14.1.3积的乘方 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）
文档属性
| 名称 | 14.1.3积的乘方 学案（知识清单+典型例题+巩固提升） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 490.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-24 19:32:03 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上册 14.1.3 积的乘方 导学案
【知识清单】
积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
【典型例题】
考点1：各的乘方运算
例1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则进行运算即可．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
考点2：积的乘方的逆用
例2．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．125
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法法则把原式变形，根据积的乘方法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法和积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．8
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知，，（ ）
A．10 B．20 C．40 D．50
10．计算的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： .
12．已知，则
13．计算： ．
14．计算：若，则 ．
三、解答题
15．已知：，
(1)求的值；
(2)求 的值．
16．若（且，m、n是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求a的值．
17．阅读材料，回答下列问题：
材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
即：．
材料二：等式成立
试求：（1） ．
（2） ．
18．已知为正整数，且，，求的值．
19．一个正方体，它的体积是棱长为2cm的正方体的体积的27倍，求这个正方体的棱长是多少？
20．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
21．2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．
【观察思考】
将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形。不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．
【规律总结】
（1）第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个的_________倍；
（2）试猜想第n次分形后所得图形的边数为_________（用含n的代数式表示）．
【问题解决】
（3）若该图①中等边三角形的边长为1，根据以上步骤进行操作，得到了一个周长为的图形，按此规律计算，要想得到此图形，需要经过多少次分形？
参考答案
1．D
【分析】接利用合并同类项法则以及幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则分析得出答案．
【详解】解：A、不能合并，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法是解题关键．
2．C
【分析】先把左右两边分别计算，再对应字母指数相等求值即可．
【详解】∵
∴，
∴，
解得，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查单项式的乘法，幂的综合运算，熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】根据乘方法则及同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了乘方的法则及同底数幂的乘法法则，即负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，掌握相关运算法则是解题关键．
4．C
【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方法则计算，并判断即可．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．D
【分析】根据合并同类项，积的乘方，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：，错误，故A不符合要求；
，错误，故B不符合要求；
，错误，故C不符合要求；
，正确，故D符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方．解题的关键在于正确的运算．
6．B
【分析】根据积的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算计算即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方逆运算、同底数幂的乘法逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．C
【分析】利用积的乘方的逆用 灵活运用即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了积的乘方的逆用，灵活利用积的乘方的逆用是解题的关键．
8．D
【分析】根据积的乘方以及积的乘方的逆运算计算，即可求解．
【详解】解：原式
故选：D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方以及积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方以及积的乘方的逆运算法则是解题的关键．
9．B
【分析】逆用积的乘方和幂的乘方公式即可解答．
【详解】解：，，
,
,
,
,
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，灵活逆用积的乘方和幂的乘方是解答本题的关键．
10．B
【分析】利用积的乘方的逆用法则进行运算即可.
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】本题主要考查积的乘方的逆用，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
11．
【分析】根据幂的乘方进行化简，再整理为指数相同的幂的乘法，根据积的乘方可得答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方，先观察式子的特点，化为指数相同的幂的乘法进行计算即可．
12．1089
【分析】将所求式子利用幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则变形为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：1089．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法，灵活运用法则变形是解题的关键．
13．
【分析】利用同底数幂的乘法的逆用法则，积的乘方的逆用法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用．熟练掌握其运算法则是解题关键．
14．3
【分析】根据积的乘方的运算法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，解答本题的关键是掌握积的乘方的运算法则．
15．(1)6
(2)108
【分析】（1）将代入计算可得；
（2）将代入计算可得．
【详解】（1）当时，
；
（2）当时，
．
【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘；积的乘方法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解答此题的关键．
16．(1)4
(2)3
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；
（2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：（1），
，
，
，
，
，
解得：，
的值为4．
（2）解：，
，
，
，
解得：，
的值为3．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
17．220 333300
【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案；
（2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1），
，
原式
，
故答案为：220；
（2），
，
原式
，
故答案为：333300．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键．
18．97
【分析】通过积的乘方法则、幂的乘方法则、同底数幂乘法的逆用将所求式子进行变形，再将，整体代入求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查已知式子的值求代数式的值，解题的关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则．
19．
【分析】设该正方体的棱长为cm，根据题意建立等量关系，再开立方即可求解．
【详解】解：设该正方体的棱长为cm，由题意得：
即
解得：
故：该正方体的棱长为．
【点睛】本题考查积的乘方的逆运算、立方根．根据实际问题建立等量关系是解题关键．
20．(1)
(2)8
【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；
（3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的简便运算，解题的关键是掌握有理数范围内依旧适用各个运算律，以及熟练运用同底数幂的运算法则．
21．（1）4；（2）；（3）5
【分析】（1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，可得答案；
（2）由（1）可得第次分形后所得图形的边数是，
（3）根据图形变化规律可得：第次分形后所得图形的边数是，边长为，由此得方程求解．
【详解】解：（1）等边三角形的边数为3，
第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
第三次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
，
故答案为：4，
（2）由（1）可知每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，
所以第次分形后所得图形的边数是，
故答案为：．
（3）第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，
，
所以第次分形后所得图形的边数是，边长为，所以周长为．
当周长为时，即：，
．
∴经过5次分形后得到了一个周长为的图形．
【点睛】此题考查图形的变化规律，解题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律．
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人教版八年级数学上册 14.1.3 积的乘方 导学案
【知识清单】
积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
【典型例题】
考点1：各的乘方运算
例1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则进行运算即可．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
考点2：积的乘方的逆用
例2．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．125
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法法则把原式变形，根据积的乘方法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法和积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．8
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知，，（ ）
A．10 B．20 C．40 D．50
10．计算的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： .
12．已知，则
13．计算： ．
14．计算：若，则 ．
三、解答题
15．已知：，
(1)求的值；
(2)求 的值．
16．若（且，m、n是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求a的值．
17．阅读材料，回答下列问题：
材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
即：．
材料二：等式成立
试求：（1） ．
（2） ．
18．已知为正整数，且，，求的值．
19．一个正方体，它的体积是棱长为2cm的正方体的体积的27倍，求这个正方体的棱长是多少？
20．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
21．2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．
【观察思考】
将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形。不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．
【规律总结】
（1）第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个的_________倍；
（2）试猜想第n次分形后所得图形的边数为_________（用含n的代数式表示）．
【问题解决】
（3）若该图①中等边三角形的边长为1，根据以上步骤进行操作，得到了一个周长为的图形，按此规律计算，要想得到此图形，需要经过多少次分形？
参考答案
1．D
【分析】接利用合并同类项法则以及幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则分析得出答案．
【详解】解：A、不能合并，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法是解题关键．
2．C
【分析】先把左右两边分别计算，再对应字母指数相等求值即可．
【详解】∵
∴，
∴，
解得，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查单项式的乘法，幂的综合运算，熟记同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】根据乘方法则及同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了乘方的法则及同底数幂的乘法法则，即负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，掌握相关运算法则是解题关键．
4．C
【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方法则计算，并判断即可．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．D
【分析】根据合并同类项，积的乘方，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：，错误，故A不符合要求；
，错误，故B不符合要求；
，错误，故C不符合要求；
，正确，故D符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方．解题的关键在于正确的运算．
6．B
【分析】根据积的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算计算即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方逆运算、同底数幂的乘法逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．C
【分析】利用积的乘方的逆用 灵活运用即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了积的乘方的逆用，灵活利用积的乘方的逆用是解题的关键．
8．D
【分析】根据积的乘方以及积的乘方的逆运算计算，即可求解．
【详解】解：原式
故选：D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方以及积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方以及积的乘方的逆运算法则是解题的关键．
9．B
【分析】逆用积的乘方和幂的乘方公式即可解答．
【详解】解：，，
,
,
,
,
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，灵活逆用积的乘方和幂的乘方是解答本题的关键．
10．B
【分析】利用积的乘方的逆用法则进行运算即可.
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】本题主要考查积的乘方的逆用，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
11．
【分析】根据幂的乘方进行化简，再整理为指数相同的幂的乘法，根据积的乘方可得答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方，先观察式子的特点，化为指数相同的幂的乘法进行计算即可．
12．1089
【分析】将所求式子利用幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则变形为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：1089．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法，灵活运用法则变形是解题的关键．
13．
【分析】利用同底数幂的乘法的逆用法则，积的乘方的逆用法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆用，积的乘方的逆用．熟练掌握其运算法则是解题关键．
14．3
【分析】根据积的乘方的运算法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，解答本题的关键是掌握积的乘方的运算法则．
15．(1)6
(2)108
【分析】（1）将代入计算可得；
（2）将代入计算可得．
【详解】（1）当时，
；
（2）当时，
．
【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘；积的乘方法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解答此题的关键．
16．(1)4
(2)3
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；
（2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：（1），
，
，
，
，
，
解得：，
的值为4．
（2）解：，
，
，
，
解得：，
的值为3．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
17．220 333300
【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案；
（2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1），
，
原式
，
故答案为：220；
（2），
，
原式
，
故答案为：333300．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键．
18．97
【分析】通过积的乘方法则、幂的乘方法则、同底数幂乘法的逆用将所求式子进行变形，再将，整体代入求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查已知式子的值求代数式的值，解题的关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则．
19．
【分析】设该正方体的棱长为cm，根据题意建立等量关系，再开立方即可求解．
【详解】解：设该正方体的棱长为cm，由题意得：
即
解得：
故：该正方体的棱长为．
【点睛】本题考查积的乘方的逆运算、立方根．根据实际问题建立等量关系是解题关键．
20．(1)
(2)8
【分析】（1）先将小数化为分数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；
（3）根据乘法结合律和积的乘方逆运算，先计算后两项乘积，再求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的简便运算，解题的关键是掌握有理数范围内依旧适用各个运算律，以及熟练运用同底数幂的运算法则．
21．（1）4；（2）；（3）5
【分析】（1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，可得答案；
（2）由（1）可得第次分形后所得图形的边数是，
（3）根据图形变化规律可得：第次分形后所得图形的边数是，边长为，由此得方程求解．
【详解】解：（1）等边三角形的边数为3，
第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
第三次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
，
故答案为：4，
（2）由（1）可知每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，
所以第次分形后所得图形的边数是，
故答案为：．
（3）第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，
，
所以第次分形后所得图形的边数是，边长为，所以周长为．
当周长为时，即：，
．
∴经过5次分形后得到了一个周长为的图形．
【点睛】此题考查图形的变化规律，解题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律．
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