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2.4估算
一、单选题
1．估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．6和7之间
【答案】A
【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴估计的值在5和6之间，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
2．Ｍ中学有悠久的办学历史，现正筹划建校2160周年校庆系列庆典活动，若准备搭建体积为2160的正方体“水立方”展览馆，则此展览馆的棱长在（ ）
A．11.5到12.5之间 B．12.5到13.5之间
C．13.5到14.5之间 D．14.5到15.5之间
【答案】B
【分析】体积为2160的正方体的棱长为，可根据，不等式每项同时开三次方进行估算即可得出答案．
【详解】解：体积为2160的正方体的棱长为，
∵
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
3．x，y分别是的整数部分和小数部分，则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可确定的取值范围，即可确定的值，即可求解．
【详解】解：∵
∴
故
∴
故选：D
【点睛】本题考查无理数的整数部分的相关计算．正确的估值是解题关键．
4．若，且、为两个连续的正整数，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据无理数的估算，结合、为两个连续的正整数，得到、的值．
【详解】解：，且、为两个连续的正整数，则根据，得到，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数估值的运用，掌握无理数估算方法是解决问题的关键．
5．估算的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】夹逼法求出的范围，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键．
6．正整数分别满足，，则的值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．64
【答案】B
【分析】结合已知条件，利用无理数的估算求出的值，再代入中进行计算即可．
【详解】解：，，
，，
，，
，，为正整数，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，结合已知条件求出的值是解此题的关键．
7．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
A．＝16
B．
C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3
D．
【答案】C
【分析】根据表格中数据及算术平方根的概念分析判断．
【详解】解：由表格可得：，
，
故选项A不符合题意；
由表格可得：，
，
故选项B不符合题意；
由表格可得，，
只有3个正整数满足，分别是263；264；265，
故选项C符合题意；
由题意可得：，
，
故选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题基础．
8．如图，已知的两条直角边，，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出的长度，得出点P表示的数，再用夹逼法估算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点P表示的数为，
∵，
∴点P表示的数介于3和4之间，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，无理数的估算，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，以及用夹逼法估算无理数的方法．
9．如图，小丽想用一块正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设长方形纸片的长为，则宽为，先根据长方形的面积公式可得，从而可得长方形纸片的长为，宽为，再根据无理数的估算即可得．
【详解】解：设长方形纸片的长为，则宽为，
由题意得：，
解得（负值已舍），
则长方形纸片的长为，宽为，
，
，
，
则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题关键．
10．已知342＝1156，352＝1225，362＝1296，372＝1369，若n为整数且n＜＜n＋1，则n的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
【详解】解：∵362＝1296，372＝1369，且1296＜1334＜1369，
∴36＜＜37，
∵n为整数且n＜＜n+1，
∴n=36，
故选：C．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
二、填空题
11．化简 ．
【答案】
【分析】先判断出的取值范围，再根据绝对值的性质取绝对值符号即可．
【详解】，
．
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是去绝对值及无理数的估算，熟知绝对值的性质是解题关键．
12．若a，b表示两个相邻的正整数，且，则正整数a的值是 ．
【答案】2
【分析】估算出，即得出．
【详解】解：∵，
∴，即．
又∵a，b表示两个相邻的正整数，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查无理数的估算．掌握无理数的估算方法是解题关键．
13．已知是的整数部分，是的小数部分，则= ．
【答案】
【分析】利用得到，所以，从而得到和的值，然后把、的值代入中计算即可．
【详解】解：，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数大小：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
14．已知a，b为两个连续的整数，且，则 ．
【答案】5
【分析】利用夹逼法确定，可得，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为两个连续的整数，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法求解的方法是解题关键．
15．写出比大且比小的所有整数的和 ；
【答案】7
【分析】首先通过对和大小的估算，可得满足比大且比小的所有整数，再求和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴满足比大且比小的所有整数为大于2而小于5的所有整数，有3，4；
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查无理数大小的估算，根据二次根式的性质，灵活使用夹逼法进行估算是解答此题的关键．
16．已知，且，则的值为 ．
【答案】/
【分析】根据题意得出，再根据完全平方公式计算，得出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式，无理数的估算．正确变形是解题的关键．
17．已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以、为两边的直角三角形的第三边的长度是 ．
【答案】或
【分析】先根据无理数的估算求得的值，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：，是的整数部分，
∴，
∵，其中是整数，且，
∴，
当为直角边时，第三边长为：，
当为斜边时，第三边长为：，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了无理数的估算，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
18．已知， ，则的整数部分可以是 ．
【答案】6，7，8，9
【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
则的整数部分可以是6，7，8，9．
故答案为：6，7，8，9．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法．
19．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ．
【答案】
【分析】根据，，且，是整数，可以确定出和的值．
【详解】解：，，且，是整数，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了无理数的估算，确定无理数的整数部分是解答本题的关键．
20．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，．现对87进行如下操作：，这样对87只需进行3次操作后变为1，类似的：（1）对15只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】 2 65535
【分析】（1）根据规律依次求出即可；（2）要想确定只需进行4次操作后变为1的所有正整数，关键是确定3次操作后数的大小不能大于4，3次操作时根号内的数必须小于16，二次操作时根号内的数必须小于256，而1次操作时正整数65535却好满足这一条件，即最大的正整数为65535．
【详解】解：（1），
故对15只需进行2次操作后变为1
故答案为：2；
（2）最大的是65535，
，，，，
而，，，，，
即只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是65535．
故答案为：65535．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，掌握算术平方根的概念是关键．
三、解答题
21．已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；
(2)
【分析】（1）根据立方根、算术平方根以及无理数的估算，即可求出a、b、c的值；
（2）将（1）所求的a、b、c的值代入计算，再利用平方根的定义，即可得到答案．
【详解】（1）解：的立方根是，
，
，
的算术平方根是3，
，
，
，
，
c是的整数部分，
．
（2）解：由（1）可知，，，，
，
的平方根是．
【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、平方根、无理数的估算、代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键．
22．阅读下面的文字，解答后面的问题．
例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
【答案】(1)4；
(2)1
【分析】（1）先估算的大小，继而即可求得其整数部分与小数部分；
（2）分别估算的大小，进而求得a，b的值，代入代数式进行计算即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是．
故答案为：4，；
（2）∵，
∴，
∴的整数部分是2，小数部分，
∵，
∴，
∴的整数部分．
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握实数的运算法则是关键．
23．已知且．
(1)求的值；
(2)求的立方根；
(3)求的整数部分和小数部分．
【答案】(1)，，
(2)
(3)的整数部分为5，小数部分为
【分析】（1）由算术平方根的定义可得，求得，将代入可得，根据同底数幂的乘法、除法运算法则以及幂的乘方运算法则可得，从而即可求出；
（2）代入的值，再根据立方根的定义进行计算即可；
（3）将的值代入得到，估算得到，从而即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
，
解得：；
（2）解：由（1）得：，，
，
，
的立方根为；
（3）解：由（1）得：，，，
，
，
，即，
的整数部分为5，小数部分为．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义、幂的混合运算、求一个数的立方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键．
24．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是的小数部分．请解答：
(1)的整数部分是______________，小数部分是______________；
(2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根；
(3)已知，其中是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)4；
(2)
(3)
【分析】（1）先估算出在那两个整数之间，然后表示出其小数部分和整数部分即可；
（2）先根据的小数部分为的整数部分为，求出a、b的值，然后求出的平方根即可；
（3）根据，其中是整数，且，得出为的整数部分，y为的小数部分，得出，，求出，最后写出其相反数．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是；
故答案为：4；．
（2）解：∵，
∴，
∴的小数部分为：，
∵，
∴，
∴的整数部分为，
∴，
∴的平方根为．
（3）解：∵，其中是整数，且，
∴为的整数部分，y为的小数部分，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的相反数是．
【点睛】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．
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2.4估算
一、单选题
1．估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．6和7之间
2．Ｍ中学有悠久的办学历史，现正筹划建校2160周年校庆系列庆典活动，若准备搭建体积为2160的正方体“水立方”展览馆，则此展览馆的棱长在（ ）
A．11.5到12.5之间 B．12.5到13.5之间
C．13.5到14.5之间 D．14.5到15.5之间
3．x，y分别是的整数部分和小数部分，则值是（ ）
A． B． C． D．
4．若，且、为两个连续的正整数，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．估算的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．正整数分别满足，，则的值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．64
7．根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
n 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56
16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
A．＝16
B．
C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3
D．
8．如图，已知的两条直角边，，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
9．如图，小丽想用一块正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，则符合要求且节约材料的正方形纸片的边长是（ ）
A． B． C． D．
10．已知342＝1156，352＝1225，362＝1296，372＝1369，若n为整数且n＜＜n＋1，则n的值为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
二、填空题
11．化简 ．
12．若a，b表示两个相邻的正整数，且，则正整数a的值是 ．
13．已知是的整数部分，是的小数部分，则= ．
14．已知a，b为两个连续的整数，且，则 ．
15．写出比大且比小的所有整数的和 ；
16．已知，且，则的值为 ．
17．已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以、为两边的直角三角形的第三边的长度是 ．
18．已知， ，则的整数部分可以是 ．
19．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ．
20．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，．现对87进行如下操作：，这样对87只需进行3次操作后变为1，类似的：（1）对15只需进行 次操作后变为1；（2）只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
三、解答题
21．已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
22．阅读下面的文字，解答后面的问题．
例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
23．已知且．
(1)求的值；
(2)求的立方根；
(3)求的整数部分和小数部分．
24．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是的小数部分．请解答：
(1)的整数部分是______________，小数部分是______________；
(2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根；
(3)已知，其中是整数，且，求的相反数．
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