浙江省台州市玉环市玉城中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题
一、选择题(10×3′,共30分)
1.(2023高一上·玉环开学考)下列计算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.
C.(x2)3=x6 D.(2x)3= 6x3
2.(2023高一上·玉环开学考)三个大小一样的正方体按如图摆放,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
3.(2023高一上·玉环开学考)如图,点 , , , 均在以点 为圆心的圆 上,连接 , 及顺次连接 , , , 得到四边形 ,若 , ,则 的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
4.(2023高一下·宝山期末)如果,那么下列式子中一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.(2023高一上·玉环开学考)已知集合U= ,,,则=( )
A. B.
C. D.
6.(2023高一上·玉环开学考)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,△DEF的面积等于3,则此正方形ABCD的面积等于( )
A.6 B.12 C.16 D.18
7.(2023高一上·玉环开学考)如图,的直角顶点O为坐标原点,点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,交y轴于点C,则k的值为( )
A. B. C. D.
8.(2023高一上·玉环开学考)使不等式(2x+1)(x-3)≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.X∈ D.
9.(2021高一上·兰州期末)若关于的一元二次不等式的解集为,则实数的取值范围是( )
A.或 B.
C.或 D.
10.(2023高一上·玉环开学考)如图,正方形的边长为,点P,Q同时从点A出发,速度均为,若点P沿向点C运动,点Q沿向点C运动,则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(6×3′,共18分)
11.(2023高一上·玉环开学考)二次函数y=2x2-3x+5在-2≤x≤2上的最大值是 .
12.(2023高一上·玉环开学考)如图,在正方形中,,点,分别在边,上,.若将四边形沿折叠,点恰好落在边上点处,则的长度为
13.(2023高一上·玉环开学考)如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍,等于与它不相邻的一个内角的2倍,则此三角形最小内角的度数是 .
14.(2023高一上·玉环开学考)关于x的方程 有两个不相等的实数根,则 的取值范围是 .
15.(2023高一上·玉环开学考)如图,正方形的边长为1,的平分线交于点E.若点P,Q分别是和上的动点,则的最小值是 .
16.(2022·吉林模拟)已知,则的最小值是 .
三、解答题
17.(2023高一上·玉环开学考)
(1)计算(a+b)(a -ab+b )-(a+b)
(2)分解因式①②2ax-10ay+5by-bx
18.(2023高一上·玉环开学考)某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图(每组数据含最小值,不含最大值),已知从左至右前四组的频率依次为0.05,0.10,0.25,0.35,结合该图提供的信息回答下列问题:
(1)抽取的学生人数共有 人,体重不低于58千克的学生有 人;
(2)这部分学生体重的中位数落在第 组;
(3)在这次抽样测试中,第一组学生的体重分别记录如下:40,40,41,42,43.如果要从这组学生中随机抽取2人,求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率.
19.(2018高一上·安庆期中)判断函数f(x)= 在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明.
20.(2023高一上·玉环开学考)如图,是的直径,点C在上,且.
(1)尺规作图:过点O作的垂线,交劣弧于点D,连接(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图形中,求点O到的距离及的值.
21.(2023高一上·玉环开学考) 如图1,抛物线 与 轴交于点 、点 ,与 轴交于点 ,顶点 的横坐标为1,对称轴交 轴交于点 ,交 与点 .
(1)求顶点 的坐标;
(2)如图2所示,过点 的直线交直线 于点 ,交抛物线于点 .
①若直线 将 分成的两部分面积之比为 ,求点 的坐标;
②若 ,求点 的坐标.
22.(2023高一上·玉环开学考)如图
(1)【问题发现】如图1,P是半径为2的⊙O上一点,直线m是⊙O外一直线,圆心O到直线m的距离为3,PQ⊥m于点Q,则PQ的最大值为 ;
(2)【问题探究】如图2,将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合(其中∠A==30°,∠C=∠C'=90°),绕点B旋转,当旋转至CC′=4时,求的长;
(3)【问题解决】如图3,点O为等腰RtABC的斜边AB的中点,AC=BC=5,OE=2,连接BE,作RtΔBEF,其中∠BEF=90°,tan∠EBF=,连接AF,求四边形ACBF的面积的最大值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解:A、与不是同类项不能合并,A错误;
B、,B错误;
C、,C正确;
D、,D错误.
故答案为:C.
【分析】A合并同类项判断;B同底数幂的乘法求解判断;C利用幂的乘方求解判断;D利用积的乘方求解判断.
2.【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解:从正面看是水平放置的两个正方形,每个正方形的中间都有一条纵向的虚线.
故答案为:B.
【分析】从正面看物体所得到的图形为主视图,进而判断选项.
3.【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连接,
,为等边三角形,
,.
故答案为:C.
【分析】连接,可得是等边三角形,再利用同弧所对的周角等于圆心角的一半得.
4.【答案】A
【知识点】不等关系与不等式;利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解:由aab>0,A正确;
由a-b>0,则,B错误;
由a由a故选:A
【分析】利用不等式的性质,逐项判断作答.
5.【答案】A
【知识点】并集及其运算;补集及其运算
【解析】【解答】解:由题意得,.
故答案为:A.
【分析】根据并集的定义先求,再根据补集的定义求.
6.【答案】D
【知识点】相似三角形的判定;相似三角形的性质
【解析】【解答】解:,,,,,
是的中点,,,
,,正方形的面积18.
故答案为:D.
【分析】由和是的中点可得,再利用三角形面积公式可得进而求正方形面积.
7.【答案】B
【知识点】相似三角形的判定;相似三角形的性质
【解析】【解答】解:如图,作轴交于点,轴交于点,
,,
又,,,同理,
,又,,
点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,,求得.
故答案为:B.
【分析】作轴交于点,轴交于点,证明,再根据由反比例函数的图象性质三角形面积公式得,进而求解的值.
8.【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解: ,求得或,不等式的解集,则使不等式成立的充分不必要条件是集合的真子集.
故答案为:C.
【分析】先求出不等式的解集,则不等式成立的充分不必要条件是集合的真子集,进而判断选项 .
9.【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】关于的一元二次不等式的解集为,
所以,解得,
故答案为:B.
【分析】根据题意首先由一元二次不等式与一元二次方程的关系,解不等式的解集即可得出关于m的不等式,求解出m的取值范围即可。
10.【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解:当在,在上时,即,
;
当在,在上时,即,,,
;
,C正确.
故答案为:C.
【分析】分在,在和在,在两种情况讨论,求出面积与运动时间 的关系式,进而判断选项.
11.【答案】19
【知识点】函数的最大(小)值;二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解:二次函数对称轴为,又,在上,随的增大而减小,在上,随的增大而增大,当时,,当时,,二次函数在上的最大值是19.
故答案为:19.
【分析】先求出二次函数对称轴,再根据二次函数性质求在上的最大.
12.【答案】2
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解:, ,由折叠知,,,
在中,,又,求得.
故答案为:2.
【分析】由得 , 由翻折得到,,在中得到,进而求解的长度.
13.【答案】36
【知识点】任意角
【解析】【解答】解:三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍,设该内角为,则它的外角为,求得,
这个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍,这个不相邻的一个内角为,另一个
不相邻的内角为,
这个三角形各角的度数分别是,此三角形最小内角的度数是.
故答案为:36.
【分析】由题意设三角形的一个内角为,则它的外角为,求出进而求余下两个内角度数得到三角形最小内角的度数.
14.【答案】-1≤k<2且k≠
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解:由题意得 ,求得即-1≤k<2且k≠
故答案为: -1≤k<2且k≠ .
【分析】根据一元二次方程解法和根式方程得,进而求解.
15.【答案】
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解:是的角平分线,点关于对称的点在上,,
,
当时,取得最小值,
由正方形性质知,,,
求得,的最小值为.
故答案为: .
【分析】由角平分线的性质知点关于对称的点在上,当时,取得最小值等于,进而求解.
16.【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】,则,当且仅当,即时取“=”,
所以的最小值是6.
故答案为:6
【分析】首先整理化简原式,再由基本不等式即可求出最小值。
17.【答案】(1)解: ;
(2)解:①;
②.
【知识点】最大公因数;多项式
【解析】【分析】 (1)利用多项式运算法则计算;
(2)①利用十字相乘法则因式分解;
②分别将含有、的因式提取公因式,最后再提取公因式即可.
18.【答案】(1)100;25
(2)四
(3)解:根据题意知从这组学生中随机抽取2人有 ,,,,,,,,,共10种情况,
被抽到的2人体重都不低于41千克 ,,共3种情况,概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数;总体与个体;样本与样本量
【解析】【解答】解:(1)抽取的学生人数共有人,则,求得,
体重不低于58千克的学生有人数为:人;
(2)前四组的人数分别为,,,,
抽查的100个学生的体重从小到大进行排序,排在第50位和51位的学生都落在第四组,这部分学生体重的中位数落在第四组;
【分析】(1)根据频数除以总数等于频率进行求解;先算出体重不低于58千克的学生频率,然后用总数乘以频率即可;
(2)先求出前4组的人数,再根据中位数的定义判断;
(3)利用列表法列举出从5人中随机抽取2人的情况,列举出抽到的2人体重都不低于41千克的情况, 再根据概率公式进行计算.
19.【答案】解:取任意的x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= - = = . ∵x1<x2,∴x2-x1>0. 又∵x1,x2∈(1,+∞),∴x2+x1>0, -1>0, -1>0, ∴( -1)( -1)>0.(x2+x1)(x2-x1)>0 ∴f(x1)-f(x2)>0. 根据定义知:f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】根据单调性的定义,取值、作差、变形、定号、下结论逐步进行验证即可.
20.【答案】(1)解:如图即为所求,以分别以为圆心,长为半径画弧交直线于点(与重合),分别以为圆心,长为半径画弧,连接圆心与两弧交点,交劣弧于点,则即为的垂线,连接;
(2)解:设交于点,易知直径
,,点是中点,又点是中点,是的中位线,
点到的距离 ,,
,, .
【知识点】相似三角形的性质;与圆有关的比例线段
【解析】【分析】(1)分别以为圆心,长为半径画弧,连接圆心与两弧交点,即为的垂线;
(2) )设交于点, 证明是的中位线,求得点到的距离 ,再求解.
21.【答案】(1)解: 将点 代入抛物线 得, 顶点的横坐标为1,,求得,
函数解析式,当时,,.
(2)解:①由(1)得
当y=0时,x1=-1,x2=3,
∴B(3,0),即BO=3,
如图,取 的三等分点 ,过点 分别作x轴,y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q,
则可得△DGM1∽△DHM2∽△DEB,△BQM2∽△BPM1∽△BED,且相似比为1:2:3,
∴
同理可得:
∴点 的坐标为: ,
②
取线段 的中点 ,作直线GM,
∵点B(3,0),点C(0,3)
∴中点G的坐标为
∵ ,点G为线段 的中点,
∴GM⊥BC,
∴设直线GM为y=x+m
将 代入得m=0,
∴①
设直线BD为y=kx+n
将 坐标代入得k=-2,n=6,
∴②
联立①②可得
∴
设直线MC为y=k2x+n2
将 坐标代入得k2= ,n2=3,
∴③
联立③与 可得
∴
故 的坐标为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系;相似三角形的判定;相似三角形的性质
【解析】【分析】 (1)将点 代入抛物线结合顶点的横坐标为,求解得到抛物线解析式,代入求点坐标;
(2)①如图,取 的三等分点 ,过点 分别作x轴,y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q,通过证明三角形相似,求解 坐标;
②取线段 的中点 ,作直线GM,由中点坐标得G ,,再联立求坐标,得到方程与抛物线联立求点 的坐标即可.
22.【答案】(1)5
(2)解:由题意知,,
,;
,;
(3)解:设点到距离为,则
点到距离最大时,四边形的面积最大,且位置不变,
由题意知当三点共线,即与圆相切时,点到距离最大,
过点作垂足为,
为中点,,,
又,,,
,,,
,,.
【知识点】点与圆的位置关系;相似三角形的判定;相似三角形的性质;圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】 (1)当点距离直线最远时即过点垂直于的直线经过圆心时,最大;
【分析】 (1)当点距离直线最远时即,最大;
(2)由旋转得,,所以证得,进而求;
(3)由题意得,求四边形面积最大时,转化为求点到距离最大值,当三点共线,即与圆相切时,距离最大,进而通过相似求解.
1 / 1浙江省台州市玉环市玉城中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题
一、选择题(10×3′,共30分)
1.(2023高一上·玉环开学考)下列计算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.
C.(x2)3=x6 D.(2x)3= 6x3
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解:A、与不是同类项不能合并,A错误;
B、,B错误;
C、,C正确;
D、,D错误.
故答案为:C.
【分析】A合并同类项判断;B同底数幂的乘法求解判断;C利用幂的乘方求解判断;D利用积的乘方求解判断.
2.(2023高一上·玉环开学考)三个大小一样的正方体按如图摆放,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解:从正面看是水平放置的两个正方形,每个正方形的中间都有一条纵向的虚线.
故答案为:B.
【分析】从正面看物体所得到的图形为主视图,进而判断选项.
3.(2023高一上·玉环开学考)如图,点 , , , 均在以点 为圆心的圆 上,连接 , 及顺次连接 , , , 得到四边形 ,若 , ,则 的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连接,
,为等边三角形,
,.
故答案为:C.
【分析】连接,可得是等边三角形,再利用同弧所对的周角等于圆心角的一半得.
4.(2023高一下·宝山期末)如果,那么下列式子中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式;利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解:由aab>0,A正确;
由a-b>0,则,B错误;
由a由a故选:A
【分析】利用不等式的性质,逐项判断作答.
5.(2023高一上·玉环开学考)已知集合U= ,,,则=( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】并集及其运算;补集及其运算
【解析】【解答】解:由题意得,.
故答案为:A.
【分析】根据并集的定义先求,再根据补集的定义求.
6.(2023高一上·玉环开学考)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,△DEF的面积等于3,则此正方形ABCD的面积等于( )
A.6 B.12 C.16 D.18
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定;相似三角形的性质
【解析】【解答】解:,,,,,
是的中点,,,
,,正方形的面积18.
故答案为:D.
【分析】由和是的中点可得,再利用三角形面积公式可得进而求正方形面积.
7.(2023高一上·玉环开学考)如图,的直角顶点O为坐标原点,点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,交y轴于点C,则k的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定;相似三角形的性质
【解析】【解答】解:如图,作轴交于点,轴交于点,
,,
又,,,同理,
,又,,
点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,,求得.
故答案为:B.
【分析】作轴交于点,轴交于点,证明,再根据由反比例函数的图象性质三角形面积公式得,进而求解的值.
8.(2023高一上·玉环开学考)使不等式(2x+1)(x-3)≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.X∈ D.
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解: ,求得或,不等式的解集,则使不等式成立的充分不必要条件是集合的真子集.
故答案为:C.
【分析】先求出不等式的解集,则不等式成立的充分不必要条件是集合的真子集,进而判断选项 .
9.(2021高一上·兰州期末)若关于的一元二次不等式的解集为,则实数的取值范围是( )
A.或 B.
C.或 D.
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】关于的一元二次不等式的解集为,
所以,解得,
故答案为:B.
【分析】根据题意首先由一元二次不等式与一元二次方程的关系,解不等式的解集即可得出关于m的不等式,求解出m的取值范围即可。
10.(2023高一上·玉环开学考)如图,正方形的边长为,点P,Q同时从点A出发,速度均为,若点P沿向点C运动,点Q沿向点C运动,则的面积与运动时间之间函数关系的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化
【解析】【解答】解:当在,在上时,即,
;
当在,在上时,即,,,
;
,C正确.
故答案为:C.
【分析】分在,在和在,在两种情况讨论,求出面积与运动时间 的关系式,进而判断选项.
二、填空题(6×3′,共18分)
11.(2023高一上·玉环开学考)二次函数y=2x2-3x+5在-2≤x≤2上的最大值是 .
【答案】19
【知识点】函数的最大(小)值;二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解:二次函数对称轴为,又,在上,随的增大而减小,在上,随的增大而增大,当时,,当时,,二次函数在上的最大值是19.
故答案为:19.
【分析】先求出二次函数对称轴,再根据二次函数性质求在上的最大.
12.(2023高一上·玉环开学考)如图,在正方形中,,点,分别在边,上,.若将四边形沿折叠,点恰好落在边上点处,则的长度为
【答案】2
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解:, ,由折叠知,,,
在中,,又,求得.
故答案为:2.
【分析】由得 , 由翻折得到,,在中得到,进而求解的长度.
13.(2023高一上·玉环开学考)如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍,等于与它不相邻的一个内角的2倍,则此三角形最小内角的度数是 .
【答案】36
【知识点】任意角
【解析】【解答】解:三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍,设该内角为,则它的外角为,求得,
这个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍,这个不相邻的一个内角为,另一个
不相邻的内角为,
这个三角形各角的度数分别是,此三角形最小内角的度数是.
故答案为:36.
【分析】由题意设三角形的一个内角为,则它的外角为,求出进而求余下两个内角度数得到三角形最小内角的度数.
14.(2023高一上·玉环开学考)关于x的方程 有两个不相等的实数根,则 的取值范围是 .
【答案】-1≤k<2且k≠
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解:由题意得 ,求得即-1≤k<2且k≠
故答案为: -1≤k<2且k≠ .
【分析】根据一元二次方程解法和根式方程得,进而求解.
15.(2023高一上·玉环开学考)如图,正方形的边长为1,的平分线交于点E.若点P,Q分别是和上的动点,则的最小值是 .
【答案】
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解:是的角平分线,点关于对称的点在上,,
,
当时,取得最小值,
由正方形性质知,,,
求得,的最小值为.
故答案为: .
【分析】由角平分线的性质知点关于对称的点在上,当时,取得最小值等于,进而求解.
16.(2022·吉林模拟)已知,则的最小值是 .
【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】,则,当且仅当,即时取“=”,
所以的最小值是6.
故答案为:6
【分析】首先整理化简原式,再由基本不等式即可求出最小值。
三、解答题
17.(2023高一上·玉环开学考)
(1)计算(a+b)(a -ab+b )-(a+b)
(2)分解因式①②2ax-10ay+5by-bx
【答案】(1)解: ;
(2)解:①;
②.
【知识点】最大公因数;多项式
【解析】【分析】 (1)利用多项式运算法则计算;
(2)①利用十字相乘法则因式分解;
②分别将含有、的因式提取公因式,最后再提取公因式即可.
18.(2023高一上·玉环开学考)某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图(每组数据含最小值,不含最大值),已知从左至右前四组的频率依次为0.05,0.10,0.25,0.35,结合该图提供的信息回答下列问题:
(1)抽取的学生人数共有 人,体重不低于58千克的学生有 人;
(2)这部分学生体重的中位数落在第 组;
(3)在这次抽样测试中,第一组学生的体重分别记录如下:40,40,41,42,43.如果要从这组学生中随机抽取2人,求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率.
【答案】(1)100;25
(2)四
(3)解:根据题意知从这组学生中随机抽取2人有 ,,,,,,,,,共10种情况,
被抽到的2人体重都不低于41千克 ,,共3种情况,概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数;总体与个体;样本与样本量
【解析】【解答】解:(1)抽取的学生人数共有人,则,求得,
体重不低于58千克的学生有人数为:人;
(2)前四组的人数分别为,,,,
抽查的100个学生的体重从小到大进行排序,排在第50位和51位的学生都落在第四组,这部分学生体重的中位数落在第四组;
【分析】(1)根据频数除以总数等于频率进行求解;先算出体重不低于58千克的学生频率,然后用总数乘以频率即可;
(2)先求出前4组的人数,再根据中位数的定义判断;
(3)利用列表法列举出从5人中随机抽取2人的情况,列举出抽到的2人体重都不低于41千克的情况, 再根据概率公式进行计算.
19.(2018高一上·安庆期中)判断函数f(x)= 在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明.
【答案】解:取任意的x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= - = = . ∵x1<x2,∴x2-x1>0. 又∵x1,x2∈(1,+∞),∴x2+x1>0, -1>0, -1>0, ∴( -1)( -1)>0.(x2+x1)(x2-x1)>0 ∴f(x1)-f(x2)>0. 根据定义知:f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】根据单调性的定义,取值、作差、变形、定号、下结论逐步进行验证即可.
20.(2023高一上·玉环开学考)如图,是的直径,点C在上,且.
(1)尺规作图:过点O作的垂线,交劣弧于点D,连接(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图形中,求点O到的距离及的值.
【答案】(1)解:如图即为所求,以分别以为圆心,长为半径画弧交直线于点(与重合),分别以为圆心,长为半径画弧,连接圆心与两弧交点,交劣弧于点,则即为的垂线,连接;
(2)解:设交于点,易知直径
,,点是中点,又点是中点,是的中位线,
点到的距离 ,,
,, .
【知识点】相似三角形的性质;与圆有关的比例线段
【解析】【分析】(1)分别以为圆心,长为半径画弧,连接圆心与两弧交点,即为的垂线;
(2) )设交于点, 证明是的中位线,求得点到的距离 ,再求解.
21.(2023高一上·玉环开学考) 如图1,抛物线 与 轴交于点 、点 ,与 轴交于点 ,顶点 的横坐标为1,对称轴交 轴交于点 ,交 与点 .
(1)求顶点 的坐标;
(2)如图2所示,过点 的直线交直线 于点 ,交抛物线于点 .
①若直线 将 分成的两部分面积之比为 ,求点 的坐标;
②若 ,求点 的坐标.
【答案】(1)解: 将点 代入抛物线 得, 顶点的横坐标为1,,求得,
函数解析式,当时,,.
(2)解:①由(1)得
当y=0时,x1=-1,x2=3,
∴B(3,0),即BO=3,
如图,取 的三等分点 ,过点 分别作x轴,y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q,
则可得△DGM1∽△DHM2∽△DEB,△BQM2∽△BPM1∽△BED,且相似比为1:2:3,
∴
同理可得:
∴点 的坐标为: ,
②
取线段 的中点 ,作直线GM,
∵点B(3,0),点C(0,3)
∴中点G的坐标为
∵ ,点G为线段 的中点,
∴GM⊥BC,
∴设直线GM为y=x+m
将 代入得m=0,
∴①
设直线BD为y=kx+n
将 坐标代入得k=-2,n=6,
∴②
联立①②可得
∴
设直线MC为y=k2x+n2
将 坐标代入得k2= ,n2=3,
∴③
联立③与 可得
∴
故 的坐标为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系;相似三角形的判定;相似三角形的性质
【解析】【分析】 (1)将点 代入抛物线结合顶点的横坐标为,求解得到抛物线解析式,代入求点坐标;
(2)①如图,取 的三等分点 ,过点 分别作x轴,y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q,通过证明三角形相似,求解 坐标;
②取线段 的中点 ,作直线GM,由中点坐标得G ,,再联立求坐标,得到方程与抛物线联立求点 的坐标即可.
22.(2023高一上·玉环开学考)如图
(1)【问题发现】如图1,P是半径为2的⊙O上一点,直线m是⊙O外一直线,圆心O到直线m的距离为3,PQ⊥m于点Q,则PQ的最大值为 ;
(2)【问题探究】如图2,将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合(其中∠A==30°,∠C=∠C'=90°),绕点B旋转,当旋转至CC′=4时,求的长;
(3)【问题解决】如图3,点O为等腰RtABC的斜边AB的中点,AC=BC=5,OE=2,连接BE,作RtΔBEF,其中∠BEF=90°,tan∠EBF=,连接AF,求四边形ACBF的面积的最大值.
【答案】(1)5
(2)解:由题意知,,
,;
,;
(3)解:设点到距离为,则
点到距离最大时,四边形的面积最大,且位置不变,
由题意知当三点共线,即与圆相切时,点到距离最大,
过点作垂足为,
为中点,,,
又,,,
,,,
,,.
【知识点】点与圆的位置关系;相似三角形的判定;相似三角形的性质;圆的切线的性质定理的证明
【解析】【解答】 (1)当点距离直线最远时即过点垂直于的直线经过圆心时,最大;
【分析】 (1)当点距离直线最远时即,最大;
(2)由旋转得,,所以证得,进而求;
(3)由题意得,求四边形面积最大时,转化为求点到距离最大值,当三点共线,即与圆相切时,距离最大,进而通过相似求解.
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