人教版 八年级数学上册 12.3 第1课时 角的平分线的性质 同步课件（31张PPT）

(共31张PPT)
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点）
2.探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）
3.能运用角平分线的性质解决简单的几何问题. （重点）
4.初步体验如何将文字语言转化成数学语言.
新课导入
复习引入
1.什么是点到直线的距离？
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
如图， 就是点O到直线AB的距离.
O
A
B
C
OC的长
新课导入
复习引入
2.角平分线的概念是什么？
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
A
B
C
如图，OC是∠AOB的平分线.
∠AOC=∠BOC= ∠AOB.
新课导入
复习引入
3.什么叫做三角形的角平分线？
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.如图，AD就是△ABC的角平分线.
新课导入
复习引入
4.在纸上画一个角，怎样能得到这个角的平分线？
方法一：用量角器度量；
方法二：将角对折，使其两边重合.折痕即为这个角的平分线．　　
你还有其他的方法吗？
新知探究
思考 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
根据SSS可证△ADC≌△ABC.
∵全等三角形的对应角相等，∴∠DAC=∠BAC.
∵点C在射线AE上，∴AE是这个角的平分线.
A
D
B
C
E
知识点1 尺规作角平分线
新知探究
根据平分角的仪器的原理，你能用圆规和直尺画出已知角的平分线吗？
提示：
(1)在平分角的仪器中，AD=AB，怎样在作图中体现这个过程呢？
(2)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
知识点1 尺规作角平分线
A
D
B
C
E
新知探究
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
A
B
M
N
C
O
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
知识点1 尺规作角平分线
（2）分别以点M，N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
作角平分线是最基本的尺规作图,一定要掌握!
新知探究
（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
（2）“以大于 MN的长为半径画弧”是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 MN的长为半径画弧时不容易操作.
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的
射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为
连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
知识点1 尺规作角平分线
新知探究
知识点2 角的平分线的性质
经过测量发现，PD=PE.
思考 (1)如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？
猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
B
A
D
O
P
E
C
(2)在OC上再取几个点试一试.
仍能得到同样的结论.
新知探究
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE.
验证猜想
B
A
D
O
P
E
C
知识点2 角的平分线的性质
新知探究
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
知识点2 角的平分线的性质
新知探究
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
该性质定理的几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD=PE.
B
A
D
O
P
E
C
知识点2 角的平分线的性质
角平分线上的点
P到OA的距离
P到OB的距离
新知探究
（1）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再证三角形.
（2）使用该性质定理的前提条件是图中有平分线，点在该平分线上，有垂直，三者缺一不可.
知识点2 角的平分线的性质
跟踪训练
新知探究
1.判断下列结论是否成立，不成立的请说明原因.
①如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA、OB上的点，则PD=PE.（ ）
因为PD不垂直OA，PE不垂直OB，即PD，PE不是角平分线上的点到角两边的距离.
不成立
O
B
A
C
P
D
E
跟踪训练
新知探究
②如图，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE.（ ）
O
B
A
C
P
D
E
┐
┐
不成立
因为OC不是∠AOB的平分线.
跟踪训练
新知探究
③如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3.（ ）
O
B
A
C
P
D
┐
成立
跟踪训练
新知探究
2.如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=______cm.
4
M
B
A
C
P
D
┐
┐
E
存在两条垂线段，可直接应用角平分线的性质定理
跟踪训练
新知探究
3. 如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝2，则点D到AC的距离是　 　．
2
存在一条垂线段，则过角平分线上一点向另一边构造垂线段
课堂小结
角平分线的性质
尺规作角平分线
内容
属于基本作图，必须熟练掌握
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
常见辅助线的添加
性质定理
过角平分线上一点向两边作垂线段
证明几何命题
课堂训练
1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（ ）
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
B
B
A
D
O
P
C
课堂训练
2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
课堂训练
3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
E
B
【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E.
又BD平分∠ABC，∠A＝90°，
∴DE＝AD＝3，
∴△BCD的面积＝ ×5×3＝7.5．
故选B．
课堂训练
4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　 　．
2.4
【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝1.6，
∴CD＝1.6，
∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．
故答案为2.4.
课堂训练
5.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,E、D为垂足，CF=CB.
求证: BE=FD.
证明：∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CD⊥AD,∴CD=CE,
在Rt△CBE和Rt△CFD中,
CB=CF，
CE=CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL).
∴BE=FD.
课堂训练
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，
DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，求△DEB的周长.
解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
AD=AD，
DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE.∵AC=BC，∴AE=BC， ∴△DEB的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=8cm.
找出题中的相等线段进行等量代换是解题的关键.
课堂训练
7.如图, CD是△ABC的角平分线, DE⊥BC,垂足为E,AC=4,BC=10,
S△ABC=14 ,求DE的长.
解:如图，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F.
F
又CD是△ABC的角平分线, DE⊥BC ,∴DE=DF.
∵S△BCD+S△ACD=S△ABC,
∴ BC×DE+ AC×DF=14，∴ ×10×DE+ ×4×DE=14,
即5DE+2DE=14,解得DE=2.
课堂训练
8.求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等.
已知:如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.
证明：∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°.
课堂训练
已知:如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.
在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF.
课堂训练
9.已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
A
B
O
C
解：射线OC即为所求.