初中数学人教版八上 14.3.2第2课时运用完全平方公式分解因式 同步课件（28张PPT）

(共28张PPT)
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式分解因式
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.探索并运用完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）
2.能灵活运用各种方法进行因式分解．（难点）
新课导入
复习引入
①提公因式法分解因式；
②运用平方差公式分解因式：a2-b2=(a+b)(a-b)
我们已经学过的因式分解的方法有哪些？
新课导入
复习引入
练一练
分解因式：
(1) 3a2-9ab= ；
(2) x2-4y2= ；
(3)a4-16= ；
(4)x3y-xy= ．
（a2+4）（a+2）（a-2）
（x+2y）（x-2y）
3a（a-3b）
xy（x+1）（x-1）
新知探究
(a+b)2=a2+2ab+b2
（2）完全平方公式的符号表达形式：
(a-b)2=a2-2ab+b2
问题 （1）我们学过的乘法公式有：
平方差公式和 .
完全平方公式
知识点 运用完全平方公式分解因式
把上边的两个式子反过来：
（1） = 2-2 + 2=(x+4)2;
（2） =( )2-2 +( )2=(2a-3b)2.
新知探究
运用完全平方公式填空:
（1）(x+4)2= 2-2 + 2= ;
（2）(2a-3b)2=( )2-2 +( )2= .
x2+8x+16
4a2-12ab+9b2
2a
3b
x2+8x+16
4a2-12ab+9b2
2a
3b
2a
3b
x
x
4
4
x
x
4
4
2a
3b
知识点 运用完全平方公式分解因式
把上边的两个式子反过来：
（1） = 2-2 + 2=(x+4)2;
（2） =( )2-2 +( )2=(2a-3b)2.
新知探究
左边是多项式
右边是整式的积
是因式分解
4a2-12ab+9b2
2a
3b
x2+8x+16
x
x
4
4
2a
3b
知识点 运用完全平方公式分解因式
新知探究
思考 （1）你能将a2+2ab+b2和a2-2ab+b2分解因式吗？
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，即
(a+b)2 a2+2ab+b2
因式分解
整式乘法
(a-b)2 a2-2ab+b2
因式分解
整式乘法
知识点 运用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于
这两个数的和（或差）的平方.
新知探究
我们就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.
知识点 运用完全平方公式分解因式
新知探究
（2）多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2有什么特点？
①每个多项式有几项？
③中间项和第一项，第三项有什么关系？
②每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
我们把这样的式子叫做完全平方式
知识点 运用完全平方公式分解因式
新知探究
完全平方式：a2±2ab+b2
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两项可写成两个数（或式）的平方，且这两项的符号相同；
3.另一项是这两个数（或式）之积的±2倍.
具备以上特点（简记为“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”）的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
知识点 运用完全平方公式分解因式
新知探究
例1 下列多项式中，是完全平方式的有 .不是的请说明原因.
①a2-4a+4；②1+4a ；③-4b2-4b-1；④a2+ab+b2；⑤x2+x+0.25.
①③⑤
②不是完全平方式，因为只有两项；
④不是完全平方式，因为ab不是a与b的积的2倍.
知识点 运用完全平方公式分解因式
新知探究
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3 ,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 +24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 + 32.
+2
·a
·b
+b2
a2
解： (1)16x2+24x+9
= (4x+3)2；
= (4x)2 +2·4x·3+32
知识点 运用完全平方公式分解因式
新知探究
知识点 运用完全平方公式分解因式
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为
-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.
解： (2)-x2+4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
=-[x2 -2·x·2y+(2y)2]
新知探究
知识点 运用完全平方公式分解因式
例3 分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2 ； （2）(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36.
解: (1)3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
(2)(a+b)2-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
新知探究
知识点 运用完全平方公式分解因式
可以看出，如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
新知探究
知识点 运用完全平方公式分解因式
分解因式的方法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
a2-2ab+b2=(a-b)2
公式法
提公因式法
a2+2ab+b2=(a+b)2
至此，我们学习过的分解因式的方法可总结如下：
新知探究
知识点 运用完全平方公式分解因式
因式分解的一般步骤
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
新知探究
跟踪训练
1.将下列多项式因式分解，结果中不含因式x-1的是（　　）
A．x（x-3）+（3-x） B．x2-1
C．x2-2x+1 D．x2+2x+1
D
【解析】A选项，原式=x（x-3）-（x-3）=（x-3）（x-1）；
B选项，原式=（x+1）（x-1）；C选项，原式=（x-1）2；
D选项，原式=（x+1）2；故选D．
新知探究
跟踪训练
2.多项式2x3-4x2+2x因式分解为（　　）
A．2x（x-1）2 B．2x（x+1）2
C．x（2x-1）2 D．x（2x+1）2
A
课堂小结
运用完全平方公式分解因式
运用条件
因式分解的步骤
a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
公式
符合“完全平方式”形式的多项式
一提：有公因式要先提公因式；
二套：之后能用公式法的套用公式；
三彻底：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
课堂训练
1.下列因式分解正确的是（　　）
A．2x2-2=2（x2-1） B．-x2-y2=-（x+y）（x-y）
C．x2-2xy+4y2=（x-2y）2 D．-x2-2xy-y2=-（x+y）2
D
（x-1）2
（3x+1）2
3（a+2）2
2.因式分解：
(1)x2-2x+1=　 　;
(2)9x2+6x+1= ;
(3)3a2+12a+12= ;
(4) = .
3．在横线上填入适当的数或单项式：
（1）9a2– +b2=( –b) 2;
（2）x4+4x2+ =(x+ ) 2;
（3）p2–3p+ =(p– ) 2;
（4）25a2+40a+ =(5a+ ) 2.
课堂训练
6ab
4
2
16
3a
4
课堂训练
4.(1）若多项式x2+x+n是完全平方公式，则常数n是　　 ;
（2）若4x2-kx+9是完全平方式，则实数k的值为　 　.
±12
5.已知xy=2，x-3y=3，则2x3y-12x2y2+18xy3= .
36
【解析】2x3y-12x2y2+18xy3=2xy（x2-6xy+9y2）=2xy（x-3y）2，
∵xy=2，x-3y=3，∴2x3y-12x2y2+18xy3=2×2×32=36.
故答案为36．
课堂训练
6.计算：1.22+2×1.2×6.7+6.72-2.12.
解：原式=（1.22+2×1.2×6.7+6.72）-2.12
=（1.2+6.7）2-2.12
=7.92-2.12
=（7.9+2.1）（7.9-2.1）
=10×5.8
=58．
课堂训练
7.分解因式：
(1)-m2-m- ; (2)x2+2x(x+y)+(x+y)2;
(3)(a-1)+a2(1-a); (4)(a2+4)2-16a2.
(2)原式=（x+x+y）2
=（2x+y）2 ;
解：(1)原式=-（m2+m+ ）
=-（m+ ）2;
课堂训练
7.分解因式：
(1)-m2-m- ; (2)x2+2x(x+y)+(x+y)2;
(3)(a-1)+a2(1-a); (4)(a2+4)2-16a2.
(3)原式=(a-1)-a2(a-1)
=(a-1)(1-a2)
=(a-1)(1-a)(1+a)
=-(a-1)2(a+1);
(4)原式=(a2+4)2-(4a)2
=(a2+4+4a)(a2+4-4a)
=(a+2)2(a-2)2．
课堂训练
8. 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，
(a-b)2+(b-c)2=0，
∴a-b=0，b-c=0，∴a=b=c，
a2+b2+b2+c2-2ab-2bc=0，
（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）=0，