2023-2024学年北师大版七年级数学上册3.5 探究与表达规律 同步练习(无答案)

3.5 探究与表达规律
核心知识盘点
等差数列
1，3，5，7，9，… ，2n-1
2，4，6，8，10，…，2n
1，4，7，10，13，… ，3n-2
平方数
1，4，9，16，25，…，
2，5，10，17，26，…，
0, 3, 8, 15，24，…，
4，9，16，25，…，
3，8，15，24，…，
立方数
1，8，27，64，125，…，
2，9，28，65，126，…，
8，27，64，125，216…，
7，26，63，124，215…，
等比数列
2，4，8，16，32，…，
1，3，7，15，31，…，
3，5，9，17，33，…，
裂项
2，6，12，20，30，…,n(n+1)
1，3，6，10，15，…，
4，12，24，40，60，...，2n(n+1)
斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
正负交叉类
，，，，，，…，（为正整数）．
，，，，，，…，（为正整数）
考点1：代数式中的变化规律
观察下列一组数：，则第n个数是
观察下列两行数：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于　 　
按一定规律排列的一列数依次为﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32,…，第n个数是 　 　
一列数2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此规律排列下去，第n个数是 　 　
按规律排列的一组数，... ，则第2023个数是
观察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是（　　）
A． B．（﹣1）n
C．（﹣1）n D．（﹣1）n﹣1
观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，根据上述等式中的规律，则2+22+23+24+…+22023的末位数字是
考点2：数阵规律
将全体正整数排成一个三角形数阵:根据上述排列规律，数阵中第10行从左到右的第5个数是( )
A．48 B．49 C．50 D．51
观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是 ．
将正整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，......，依此类推，请你判断2022所在的行数为（ ）
A．第672行 B．第673行 C．第674行 D．第675行
观察下面一列数：，，，，，，，将这列数排成下列形式：

按照上述规律排下去，那么第行从左边数第个数是 ；数是第 行从左边数第 个数．
将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第10个数是　 　．
考点3：图形中的变化规律
填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律的值为（ ）
A． B． C． D．
下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（ ）
A．135 B．153 C．169 D．170
如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，当m＝99时，则M的值为　 　．
观察图中图形的构成规律，根据此规律，第个图形中有 个圆圈．
观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有 个★．
把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有1个黑色三角形，第2个图案中有3个黑色三角形，第3个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第7个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．20 B．25 C．28 D．30
我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10…)和“正方形数”(如1,4,9,16…),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n的值为______.
下列小金鱼图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，第一条小金鱼图案需8根小木棒，第二条小金鱼图案需14根小木棒，…，按此规律，
（1）第n条小金鱼图案需要小木棒　 　根；
（2）如果有30000根小木棒，按照如图所示拼搭第1条，第2条……，直到第100条金鱼，请通过计算说明这些木棒是否够用．
如图所示，图①中的多边形(边数为12)是由等边三角形“扩展”而来的，图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为( )．
A．n(n－1) B．n(n＋1) C．(n＋1)(n－1) D．n2＋2
如图．乐乐班级举行“新春美食会”，同学们如图摆放桌椅，图(1)表示1张餐桌和6把椅子(三角形表示餐桌，每个小圆表示一把椅子)，图(2)表示2张餐桌和8把椅子，图(3)表示3张餐桌和10把椅子，……；按照这种方式摆放12张餐桌，需要 把椅子．
观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…，按此规律第n个图中共有点的个数是 .
五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为4的顶点开始，第2021次“移位”后，那么他所处的顶点的编号是 ．
如图所示，在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有五个数字点的圆周上跳动．游戏规则：若电子青蛙，停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若电子青蛙停在偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点．现在电子青蛙若从4这点开始跳，则经过次后它停的点对应的数为 ．
考点4：日历中的变化规律
在日历表中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，发现这三个数的和可能是（ ）．
A．18 B．40 C．60 D．75
小明计划和爸爸一起自驾游，图A是这月份的日历，用图B框住5个日期，他们的和是50，图B中x是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号，这天能出行吗？（　　）（注：郑州市限行政策：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，以此类推）
图A：
周日 周一 周二 周三 周四 周五 周六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
A．11，不能 B．11，能 C．10，能 D．10，不能
如图是由非负偶数排成的数阵：
（1）写出图中“H”形框中七个数的和与中间数的关系，
（2）在数阵中任意做一个这样的“H”形框，（1）中的关系仍然成立吗？并写出理由
（3）用这样的“H”形框能框出和为2023的七个数吗？如果能，求出七个数的中间数；如果不能，请写出理由.
如图，将连续的奇数1，3，5，7，按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数如图分别用a，b，c，d，x表示．
（1）计算：若十字框中间的数为17，则________；
（2）发现猜想：移动十字框，比较与中间的数x．则十字框中a、b、c、d的和是中间的数x的____倍；
（3）验证：用含x的式子分别表示出a、b、c、d，并利用整式运算验证（2）中猜想的正确性；
（4）应用：设，判断M的值能否等于2030，请说明理由．
如图，2021年3月的日历中有一个“M”形框，框中包含7个数．
（1）将“M”形框上下左右平移，但一定要框住2021年3月的日历中的7个数，若设“M”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，用含a的代数式表示“M”形框框住的7个数字之和；
（2）将“M”形框上下左右平移，“M”形框框住的7个数字之和能是133吗？如果能，请写出此时“M”形框中最小的数，如果不能，请说明理由．
实践与探索：将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）．
（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a
的代数式表示十字框框住的5个数字之和；
（2）十字框框住的5个数之和能等于285吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；
（3）十字框框住的5个数之和能等于365吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．
考点5：等式中的变化规律
观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=　 　=　 　；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　 　=　 　（n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
（4）求的值.
观察下列式子：
(1)请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）
=___________=___________；=___________=___________．
利用以上所得的规律进行计算：
阅读下列材料，完成相应任务：
神奇的等式
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
第100个等式：；…
任务：
（1）第6个等式为：　 　；
（2）猜想第n个等式：　 　；（用含n的代数式表示）．
观察以下等式：
第1个等式：
第个等式：
第3个等式：
第个等式：
第5个等式：
······
按照以上规律．解决下列问题：
写出第个等式____________；
写出你猜想的第个等式：________________________(用含的等式表示)．
观察下列式子：
1×3+1＝22，2×4+1＝32，3×5+1＝42，4×6+1＝52，…，
（1）请你依照上述规律，写出第6个式子：　 　；
（2）请写出第n个式子：　 　；
（3）计算：（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）．
观察下列各式：
﹣1×＝﹣1+
﹣×＝﹣+
﹣×＝﹣+
（1）你发现的规律是﹣×＝_________．
（2）用规律计算：﹣1×+（﹣×）+（﹣× ）+…+（﹣×）
阅读探究：；；；；…
(1)根据上述规律，求的值；
(2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；
(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：．
如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推．
（1）图1的阴影部分的面积是　 　；
（2）受此启发，得到++++的值是　 　；
（3）若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得+++…+的值为　 　；
（4）请你利用图2，再设计一个能求+++…+的值的几何图形．
【阅读】求值…．
解：设S= …①
将等式①的两边同时乘以2得：2S= …②
由②﹣①得：
即：S= …
【运用】仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+220
（2）1+5+52+53+54+…+5n（其中n为正整数）．
【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1
，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．
完成下列问题：
（1）小正方形的面积S2019等于　 　；
（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面积和．
为了求的值，可令，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
考点6：定义新运算
对于正整数n，定义f（n），例如：f（1），f（2），f（3），…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）+f（2023）的值为 　．
定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，运算结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取n＝26，则
若n＝898，则第2021次“F运算”的结果是（　　）
A．488 B．1 C．4 D．8
定义：a是不等于1的有理数，我们把称为a的差倒数．如3的差倒数是，﹣1的差倒数是，已知a2是a1的差倒数，a1＝3，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…以此类推，则a2020＝　　．
考点7： 程序图
【例5】（温江区校级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（　　）
A．6 B．3 C．24 D．12
【变式5-1】（晋安区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为（　　）
A．1 B．5 C．25 D．625
【变式5-2】（龙华区期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则第2020次输出的结果为　 　．
【变式5-3】（新蔡县期末）按下面的程序计算：
若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种