数学人教A版（2019）必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂（共28张ppt）

(共28张PPT)
第4章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
人教A版2019必修第一册
教学目标
1.理解n次方根、根式的概念.（数学抽象）
2.运用根式运算性质化简求值.（数学运算）
3. 根式和分数指数幂互化.（数学运算）
4.运用有理数指数幂的运算性质进行计算.（数学运算）
良渚遗址
情景导入
考古学家利用遗址中
遗存物碳14的残留量
测定,古城存在时期为
公元前3300年~前2500
年,你知道考古学家在
测定遗址年代时用了
什么数学知识吗
指数函数
正整数指数幂：
负整数指数幂 ,其中a
零指数幂：1 ，其中a
复习回顾
（1） ；
（2） ；
（3） .
正整数指数幂的运算性质：
如果x3=a，那么x叫做a的三次方根/立方根
如果x2=a，那么x叫做a的二次方根/平方根
如果x4=a，那么x叫做a的四次方根
……
如果x5=a，那么x叫做a的五次方根
如果xn=a
，那么x叫做a的n次方根
n次方根的定义
若xn=a，(n=2,3,4……)
那么x叫做a的n次方根
如果x3=a，那么x叫做a的立方根
如果x2=a，那么x叫做a的平方根
如果x4=a，那么x叫做a的四次方根
……
如果xn=a
，那么x叫做a的n次方根
x如何用a表示呢？
如果x5=a，那么x叫做a的五次方根
a
a的平方根
4
9
0
-4
-9
a
a的立方根
27
8
0
-8
-27
a
a的五次方根
32
1
0
-1
-32
±2
±3
0
3
2
0
-2
-3
2
1
0
-1
-2
a
a的四次方根
81
16
0
-16
-81
±3
±2
0
什么是根式？
【定义】式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得： ，
比如：
【1】 一般读作“n次根号a”
【2】 当a＜0且n为偶数时， 在实数范围
内没有意义.
【3】 当 有意义时， 是一个实数，且
它的n次方等于a.
【探究】 表示 的n次方根， 一定成立吗？
【结论】
①当n为奇数时，
②当n为偶数时，
和
有什么区别？
是实数 的n次方根，恒有意义，不受 的正负限制.
但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定
等于 ，当n为奇数时， ；当n为偶数时，
是实数 的n次方，在 有意义的前提下，实
数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结
果恒等于 .
例 求下列各式的值:
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
注意符号
典例分析
根式化简或求值的注意点：
解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根
式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
解：根据根式的意义进行求解．
1.
2.
3.
求下列各式的值
1. ； 2 . ; 3. ．
变式练习
什么是分数指数幂？
【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道
，也就是说，当根式的被开方数(看
成幂的形式)能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为
分数指数幂的形式呢？
【设想】把根式表示为分数指数幂的形式时，例如把 写成下列形式：
,
我们希望整数指数幂的运算性质，如： ，对分数指数幂
同样适用.
【定义】由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：
于是，在条件 下，根式都可以写成分数
指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
我们规定，
例如，
我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
不可以.显然 不是半个 相乘，它的实质是根式的另一种写法，如 .在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同
【问题1】 可以理解为 个 相乘吗？
【问题2】分数指数能约分吗？
不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如
约分后变成了 ，而 在实数范围内无意义.
例1、求值
例2、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
根式转化分数指数幂
归纳方法：底数写成指数幂的形式
例3、计算下列各式（式中字母都是正数）
例4、计算下列各式
整体思想处理
根式转化分数指数幂
思考：若10x=2，10y=3，则 。
=
-
2
3
10
y
x
化简
课本107页第1、2、3题
课堂练习
课堂小结
⑴. 当n为任意正整数时，( )n=a;
⑵. 当n为奇数时， =a；
当n为偶数时， =|a|= ;
⑶. （a≥0）.
常用公式：
作业布置
课本p107 练习 1，2，3
课本p109 习题4.1 1，2，3，4，5