广东省东莞市重点中学2023-2024学年高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省东莞重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“关于的方程有实数根”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.不等式的解集是( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.已知，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.若不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. 或 D.
8.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若，则( )
A. B. C. D.
10.下列选项中是的必要不充分条件的有( )
A. ：，：
B. ：，：
C. ：两个三角形全等，：两个三角形面积相等
D. ：，：，
11.已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
12.已知，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.集合，，若集合中有三个元素，则实数 ______ ．
14.设集合，集合，若，则的取值范围为______ ．
15.不等式的解集为______ ．
16.若关于的不等式组的整数解共有个，则正数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，，，求；；．
18.本小题分
已知集合或，．
若，求和；
若是的必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
若二次函数，满足图像关于直线对称，过原点，且函数最小值为．
求二次函数的解析式；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
若，求不等式的解集；
求关于的不等式的解集．
21.本小题分
某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．
该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？
22.本小题分
已知二次函数．
若的解集为，解关于的不等式；
若不等式对恒成立，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
进行交集的运算即可．
【解答】
解：，，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：否定：否定量词，否定结论，
所以把任意改成存在，改为，
即，
故选：．
根据否定：否定量词，否定结论，改写命题．
本题考查命题否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，，结合不等式的加法法则可得，故A错误，B正确；
结合不等式的乘法法则，，可得，故C、D错误．
故选：．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式的基本性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：若关于的方程有实数根，
则，解得，
而，
所以“”是“关于的方程有实数根”的充分不必要条件，
故选：．
先求出方程有实根的充要条件，然后根据四个条件的定义即可判断求解．
本题考查了四个条件的应用，涉及到方程有实根的条件，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，解得，
即原不等式的解集为．
故选：．
根据一元二次不等式的解法计算可得．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，，
由基本不等式有：，
当且仅当，即，时，等号成立，
当且仅当，时，的最大值为．
故选：．
使用基本不等式求解即可
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题设，，
当时，恒成立，满足要求；
当，可得；
综上，实数的取值范围是．
故选：．
由一元二次不等式的解集，讨论、分别求出满足条件的范围即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
由已知利用的代换，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
或或．
故选：．
根据子集与真子集的定义即可求解．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
10.【答案】
【解析】解：对于：当时，则，反之不成立，故是的必要不充分条件，故A正确；
对于：当时，，当时，，故是的充要条件，故B错误；
对于：当两个三角形全等时，两个三角形面积一定相等，反之不成立，故是的充分不必要条件，故C错误；
对于：当，时，成立，反之不成立，故是的必要不充分条件，故D正确．
故选：．
直接利用不等式的性质，集合间的关系，判断充分性和必要性．
本题考查的知识要点：集合间的关系，充分性和必要性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：不等式的解集为或，
所以，且和是方程的两根，选项A正确；
由根与系数的关系知，，所以，，
所以不等式可化为，解集为，选项B错误；
不等式可化为，解集为或，选项C错误；
因为不等式的解集为或，所以满足不等式，即，选项D正确．
故选：．
根据不等式的解集得出，且和是方程的两根，由根与系数的关系得出、与的关系，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，当且仅当时取等号，
解得，即的最大值为，A正确；
由题意得，当且仅当时取等号，
解得，即的最小值为，B正确；
由可得，，
所以，
令，则，
则，
当且仅当，即时取等号，C正确；
，
因为在上单调递减，没有最值，D错误．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】或
【解析】解：中有三个元素，
或，解得或．
故答案为：或．
根据有三个元素可得出或，然后解出的值即可．
本题考查了并集的定义及运算，集合元素的互异性．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，可知，
结合，，可知大于的所有实数都不在中，
故，即的取值范围为．
故答案为：．
根据题意，利用交集与补集的性质进行解答，即可得到本题的答案．
本题重点考查了集合的交集与补集的运算性质，充分理解数集与不等式，是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由不等式，可得，
即，即．
求得，
可得原不等式的解集为．
故答案为：．
由题意，利用分式不等式、一元二次不等式的解法，求得的范围．
本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，因为为正数，所或．
当时，，
，
此时不等式组的整数解的个数为；
当时，，
，
此时不等式组的整数解的个数为；
当时，，
，
此时不等式组的整数解的个数为．
越大，则越小，越大，
从而不等式组的整数解的个数不会增加；
越小，则越大，越小，
从而不等式组的整数解的个数不会减少．
要使得不等式组的整数解的个数为，则需满足，解得．
故答案为：．
解一元二次不等式得或，然后计算，，时，不等式组整数解的个数，确定满足题意，再根据的变化比大或者小，确定不等式组的整数解的变化情况，从而得出参数范围．
本题考查不等式，首先解出一元二次不等式，然后求两个集合的交集，在交集中确定整数解的个数，解题时可估计出一些特殊值，如满足题意，和不满足题意，然后让变化，比小，或比大，确定两个集合的交集中整数的个数的变化情况，从而得出参数满足的条件，属于中档题．
17.【答案】解：因为集合，，，
所以，或，或，
所以或，．
【解析】根据交并补集的定义求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：当时，集合，
则，或；
因为是的必要条件，则，
当时，，解得满足题意，
当时，只需或，
解得，综上，实数的范围为，．
【解析】利用的值求出集合，然后根据交集，并集的定义即可求解；由题意可得，然后分，两种情况讨论，根据子集的定义建立不等式关系即可求解．
本题考查了四个条件的应用以及集合的运算关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：由过原点，故，
又关于对称，且最小值为，
所以，解得，，所以
不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
进而可得在上恒成立，
令，故为开口向上，且对称轴为的二次函数，
当时，单调递增，所以，
故的取值范围为．
【解析】根据二次函数性质即可列出等式求解；
根据恒成立，分离参数，利用二次函数的性质求解最值．
本题考查了二次函数解析式的求法和不等式恒成立问题，考查了方程思想和转化思想，属基础题．
20.【答案】解：时，不等式可化为，即，
解得，所以不等式的解集为；
关于的不等式，可化为，即，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得或；
综上，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或．
【解析】时，不等式化为，求解集即可；
不等式化为，讨论和，，求出不等式的解集即可．
本题考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．
21.【答案】解：由题意，每吨的平均处理成本为，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
设该单位每月获利为元，则．
因为，所以．
故该单位每月获利，最大利润为元．
【解析】依题意写出每吨的平均处理成本与月处理量之间的函数关系，再用基本不等式即可求解；
设该单位每月获利元根，据题意写出的函数关系式，用一元二次函数求最值的方法求解．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：的解集为，
，，，
，，
故，
从而，解得；
恒成立，
，
，，
令，，，从而，
，令，
当时，；
当时，，
的最大值为．
【解析】先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得，，代入并解一元二次不等式得结果，根据二次函数图象得，即得，因此，再令化为对勾函数，利用基本不等式求最值．
本题考查了一元二次不等式的性质以及一元二次不等式恒成立问题，涉及到基本不等式以及换元法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
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