人教版 八年级数学上册 12.3 第2课时 角的平分线的判定（29张PPT）

(共29张PPT)
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线的判定
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.探究并证明角的平分线的判定定理.（难点）
2.会判断一个点是否在一个角的平分线上.（重点）
新课导入
复习引入
怎样用文字语言和几何语言叙述角平分线的性质定理？
文字语言：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD=PE.
B
A
D
O
P
E
C
新知探究
思考 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）
S
知识点1 角的平分线的判定
新知探究
验证猜想 按照上节课学过的证明命题的步骤，验证一下你的猜想吧！
知识点1 角的平分线的判定
猜想 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
问题 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
新知探究
如图，P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线OC上.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD，
PO=PO，
∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
B
A
D
O
P
E
C
知识点1 角的平分线的判定
新知探究
角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
该性质定理的几何语言：
∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
B
A
D
O
P
E
C
知识点1 角的平分线的判定
新知探究
（1）前提条件：使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部，且该点到角两边的距离相等；
（2）定理的作用：角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.
知识点1 角的平分线的判定
新知探究
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20000）
解：如图，作出公路和铁路相交的角的平分线OC，按照比例尺的比例，在OC上截取OD=2.5cm.点D的位置即为建集贸市场的位置.
D
C
S
O
知识点1 角的平分线的判定
根据角平分线的判定定理，你知道集贸市场应该建于何处了吗？
新知探究
S
知识点1 角的平分线的判定
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到两条公路和铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？
该做几条角平分线呢？
我们发现：三角形三个内角的角平分线交于 点，该交点位于三角形的 部.
新知探究
知识点2 三角形的内角平分线
操作1 分别画出锐角、直角和钝角三角形的三个内角的平分线.
一
内
┐
A
A
B
B
C
C
A
B
C
新知探究
知识点2 三角形的内角平分线
我们发现：过交点作三角形三边的垂线段 .
操作2 过交点分别作这三个三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段的长度，你发现了什么？
相等
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
A
B
C
A
B
B
C
A
C
新知探究
知识点2 三角形的内角平分线
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
验证结论
新知探究
知识点2 三角形的内角平分线
D
E
F
A
B
C
P
N
M
点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
由PD=PF可知，点P在∠A的平分线上.从而也验证了“三角形的三条角平分线交于一点”这一结论.
新知探究
知识点3 角的平分线的性质定理与判定定理的关系
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
已知 条件
结论
B
A
D
O
P
E
C
∠1=∠2
PD⊥OA，PE⊥OB
PD=PE
PD⊥OA，PE⊥OB
PD=PE
1
2
∠1=∠2
新知探究
知识点3 角的平分线的性质定理与判定定理的关系
点在角的平分线上
（角的内部）点到角
的两边的距离相等
性质定理
判定定理
正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
跟踪训练
新知探究
1.判断，不正确的请说明原因.
①如图，若PD=PE，则OC平分∠AOB.（ ）
因为PD不垂直OA，PE不垂直OB，即PD，PE均不是角平分线上的点到角两边的距离.
×
O
B
A
C
P
D
E
跟踪训练
新知探究
②如图，若点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则OC平分∠AOB.（ ）
O
B
A
C
P
D
E
┐
┐
×
因为没有说明PD与PE的等量关系，只有PD=PE时，OC才平分∠AOB.
跟踪训练
新知探究
③如图，若点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，则OC平分∠AOB.（ ）
√
O
B
A
C
P
D
E
┐
┐
课堂小结
角平分线的判定
角平分线的性质定理与判定定理的关系
内容
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
作用
判定定理
判定点在平分线上（判定两角相等）
三角形的三条角平分线
交于一点，且该点到三角形三边的距离相等
课堂训练
1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③点P在∠BAC的平分线上.其中说法正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
D
C
A
E
B
D
F
P
┐
┐
课堂训练
2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
【分析】点O到△ABC三边的距离相等，根据“角的平分线的判定” OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，根据“角的平分线的性质” ∠OBC=∠OBA，∠OCB=∠OCA，根据“三角形内角和定理” 转化为∠BAC和∠BOC的关系.
课堂训练
3.如图, 已知D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.
解:如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴ BF DM= CE DN，∵CE=BF,
∴DM=DN,∴AD平分∠BAC.
M
N
课堂训练
4.（教材P51，T2变式）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB, DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90 °.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴AD平分∠BAC.
∵D是BC的中点，
∴DE=DF.
∴BD=CD.
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∠DEB=∠DFC，
又DE⊥AB, DF⊥AC，
课堂训练
5.（教材P51，T4变式）如图，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵点D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠EPD＝∠DPF．
又∵PE∥AB，∴∠EPD＝∠BAD．
同理，∠DPF＝∠CAD．
∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
P
课堂训练
6.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
解：如图，作∠AOB的平分线OD，OD与MN的交点即为超市的位置P.
D
课堂训练
证明：∵∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠B=∠EDC.
∵CE⊥AD，CF⊥AB，∴∠CED=∠CFB=90°.
∵在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED，
∠B=∠EDC，
BC=DC，
∴△BCF≌△DCE（AAS）.∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
7.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
┐
课堂训练
M
E
N
A
B
C
P
O
D
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;
AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,已知OM＝4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，ON⊥BC于点N.
∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的垂线段相等，
∴OM＝OE=ON=4，∴OM+OE+ON=12，即点O到△ABC三边的距离和为12.
课堂训练
M
E
N
A
B
C
P
O
D
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;
AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,已知OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：如图，连接OC.
S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB
= AC OM+ BC ON+ AB OE
= （AC+BC+AB） OM= ×32×4=64.