初中数学人教版八上 13.4课题学习 最短路径问题 同步课件（47张PPT）

(共47张PPT)
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.能利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.（难点）
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想．（重点）
新课导入
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？
A
B
①
②
③
②最短，依据“两点之间，线段最短”
新课导入
复习引入
2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，依据“垂线段最短”
新课导入
复习引入
3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？
AC=BC.
依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.
A
B
l
C
新课导入
复习引入
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；
l
A

A′
┐
O
（2）在垂线上截取OA′=OA.
点A′就是点A关于直线l的对称点.

可简记为：作垂线；取等长
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
引例 如图，若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
A
l
B
你找到的是哪个点？
依据：“两点之间，线段最短”.
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
引例 若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
A
l
B
C
作法：连接AB,与直线l相交于一点C.
点C即为所求作的点.
新知探究
问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
知识点1 牧人饮马问题
实际问题
数学问题
？转化？
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
A
B
l
C
A
B
l
把河边l近似地看成一条直线
问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题：
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？
A
l
B
你找到的是哪个点？
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
A
B
l
B
B′
C
A
l
B
C
引例
分析：如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题.
A、B同侧
A、B异侧
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
A
B
l
作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB.
B′
C
问题转化二:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小.
怎样找到满足条件的点B′？
在连接A，B′两点的线中，线段AB′最短.因此线段AB′与直线l的交点的位置即为所求.
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
A
B
l
B′
C
怎样证明点C的位置即为所求？
作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′;
点C即为所求作的点.
（2）连接AB′,交直线l于点C.
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
A
B
l
在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B.
B′
C
C′
你能完成这个证明吗？
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
A
B
l
B′
C
C′
由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC=AC +B′C=AB′，
∴AC′+BC′=AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
（1）定直线l ；
利用”牧人饮马“模型解决最值问题的应符合的条件
A
B
l
（2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧;
（3）所求作的动点C在直线l 上.
C
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
（1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）；
（2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′）；
解决”牧人饮马“问题的步骤
A
B
l
B′
C′
C
（3）交：连线与直线l 的交点（C′）所在的位置即为所求作的点（C）.
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
B
E
B
E
F
B
E
F
F
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
B
F
【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.
即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
新知探究
知识点1 牧人饮马问题
思考：作点E关于AD的对称点可以吗？为什么不选择这个方法？
新知探究
知识点2 造桥选址问题
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
新知探究
知识点2 造桥选址问题
B
A
M
N
问题转化一：该实际问题就转化为这样的数学问题：
N为直线b上一点，且NM⊥直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小.
a
b
新知探究
知识点2 造桥选址问题
B
A
你找到的是哪个点？
问题转化二：由于河岸的宽度MN是
固定的，这样问题就转化为：当点
N在直线b的什么位置时，AM+NB最小.
a
b
新知探究
知识点2 造桥选址问题
B
A
M
N
a
b
A
l
B
C
引例
分析：如果我们能把两条直线转化成一条直线，就能把这个问题转化成“引例”的问题了.
两条直线
一条直线
新知探究
知识点2 造桥选址问题
B
N
A
M
a
b
N
a
A
M
转化成了引例中的模型
该折线即为最短路径
新知探究
知识点2 造桥选址问题
B
A
M
a
b
N
A′
作法：（1）平移点A到点A′，使AA′等于河宽;
点M和点N的位置即为造桥的位置.
（2）连接A′B,A′B与直线b的交点，即为所求作的点N；
（3）过点N作NM⊥直线a于点M.
怎样证明造桥位置的正确性呢？
新知探究
知识点2 造桥选址问题
B
A
M
a
b
N
A′
M′
N′
在直线b上另外任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.
你能完成这个证明吗？
新知探究
知识点2 造桥选址问题
B
A
M
a
b
N
A′
M′
N′
分析：要证AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B
AM+NB＜AM′+N′B
A′N+NB＜A′N′+N′B
根据两点之间线段最短即可求证.
A′B＜A′N′+N′B
新知探究
（1）一移；
（2）二连；
解决”造桥选址“问题的步骤
（3）三交；
知识点2 造桥选址问题
B
A
M
a
b
N
A′
（4）四垂直.
新知探究
知识点2 造桥选址问题
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把未知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
课堂小结
最短路径问题
牧人饮马问题
步骤：找，连，交.
造桥选址问题
步骤：移，连，交，垂直.
原理
两点之间，线段最短.
课堂训练
1.如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）
A.转化思想
B.三角形两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
A
B
l
C
B′
D
课堂训练
2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
D
课堂训练
3.如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1，-3),在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为( )
A. (2,0) B . (-2,0) C. (0,2) D. (0，-2)
【解析】如图，作B点关于y轴的对称点B',连接AB',交y轴于一点，该点即为所求的点P.过点A作x轴的垂线，交B'B的延长线于点C，则∠C=90°，设BB'交y轴于点D,则OD=|-3|=3.
B'
P
C
D
课堂训练
3.如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1，-3),在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为( )
A. (2,0) B . (-2,0) C. (0,2) D. (0，-2)
D
∵点B坐标为(1，-3) ,∴B'(-1 ,-3 ) .
∵易得B'C=1+4=5,AC=2=3=5 ,∴B'C=AC.
∴∠B'=45°.∴PD=B'D=1.
∴OP=2 ,∴P (0,-2 ).故选D.
B'
P
C
D
课堂训练
4.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
1000
A
C
D
B
E
A′
.
河
【解析】延长AC至点A′，使得A′C=AC，连接A′B交CD于点E，连接AE，则E即为所求的点.
易得A′C=AC=BD，又AC⊥CD，BD⊥CD，∠A′EC
=∠BED.∴△A′CE≌△BDE（AAS），则E是CD的
中点，∴AE=500，所以AE+BE=500+500=1000.
课堂训练
5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　 　．
【解析】如图，连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，
BC=10，∴CD=5，AD⊥BC，∴S△ABC＝BC AD÷2
＝10×AD÷2＝40，解得AD＝8.
课堂训练
5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　 　．
13
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，∵MC+MD＝MA+MD≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长的最小值＝AD+CD＝8+5＝13．故答案为13．
课堂训练
6.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.
课堂训练
方法一：解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.
C′
E
方法二：解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.
D′
课堂训练
7.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D′
C
C′
E
E′
B
G
F
E
E′
D
D′
解：（1）作AF⊥CD,且AF=河宽；
（2）作BG⊥CE，且BG=河宽；
（3）连接GF,与河岸相交于E ′,D′；
（4）作DD′,EE′即为桥.
课堂训练
8.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．
A
B
C
D
C'
P
图①
课堂训练
8.（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．
P
O
A
B
P'
P''
E
F
图②
课堂训练
8.（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．
N
O
A
B
M
M'
N'
E
F
图③
课堂训练
【变式】如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　．
课堂训练
【解析】如图，作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'A''，A'A''与BC的交点即为所求的点M，A'A''与ED的交点即为所求的点N.
A''
A'
M
N
∵∠B=∠E=90°，∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，∴∠A'=∠A'AM，∠A''=∠NAE，∴∠A'AM+∠NAE=∠A''+∠A'=180°﹣∠BAE=180°﹣120°=∠60°，∴∠AMN+∠ANM=180°﹣∠MAN=180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）=120°，故答案为120°．