初中数学人教版八上 14.2.1平方差公式 同步课件（29张PPT）

(共29张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解并掌握平方差公式及其结构特征.（重点）
2.理解平方差公式的探索及推导过程，灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）
新课导入
复习引入
多项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 另一个多项式的每一项，再把所得的积 .
符号表示：(a+b)(p+q)= （a，b，p，q分别是单项式）.
乘
相加
ap+aq+bp+bq
新课导入
复习引入
+
+
+
多项式与多项式相乘的步骤
(1)用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项；
(2)把各乘积相加；
(3)有同类项的要合并同类项；
(4)通常把结果整理成按某一字母的降幂排列.
新知探究
知识点 平方差公式
①(x＋1)(x－1)= ；
②(m＋2)(m－2)= ；
③(2x＋1)(2x－1)= .
x2-1
m2-4
4x2-1
相乘的两个多项式都是二项式，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
观察：（1）相乘的两个多项式有什么特点？
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
新知探究
知识点 平方差公式
①(x＋1)(x－1)= ；
②(m＋2)(m－2)= ；
③(2x＋1)(2x－1)= .
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
x2-1
m2-4
4x2-1
积为相同项的平方减去相反数的项的平方
观察：（2）积有什么特点？
x2-12
m2-22
(2m)2-12
新知探究
知识点 平方差公式
你能用字母表示出这样的等式吗？
(a+b)(a-b)=a2-b2
相同为a
相反为b，-b
新知探究
知识点 平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2
=a2-b2.
推导方法一：用多项式乘多项式推导
怎样验证等式的正确性呢？
新知探究
知识点 平方差公式
a
b
①
解：蓝色阴影部分的面积=原大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2.
推导方法二：借助几何图形推导
如图①，在边长为a的大正方形中截去一个边长为b的小正方形.
(1)求图中蓝色阴影部分的面积.
面积为 .
宽为 ，
这个大长方形的长为 ，
新知探究
知识点 平方差公式
a
b
(2)将蓝色阴影部分通过剪拼，组合成一个大长方形，如图②，则
a+b
a-b
（a+b）（a-b）
②
新知探究
知识点 平方差公式
(3)面积变了吗？从中你得到了什么等式？
解：面积没有改变，
∴（a+b）（a-b）=a2-b2.
新知探究
知识点 平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
新知探究
知识点 平方差公式
(a+b)(a-b) =a2-b2.
平方差公式的特点：
(1) 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同（a），另一项互为相反数（b和-b）；
(2) 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方（a2）减去相反项的平方（b2）.
新知探究
知识点 平方差公式
平方差公式计算的示例：
a
b
b2
a2
(4x+3)(4x-3)=(4x)2-32=16x2-9.
化简
相减
新知探究
变化形式 应用举例
①位置变化
②符号变化
③系数变化
④指数变化
(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2
(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2
(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
平方差公式的变形与应用
知识点 平方差公式
新知探究
变化形式 应用举例
⑤增项变化
⑥连用公式变化
⑦逆用公式变化
(a+b+c)(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2
a2-b2=(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4
知识点 平方差公式
新知探究
原式 化为(a-b)(a+b)的形式 a b a2-b2
(-x+y)(x+y)
(m-2)(2+m)
(-0.1-y)(-0.1+y)
(3m-n)(-3m-n)
0.01-y2
n2-9m2
m2-4
y2-x2
y
x
m
2
y
-0.1
-n
3m
填一填：下列各式中，想要套用平方差公式，谁是a？谁是b？
知识点 平方差公式
(y+x)(y-x)
(m+2)(m-2)
(-0.1+y)(-0.1-y)
(-n+3m)(-n-3m)
新知探究
知识点 平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2) ; (2) (-x+2y)(-x-2y) .
解：(1) (3x+2)(3x-2)
=(3x)2-22
=9x2-4；
(2) (-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2-(2y)2
=x2-4y2 .
分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b.
新知探究
知识点 平方差公式
例2 计算:
(1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) ；
解:(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= -4y + 1.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
新知探究
知识点 平方差公式
(2) 102×98 .
解: 102×98
= 1002-22
=10000 - 4
=（100+2）(100-2)
=9996.
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
新知探究
跟踪训练
=4a2-9；
=y2-4x4.
解：原式=(2a+3)(2a-3)
=(2a)2-32
解：原式=(-y-2x2)(-y+2x2)
（1）(3+2a)(-3+2a)；
计算:
（2）(-2x2-y)(2x2-y).
=(-y)2-(2x2 )2
新知探究
运用平方差公式进行计算时，应注意：
(1) 平方差公式中的字母a，b可以是具体数，也可以是单项式或是多项式；
(2) 在运用公式时，要分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b，不要混淆；
(3) 有时需进行适当变形，使符合这个公式的结构特征.
课堂小结
平方差公式
符号表示
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
内容
(a+b)(a-b)=a2-b2.
注意事项
常见变形
(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2
(a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2
a2-b2=(a+b)(a-b)
课堂训练
2.下列式子中，能用平方差公式计算的是(　　)
A．(x+y)(x+y) B．(-x+y)(x-y)
C．(-x-y)(y-x) D．(x+y)(-x-y)
C
1. (3+2y)(3-2y)=（　　）
A．9+4y2 B．9-4y2 C．9+2y2 D．9-2y2
B
3.如图，将一个边长为a的正方形减去一个边长为b的小正方形，将剩余部分对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到（　　）
A．a2-b2=（a-b）2 B．a2-b2=（a+b）2
C．a2-b2=a（a+b） D．a2-b2=（a+b）（a-b）
课堂训练
D
【解析】第一个图中阴影部分的面积为a2-b2，第二个图中阴影部分的面积为 （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），根据面积相等,得a2-b2=（a+b）（a-b）．故选D．
课堂训练
4.（-x-2y）（-x+2y）= ．
x2-4y2
-6
【解析】x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为-6．
5. 若x、y满足 则代数式x2-4y2的值为 ．
课堂训练
6.计算:
(1)(3x+2)(3x-2)-(2x+3)(2x-3)；
解:(1)原式=(3x)2-22-[(2x)2-32]
=9x2-4-(4x2-9)
=5x2+5.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
（2)原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=（x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8.
课堂训练
解：原式=x2-4-（x2-x）
=x2-4-x2+x
7. 先化简，再求值：(x+2)(x-2)-x(x-1)，其中x= .
将x= 代入上式，得
=x-4.
原式= -4= .
课堂训练
8.计算下列式子：
(1)10.3×9.7; (2)2020×2022-20212 .
解：(1) 10.3×9.7
=(10+0.3) (10-0.3)
=102-0.32
=100-0.09
=99.91;
(2) 2020×2022-20212
=(2021-1)(2021+1)-20212
=20212-1-20212
=-1.