∴四边形MEFB为平行四边形，
所以EF∥MB，∵EF 平面ABB1A1，MB 平面ABB1A1，
EF∥平面ABB1A1；
（2）在平面ACC1A1中过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，
∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1 平面ABC＝AC，∴C1O⊥平面ABC，
由菱形ACC1A1，AC＝AC1＝2，得CC1＝2，∠ACC1＝60°，，
因为点O为AC的中点，∴OB⊥AC，
故以O为原点，OB、OC、OC1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则
所以
，，
设平面EFG的法向量为，
则有，令z＝5，y＝2，x＝4，
所以平面EFG的法向量为，
设直线B1C1与平面EFG所成角为θ，
则，
综上，直线B1C1与平面EFG所成角的正弦值为．
20．（1）证明：取AB中点O，连接OC，OA1，A1B，
∵AC＝BC，OA＝OB，∴AB⊥OC，
∵△AA1B为正三角形，OA＝OB，
∴AB⊥OA1，
又∵OC∩OA1＝O，OC、OA1 面A1OC，
∴AB⊥面A1OC，
又AlC 面AlOC，
∴AB⊥A1C；
（2）解：∵CO⊥AB，面ABC⊥平面AA1B1B，面ABC∩面AA1B1B＝AB，
∴CO⊥面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直，
设OC＝h，以O为原点，分别以OA、OA1、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
∴，
设面AA1C的法向量＝（x，y，z），
则，令，可得，
∴，解得h＝，
又面AA1B的法向量＝（0，0，1），而，
则，
所以平面BA1A与平面CA1A夹角的余弦值为．
21．解：（1）证明：如图，连接BD交AC与点F，
则F为BD中点，又E为线段PD的中点，
∴EF∥PB，
又PB 平面ACE，EF 平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
（2）设B到平面PCD的距离为d，
又AB∥平面PCD，
∴B到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，
由题意易知A到平面PCD的距离为AE＝AP＝1，
∴d＝AE＝1，又PB＝，
设PB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ＝＝＝，
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．
22．解：（1）证明：由题意证明如下，
在菱形ABCD中，E为AB的中点，∠BAD＝60°，
∴DE⊥AB，
在翻折过程中，恒有DE⊥A′E，DE⊥BE，
又A′E∩BE＝E，A′E，BE 平面A′BE，
∴DE⊥平面A′BE，
而A′B 平面A′BE，
∴DE⊥A′B．
（2）由题意及（1）得，
∠A′EB为二面角A′﹣DE﹣B的平面角，记其为θ，则，
以的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则E（0，0，0），A′（cosθ，0，sinθ），，，
，，
设平面A′DE的法向量，则，得
令x＝sinθ，得，，
则，
令t＝2﹣cosθ，，得
，
当且仅当时，等号成立，
设直线A′C与平面A′DE所成角为α，
则，
故直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值的最大值为，
当时，，
当时，
∵，∴直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值的范围为