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2.4估算
一、单选题
1．与最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据平方运算，先估算出的值，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
2．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先估算出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可．
【详解】解：，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
3．若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先进行实数的运算，再进行估算即可．
【详解】解：，
∵，
∴
∴；
故选C．
【点睛】本题考查实数的运算，无理数的估算．熟练掌握算术平方根，立方根的定义，无理数的估算，是解题的关键．
4．如图，在中，．以点B为圆心，为半径画弧交于点D；以点A为圆心，为半径画弧交于点E．则长最接近的整数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】勾股定理求出的长，根据作图求出的长，进而求出的长，利用求出的长，再进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
由作图可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴长最接近的整数是；
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理，无理数的估算．熟练掌握无理数的估算方法，是解题的关键．
5．我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】①根据表示距离最近的正整数，进行判断；②根据，确定n的值；③分别求出，进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解．
【详解】解：①表示距离最近的正整数，
∴；故①正确；
②时，，4，5，6，
∴n的值有4个；故②错误；
③∵，
∴；故③正确；
④∵，…，
∴2个1，4个2，6个3，8个4，…，
∴；故④错误；
⑤，
∴；故⑤正确；
综上：正确的是①③⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查无理数的估算，以及数字规律探究．根据所给的定义，通过无理数的估算，找到数字规律是解题的关键．
6．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
7．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（ ）
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
①
②265的算术平方根比16.3大
③只有4个正整数n满足
④若一个正方形的边长为16.2，那么这个正方形的面积是262.44
A．①④ B．②③ C．③④ D．②③
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数扩大或缩小100倍，算术平方根扩大或缩小10倍来判断①；根据判断②；根据16.4＜＜16.5，得到268.96＜n＜272.25，进而判断③；根据正方形的面积公式判断④．
【详解】解：∵，
∴，
故①不符合题意；
∵，
∴，
故②不符合题意；
∵16.4＜＜16.5，
∴268.96＜n＜272.25，
∴正整数n有269，270，271，272共4个，
故③符合题意；
∵16.22＝262.44，
∴若一个正方形的边长为16.2，那么这个正方形的面积是262.44，
故④符合题意；
故正确的有③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
二、填空题
8．大于小于的整数是 ．
【答案】2
【分析】估算出与的整数部分，求出所求整数即可．
【详解】解：∵，
∴
则的整数是2，
故答案为：2
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．
9．已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ．
【答案】
【分析】先判断的整数部分，再推断的整数部分和小数部分，最后代入代数式计算即可．
【详解】解：，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算和无理数整数部分表示方法，掌握方法是解题的关键．
10．设的整数部分为，小数部分为，则= ．
【答案】
【分析】根据，确定a和b的值，然后计算即可．
【详解】解：∵，
∴的整数部分为，小数部分为；
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
11．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ．
【答案】
【分析】先估算的取值范围，进而可求的取值范围，从而可求a，进而求b，最后把a、b的值代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，则
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是用夹逼法确定无理数的取值范围，进而确定无理数的整数部分即可解决问题．
12．下表记录了一些数的平方：
下列结论：①；②的平方根是；③的整数部分为；④只有个整数的算术平方根在．其中正确的有 （填序号即可）．
【答案】①②③
【分析】根据算术平方根的定义判断①；根据平方根的定义判断②；估算无理数的大小判断③；根据算术平方根的定义判断④．
【详解】解：，
，故①符合题意；
，
，
的平方根是，故②符合题意；
，
，
，
，
的整数部分为，故③符合题意；
，，
，，，的值在，故④不符合题意．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
13．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“”“”依次相间）的值为 ．
【答案】5
【分析】找到所有平方数，确定其中间各个数字的个数规律，直接计算即可得到答案
【详解】解：，，，，，，，，，，
∵表示任意实数的整数部分
由3个1，有5个2，有7个3，有9个4，有个5，
有个6，有个7，有个8，有个9，
∴原式，
故答案为：5；
【点睛】本题考查根数估算与规律题，解题的关键是找到两个平方数之间数字的个数及符号选择．
14．若的整数部分为，小数部分为，则的值是 .
【答案】3
【分析】先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解.
【详解】因为,
所以,
因为6－的整数部分为x,小数部分为y,
所以x=2, y=,
所以(2x＋)y=,
故答案为:3.
【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法.
15．归纳并猜想:
(1)的整数部分为 ;
(2)的整数部分为 ;
(3)的整数部分为 ;
(4)猜想:当n为正整数时,的整数部分为 ,并把小数部分表示出来为 .
【答案】 l 2 3 n
【详解】试题解析：(1)因为＝，1＜＜2，所以的整数部分为1；
(2)因为＝，2＜＜3，所以的整数部分为2；
(3)因为＝，3＜＜4，所以的整数部分为3；
(4)猜想：当n为正整数时，的整数部分为n，小数部分为：.
16．已知的小数部分是，的小数部分是，则 ．
【答案】1
【分析】根据4＜7＜9可得，2＜＜3，从而有7＜5+＜8，由此可得出5+的整数部分是7，小数部分a用5+减去其整数部分即可，同理可得b的值，再将a，b的值代入所求式子即可得出结果．
【详解】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，∴-3＜-＜-2，
∴7＜5+＜8，2＜5-＜3，
∴5+的整数部分是7，5-的整数部分为2，
∴a=5+-7=-2，b=5--2=3-，
∴12019=1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各数的小数部分是解题关键．
三、解答题
17．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
18．已知实数、互为相反数，、互为倒数，是的整数部分，是的小数部分．求代数式的值．
【答案】
【分析】首先将和化简，然后求出整数部分分别为4和2，的小数部分为，然后将原式化简，代入数值即可求解．
【详解】∵、互为相反数，、互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，
∴，，，，
∴=
∴原式=．
【点睛】本题考查了无理数的估算，一个小数的小数部分等于这个数减去整数部分，所以本题的关键是求出无理数的整数部分，根据完全平方数合理估算是本题的重点．
19．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值．
【答案】
【分析】由，可得a+b=33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴∴．
∵，x为的整数部分，y为的小数部分，
∴，．∴．
答：的值为．
【点睛】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．
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2.4估算
一、单选题
1．与最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，．以点B为圆心，为半径画弧交于点D；以点A为圆心，为半径画弧交于点E．则长最接近的整数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（ ）
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
①
②265的算术平方根比16.3大
③只有4个正整数n满足
④若一个正方形的边长为16.2，那么这个正方形的面积是262.44
A．①④ B．②③ C．③④ D．②③
二、填空题
8．大于小于的整数是 ．
9．已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ．
10．设的整数部分为，小数部分为，则= ．
11．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ．
12．下表记录了一些数的平方：
下列结论：①；②的平方根是；③的整数部分为；④只有个整数的算术平方根在．其中正确的有 （填序号即可）．
13．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“”“”依次相间）的值为 ．
14．若的整数部分为，小数部分为，则的值是 .
15．归纳并猜想:
(1)的整数部分为 ;
(2)的整数部分为 ;
(3)的整数部分为 ;
(4)猜想:当n为正整数时,的整数部分为 ,并把小数部分表示出来为 .
三、解答题
17．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
18．已知实数、互为相反数，、互为倒数，是的整数部分，是的小数部分．求代数式的值．
19．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值．
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