北京市朝阳区名校2023-2024学年高一10月月考数学试题（含解析）

2023北京八十中高一10月月考
数 学
班级______ 姓名______ 考号______
（考试时间90分钟 满分100分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题共10题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A. 上课迟到的学生 B. 2023年高考数学难题
C. 所有有理数 D. 小于的正整数
2. 设集合，则下列四个关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 设集合中有个元素，则集合的非空真子集个数为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
4. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ②③⑥ D. ①③
6. 已知， ， 则是的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件
7. 存在量词命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 对于实数，，下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则，
9. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 设、、是两个两两不相等的正整数.若，则的最小值是（ ）
A. 2007 B. 1949 C. 1297 D. 1000
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 已知，，则的取值范围是________.
12. 集合，，若集合中有三个元素，则实数___________.
13. 已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围为__________．
14. 设，则函数的最大值为___________；此时的值是___________.
15. 某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为____________吨．
16. 对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．
甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；
乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；
丙：分别研究两个函数y1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1；
丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．
你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．
三、解答题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18. 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是.
19. 已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
20. 已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集．
（1）判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①；
②．
（2）若是的3元完美子集，求的最小值．
参考答案
一、选择题共10题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】B
【分析】由集合定义分别判断是否满足集合中元素的性质即可得出结论.
【详解】根据集合中元素的确定性可知，
“2023年高考数学难题”中的“难题”没有评判标准，不具备确定性，因此不能构成集合.
故选：B
2. 【答案】A
【分析】根据描述法表示集合的含义，由元素集合的关系，即可判断结论.
【详解】由题意知，集合表示所有不小于的实数组成的集合，
所有，是集合中的元素，故.
故选：A.
3. 【答案】B
【分析】依题意按照子集中的元素个数分类，找出规律即可得个元素的集合共有个子集，个非空真子集.
【详解】根据题意，按照子集中的元素个数分类可写出个子集，
则非空真子集即去掉空集和集合本身，
所以集合的非空真子集个数为个.
故选：B
4. 【答案】B
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B
5. 【答案】D
【分析】根据命题的定义即可求解.
【详解】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
故选：D
6. 【答案】A
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为 ，所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
7. 【答案】B
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】“”的否定是.
故选：B.
8. 【答案】D
【分析】通过不等式的性质一一验证即可.
【详解】对于选项A：若，当时，，故选项A错误；
对于选项B：若，可得，则，故选项B错误；
对于选项C：若，则，则，故选项C错误，
对于选项D：若，则，又，则，，故选项D正确；
故选：D.
9. 【答案】C
【分析】根据与之间的推出关系判断.
【详解】能推出，故必要性成立，
当时，取，则，不能推出，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C.
10. 【答案】C
【详解】不妨设，则.
因为为偶数，所以、、必为两奇一偶，从而，为奇数.
又因为，所以为不小于3的奇数.
若.则.故，且.
所以，不符合要求.
若，则.
故解得
此时，.
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 【答案】
【分析】由得到，相加后得到取值范围.
【详解】因为，
所以，
得.
故答案为：
12. 【答案】或
【分析】集合中有三个元素，则或，解方程并检验即可.
【详解】集合，，若集合中有三个元素，
则或，
若，解得，其中与元素互异性矛盾舍去，满足题意；
若，解得或，舍去，满足题意，
所以或.
故答案为：或
13. 【答案】
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分条件得到集合的包含关系，即可得解.
【详解】由，即，解得，
记，，
因为是的充分条件，所以，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：
14. 【答案】 ①. ②. 2
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，
所以函数，
当且仅当即时，等号成立，
所以函数的最大值为；此时的值是2，
故答案为：；2
15. 【答案】400
【分析】根据条件得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设每吨的平均处理成本为元，
由题意可得，其中.
由基本不等式可得：，
当且仅当，即时，每吨的平均处理成本最低．
故答案为：400.
16. 【答案】##1.5
【分析】题意可以选择丙同学的想法对两个函数分开进行分、和三种情况情况讨论，从而可得到答案．
【详解】解：可以选择丙同学的想法．
对于函数，
①当时，由于当时，，因此在上恒成立，
若，恒成立，
则在上亦恒小于或等于0，显然不可能成立；
②当时，对于函数在上，
在，上恒成立；
若，恒成立，
因此在上，在，上恒成立，
即当时，，即，，或（舍去）．
检验：当时，原不等式可化为，．即，，
又，所以恒成立，因此时，符合题意．
③当时，易知不符合题意，
综上所述：.
故答案为：.
三、解答题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 【答案】（1）或
（2）
【分析】（1）由题意可得，解一元二次不等式求出集合，再根据集合的交集运算即可求出结果;
（2）因为，所以，所以，由此即可求出结果.
【小问1详解】
解：当时，集合
集合或；
所以或.
【小问2详解】
解：因为，所以，
所以，即.
18. 【答案】证明见解析
【分析】先由梯形为等腰梯形，证明，验证必要性；再由证明梯形 为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立.
【详解】证明：（1）必要性.
在等腰梯形中，，，
又∵，∴，∴ .
（2）充分性.
如图，过点作，交的延长线于点E.
∵，，∴四边形是平行四边形.∴ .
∵，∴，∴.
又∵，∴，∴ .
在和中，
∴.∴.
∴梯形为等腰梯形.
由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是.
【点睛】本题主要考查充要条件的证明，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
19.【答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程，解方程得到，然后求即可；
（2）分、和三种情况解不等式即可.
【小问1详解】
由题意可知，关于的不等式的解集为，
所以关于的方程的两个根为1和2，
所以，解得，
则．
【小问2详解】
由条件可知，，即，
当时，解得或；
当时，解得；
当时，解得或．
综上可知，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
20. 【答案】（1）不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由见解析
（2）
【分析】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义；
（2）分别设，，以及时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值，
即可求解.
【小问1详解】
①因为，且，
所以不是的3元完美子集；
②因为，且，
而，
是的3元完美子集．
【小问2详解】
不妨设．
若，则，且，
则集合的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾；
若，则，而，符合题意，
此时，即,
此时．
若，则，于是，，若存在3元完美子集，
则或，即，所以．
综上，的最小值是12．
【点睛】关键点点睛：本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解3元完美子集的定义.