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2.6实数
一、单选题
1．若 ，则 的值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】根据新定义计算即可．
【详解】解：由题意可得，原式，
故选：B．
【点睛】本题考查新定义，理解新定义是解题的关键．
2．比较下列各组数的大小，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据无理数的估算方法逐项判断即可．
【详解】解：A、，正确，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∴，即，原式错误，符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴，即，正确，不符合题意；
D、∵，，且，
∴，正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键．
3．下列说法中，正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可．
【详解】解：①实数包括有理数、无理数，0属于有理数，故错误；
②实数和数轴上的点一一对应，故错误；
③无理数都是无限小数，故正确；
④，故错误；
⑤平方根等于它本身的数有：0，立方根等于它本身的数有：0、1、，则平方根、立方根都等于它本身的数为0，故错误；
正确结论的个数是1．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质，属于基础知识，要熟练掌握．
4．若，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实数的大小得出结论即可．
【详解】解：，，
，，，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
5．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用数轴求出，的正负，再判断出两数绝对值的大小，最后结合选项进行计算判断即可．
【详解】、，，，，选项错误，不符合题意；
、，，，，选项B错误，不符合题意；
、，，，选项错误，不符合题意；
、，，，选项正确．
故选：．
【点睛】本题考查了绝对值，实数与数轴，实数的四则运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
6．已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（ ）
A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数
【答案】D
【分析】依据题意，结合实数的性质逐项分析即可．
【详解】解：依题意可得：
两个正有理数的和为正有理数；两个负实数的和为负实数；两个整数的和为整数；但是，两个无理数的和不一定是无理数，如与的和是0，和是有理数，
∴选项都正确，不符合题意，只有选项符合题意，
故选：
【点睛】本题考查了实数的性质，解题时要熟练掌握并理解．
7．如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么我们称这个正整数为“智慧数”，下面四个数中，不是“智慧数”是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【分析】设是正整数，根据平方差公式得到；，利用“智慧数”定义判断即可．
【详解】解：设是正整数，
，
又∵是正整数，
∴，
除1以外，所有的奇数都是智慧数；
，
又∵，
∴，
∴，
除4以外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，
与2021都是奇数，，，
，2021与2020都是“智慧数”，2022不是“智慧数”，
故选：D．
【点睛】此题考查了新定义，平方差公式，弄清题中“智慧树”的新定义是解本题的关键．
8．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，A点表示的数为2，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段（ ）上．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得，从而，故点B表示的数为：，比较大小，从而判断在线段上.
【详解】解：如图，，
∵，
∴．
∴点B表示的数为：．
∵，
∴点所对应的点在点B的左侧，点A的右侧，
即在线段上；
故选：A
【点睛】本题考查同底数幂的运算，数轴，实数的大小比较；理解实数的大小比较方法是解题的关键．
9．如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据正方形的面积求出其边长，再根据即可作答．
【详解】∵正方形，正方形的面积分别是4，2，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及实数的混合运算等知识，得出是解答本题的关键．
10．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8，可发现第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，第2022次输出的结果是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】D
【分析】先计算出前面几次输出的结果，确定循环的组数，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：
第一次输出：，
第二次输出：，
第三次输出：，
第四次输出：，
第五次输出：，
第六次输出：，
……
每3次为一组进行循环，
（组），
∴第2022次输出的结果是第674组的第三个，即第2022次输出的结果是1，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，以及探寻规律问题，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：从第一次输出的结果开始，每次输出的结果分别是4、2、1、4、2、1、…，每3个数一个循环．
二、填空题
11．在下列四个说法中：①；②每个实数都有一个立方根；③无理数与无理数的和一定也是无理数；④全体实数和数轴上的点一一对应．正确的是 ．
【答案】②④/④②
【分析】根据平方根、立方根、无理数以及数轴上的点的概念逐个分析即可．
【详解】解：当时，，当时，，所以①错误；
每一个实数都有立方根，不论是正数负数还是零，所以②正确；
无理数与无理数的和不一定是无理数，例如两个相反的无理数相加和为0，0 是有理数，所以③错误；
任意一个实数有且仅有一个数轴上的点与之对应，反之亦然，所以全体实数和数轴上的点一一对应，所以④正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系，熟练掌握定义是解题的关键．
12．对有理数、定义运算：，如，则的值为 ．
【答案】/
【分析】理解新定义，运用有理数的减法法则处理；
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义理解，有理数的减法运算；掌握有理数的减法法则是解题的关键．
13．如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是 ．
【答案】
【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可．
【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度，
∴此圆的周长，
∴将圆沿数轴滚动周时点表示的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是实数与数轴的特点，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
14．如图，点A，B在数轴上表示的实数分别为和2.1，则A，B两点之间的整数点共有 个．
【答案】5
【分析】利用近似数求得在整数与之间，结合数轴即可找出和2.1之间的整数点，则结论可得．
【详解】解：，
和2.1之间的整数有：，，0，1，2，
，两点之间表示整数的点共有5个，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴上的点与实数的一一对应的关系解答是解题的关键．
15．计算 ．
【答案】48
【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再进行乘法运算，即可计算求值．
【详解】解：，
故答案为：48．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
16．对任意非负整数n，定义一个运算给出新整数，记作，且对于任意恒成立．若，，记，则 ．
【答案】600
【分析】根据计算、2、3的结果，得出，根据得出，可得出值，即可得答案．
【详解】解：，
，
当时，，即；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
……
由此，可猜想
∵，
，
∴，
，
．
【点睛】本题考查新定义运算及数字类规律变化，根据定义得出是解题关键．
17．定义一种新运算“*”，则 ．
【答案】24
【分析】根据新定义进行计算即可．
【详解】解：，，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查新定义，理解新定义是解题的关键．
18．若，则 ．
【答案】
【分析】根据三个非负数的和为0，必须每个数都为0，就能得出三个一元一次方程，即可求出的值．
【详解】解：，
，
，，，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了对非负数的性质，立方根，二次根式的性质等知识点的运用，主要考查学生能否熟练地运用这些性质和法则进行计算．
19．比较的大小顺序关系 （用＜连接）
【答案】
【详解】∵，
，
，
又，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查比较有理数的大小，涉及幂的乘方，负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．观察下列各式：
；
；
；
……
请利用你发现的规律，计算，其结果为 .
【答案】
【分析】根据上述规律拆分每个根号，再正负相消即可得出答案．
【详解】解：∵；
；
；
……
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是实数的运算，解题关键是根据示例找出规律将式子进行化简．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)
(3) ；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，绝对值及乘方，再计算加减法；
（2）先计算乘方，再计算乘除法；
（3）计算同底数幂乘法，幂的乘方及积的乘方，再计算加法．
【详解】（1）
；
（2）
（3）
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，正确掌握各运算法则及运算顺序是解题的关键．
22．计算：
(1)计算：；
(2)计算：；
(3)先化简，再求值：，其中，．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
（2）先乘方再乘除运算即可；
（3）原式中括号里利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
；
（3）解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
23．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
，
(1)第5个式子为________，第个式子为________．
(2)计算：
(3)计算：
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中给出的条件及对应规律，即可求出5个式子和第个式子；
（2）根据第1问的规律，寻找第二问和第一问的关系即可求出的值；
（3）先找出分母的规律，寻找此规律是第一问分母规律的，按照第一问的规律即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意知，第5个式子为：，
第个式子为：．
故答案为：；．
（2）解：
故答案为：．
（3）解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键在于通过例子寻找规律公式．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．
例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
①______；；
②若，，，直接写出a，b，c之间满足的数量关系：______；
(2)若，求t的值．
【答案】(1)①3；；②
(2)
【分析】（1）①根据新定义运算，求解即可；
②根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解；
（2）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，；
故答案为：；；
②，理由如下：
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴．
（2）解：设，，，
则，，，
由可得，
∴．
【点睛】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算．
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2.6实数
一、单选题
1．若 ，则 的值是（ ）
A．2 B． C．10 D．
2．比较下列各组数的大小，错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（ ）
A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数
7．如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么我们称这个正整数为“智慧数”，下面四个数中，不是“智慧数”是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
8．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，A点表示的数为2，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段（ ）上．
A． B． C． D．
9．如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．2
10．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8，可发现第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，第2022次输出的结果是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
二、填空题
11．在下列四个说法中：①；②每个实数都有一个立方根；③无理数与无理数的和一定也是无理数；④全体实数和数轴上的点一一对应．正确的是 ．
12．对有理数、定义运算：，如，则的值为 ．
13．如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是 ．
14．如图，点A，B在数轴上表示的实数分别为和2.1，则A，B两点之间的整数点共有 个．
15．计算 ．
16．对任意非负整数n，定义一个运算给出新整数，记作，且对于任意恒成立．若，，记，则 ．
17．定义一种新运算“*”，则 ．
19．比较的大小顺序关系 （用＜连接）
20．观察下列各式：
；
；
；
……
请利用你发现的规律，计算，其结果为 .
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)
(3) ；
22．计算：
(1)计算：；
(2)计算：；
(3)先化简，再求值：，其中，．
23．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
，
(1)第5个式子为________，第个式子为________．
(2)计算：
(3)计算：
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．
例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
①______；；
②若，，，直接写出a，b，c之间满足的数量关系：______；
(2)若，求t的值．
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