河北省邢台市重点中学2023-2024学年高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年河北省邢台重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，函数若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
4.若，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知全集，集合和关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
6.已知，则“成立”是“成立”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
7.已知，不等式恒成立，则的取值范围为．( )
A. B.
C. D.
8.下列结论中正确的个数是( )
命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；
命题“是无理数，是有理数”是真命题；
命题“是的必要不充分条件”是真命题；
命题“，使”的否定为“，都有”；
若，则函数的最小值为．
A. B. C. D.
9.某次全程为的长跑比赛中，选手甲总共用时为，前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑；选手乙前半程以速度匀速跑，后半程以速度匀速跑；若，则( )
A. 甲先到达终点 B. 乙先到达终点
C. 甲乙同时到达终点 D. 无法确定谁先到达终点
10.若集合满足，必有，则称集合为自倒关系集合．在集合的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题有多项符合题目要求）
11.设集合，，若，则满足条件的实数的值是( )
A. B. C. D.
12.下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若正数、满足，则
C. 若，则的最大值是
D. 若，，，则的最小值是
13.已知函数，，则下列叙述正确的是( )
A. 若对都有成立，则
B. 若使得有解，则
C. 若，且使得，则
D. 若的解集是，则
14.设集合，，，则下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
15.若，，且，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
16.若，使得成立是假命题，则实数可能取值是
( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
17.不等式的解集为______ ．
18.名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有人，化学实验做得正确得有人，两种实验都做错得有人，则这两种实验都做对的有______人．
19.若一元二次不等式对一切实数都成立，则的范围是______．
20.已知实数，，满足，则的最大值为______．
四、解答题（本大题共4小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21.本小题分
已知，，关于的不等式的解集为．
求，的值；
正实数，满足，求的最小值．
22.本小题分
已知集合，．
若是的子集，求实数的值；
若是的子集，求实数的取值范围．
23.本小题分
如图，设矩形的周长为，把它沿翻折，翻折后交于点，设．
用表示，并求出的取值范围；
求面积的最大值及此时的值．
24.本小题分
已知函数，．
设，解不等式；
设，若当时的最小值为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的最值问题，全称量词命题和存在量词命题真假的判断，注意对符号和的区分和理解．
由满足关于的方程得出是二次函数的对称轴，由可知二次函数有最小值．
【解答】
解：满足关于的方程，，
，函数在处取到最小值是，
等价于，，所以命题，D正确，C错误．
使得，故命题A正确；
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
由特值法即可判断，由不等式的基本性质即可判断．
【解答】
解：对于，取，，满足，但，故A错误；
对于，由，可得，故B正确；
对于，当时，，故C错误；
对于，取，，满足，但，故D错误．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，即，当且仅当时，等号成立；
解得或舍．
故选：．
利用基本不等式及不等式的解法可得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：全集，集合，，
所以或，
则阴影部分所表示集合为．
故选：．
由已知可知阴影部分所表示集合为，结合集合的交集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如果，则，
此时成立，
当，则，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：．
解一元二次不等式得出的的范围即可求解绝对值不等式，然后再根据绝对值不等式的性质即，得出，由此即可判断求解．
本题考查了四个条件的应用，涉及到绝对值不等式的性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了恒成立问题，体现了数学转化思想方法，“更换主元”是解答该题的关键，属于基础题．
把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在上恒成立，得到，求解关于的不等式组得的取值范围．
【解答】
解：令，
则不等式恒成立转化为恒成立．
则，即，整理得：，
解得：或故的取值范围为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：对于：命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题，故正确；
命题“是无理数，令，故是有理数”是真命题，故正确；
命题当时，当时，则，故不成立，反之成立，故“是的必要不充分条件”是真命题，故正确；
命题“，使”的否定为“，都有”，故错误；
若，则函数，令，则，由于该函数在上单调递增，故函数在上的最小值为，该命题为假命题．
故选：．
直接利用存在量词，特称命题和全称命题，命题的否定，充分条件和必要条件，基本不等式和对勾函数的性质判断的结论．
本题考查的知识要点：特称命题和全称命题，命题的否定，充分条件和必要条件，基本不等式和对勾函数的性质，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于中档题和易错题．
9.【答案】
【解析】解：对于甲，前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，
则，即，
对于乙，乙用的时间为，
，即，即甲先到达终点．
故选：．
根据已知条件，分别求出甲，乙所用的时间，再结合作差法，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查学生掌握元素与集合关系的判断，理解子集的定义，是一道基础题．学生做题时注意，都有这个条件．
【解答】
解：根据新定义，集合中的元素和倒数等于本身，满足条件，个元素；
和，集合相同，只能选择个，即个元素；
和，只能选择个，
所以共有个元素满足题意．
集合元素的个数有个，自倒关系的集合的个数为：个．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：，
则，
当时，解得或，
当时，符合题意，当时，不符合集合元素的互异性，
当，解得或，符合题意，
综上所述，满足条件的实数的值是，，．
故选：．
根据已知条件，结合集合的包含关系，以及集合元素的互异性，即可求解．
本题主要考查集合的包含关系，以及集合元素的互异性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，
，
，，
，
，
故命题不正确；
对于选项B，
，
，
，
当且仅当，即时，等号成立；
故命题正确；
对于选项C，
，
当且仅当，即时，等号成立；
，
故的最大值是，
故命题正确；
对于选项D，
，
，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立；
故的最小值是，
故命题不正确；
故选：．
对于选项A，作差法比较与的大小即可；
对于选项B，化简，，从而利用基本不等式判断；
对于选项C，利用基本不等式判断即可；
对于选项D，化简得，，利用基本不等式判断即可．
本题考查了基本不等式的应用及作差法的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：对于项，由已知可得，，即，解得，故A项正确；
对于项，由已知可得使得有解，
即在上有解，只需即可，
设，，，且，
则，
因为，，且，
所以，且，
所以，，
所以在上单调递减，
所以，所以，故B错误；
对于项，由已知可得，有两个不相等正实根，
则，所以，故C项正确；
对于项，由已知可得，和是方程的两个根，
则，解得：，故D项正确．
故选：．
根据不等式恒成立以及不等式在区间上有解，转化为求判别式的符号以及函数的最值问题，即可判断、；根据方程或不等式解集的情况，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，列出关系式，求解即可判断、．
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
为奇数，为偶数，，，，．
故选：．
把集合与变形，可得，，，结合选项得答案．
本题考查交集及其运算，考查集合间的关系及应用，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，当且仅当且，即，时等号成立，故有最大值，故A正确；
，当且仅当且，即，时等号成立，所以有最大值，故B正确；
，当且仅当且，即时等号成立，即有最小值，故C正确；
，当且仅当且，即，时等号成立，所以的最小值为，故D错误．
故选：．
利用基本不等式求最值判断各选项．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由存在量词命题的真假求参数的范围，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
由命题的否定是真命题，即，恒成立，分离参数，将恒成立问题转化为最值问题求解．
【解答】
解：，使得成立是假命题，
故：，恒成立．
即对任意的恒成立．
即，
，当且仅当等号成立．
故．
故选：．
17.【答案】
【解析】解：由不等式，可得，
即，即．
求得，
可得原不等式的解集为．
故答案为：．
由题意，利用分式不等式、一元二次不等式的解法，求得的范围．
本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
18.【答案】
【解析】解：设做对物理实验的学生，做对化学实验的学生，
则有
，
．
这两种实验都做对的有人．
故答案为：．
根据题设条件，先做出文氏图，再结合文氏图进行求解．
本题考查集合的关系判断，解题时要先作出文氏图，数形结合效果较好．
19.【答案】
【解析】解：一元二次不等式对一切实数都成立，
，且满足
即，
解得，
故答案为：．
利用一元二次不等式和函数之间的关系，利用判别式进行求解即可．
本题主要考查一元二次不等式的解法，利用不等式恒成立转化为判别式是解决本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：，
，
，当且仅当时取等号；
，
故答案为：．
利用基本不等式以及题中的条件，转化成关于的二次三项式，即可解出．
本题考查了不等式的应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：根据题意，不等式的解集为，
即方程的两根为和，
则有，
解可得，，
正实数，满足，
即，变形有，
所以
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
【解析】本题考查一元二次不等式的解法，涉及基本不等式及的性质以及应用，属于中档题．
根据不等式的解集以及韦达定理即可求出，的值；
代入，的值可得，利用的代换以及基本不等式可求得的最小值．
22.【答案】解：，，又，
，，；
是的子集，
或或或，
时，，；
时，，；
时，，；
时，由知，
综合可得实数的取值范围为．
【解析】根据题意可得，从而建立方程组即可求解；
由是的子集，可得或或或，再分类讨论建立方程即可求解．
本题考查集合间的关系，方程思想，分类讨论思想，属中档题．
23.【答案】解：在矩形中，矩形的周长为，，
则，且，解得，即，
由题意得，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，；
由得，，，
设的面积为，则，
，
，当且仅当，即时等号成立，
，
故当时，面积取得最大值为．
【解析】由题意得，，且，可得的取值范围，在中，由勾股定理得，求解即可得出答案；
由得，，，设的面积为，则，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型和基本不等式的应用，考查函数思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
24.【答案】解：不等式即，即，
当时，即，解得，
当时，由得：，
若，则开口向下，，原不等式解得或，
若，则开口向上，，原不等式解得，
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为．
由知开口向上，对称轴是，
当，即时，函数在上单调递增，
最小值为，解得；
当，即时，
函数在单调递减，在上单调递增，
最小值为，解得舍，
故的值为．
【解析】根据一元二次不等式的解法分类讨论求解；
利用二次函数的图像性质，结合函数的单调性和最值求解．
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，考查转化思想，是中档题．
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