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2.6实数
一、单选题
1．下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中错误的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据实数与数轴，无理数，绝对值，平方根，立方根，相反数等知识逐项判断即可．
【详解】①实数和数轴上的点是一一对应的，故①不正确；
②无理数是无限不循环小数，故②错误；
③负数也有立方根，故③错误；
④的平方根是，用式子表示是，故④错误；
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是，故⑤正确；
综上分析可知，错误的有：①②③④共4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数、无理数、绝对值、平方根及立方根，熟练掌握它们的定义等知识，是解答此题的关键．
2．如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求正方形的边长，再向左边就做减法计算；
【详解】解：，
点A对应的数为1，
故点E所表示的数为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，应用正方形的面积公式是解题的关键．
3． ，，，，且 a、b、c、d 为正数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得，又由，则，，从而得，，又，则，由，则，从而得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，a为正数，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题比较实数的大小，熟练掌握实数的大小比较汉则是解题的关键．
4．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子顶端A沿墙下滑至点C，那么梯子的底端B外移至点D，则的长（ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．不确定
【答案】C
【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
即的长大于，
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键．
5．设表示最接近x的整数（，n为整数），则（ ）
A．5151 B．5150 C．5050 D．5049
【答案】C
【分析】根据条件可得每一项都是组成，判断出，可得，进而得出规律求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴原式；
故选：C.
【点睛】本题是新定义运算，考查了实数的规律性问题，得出是解题的关键.
6．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【分析】分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．
【详解】解：根据数轴可知，
①若原点的位置为A点时，x＞0，则，，，
∴，舍去；
②若原点的位置为B点或C点时，，
则或，，
∴，舍去；
③若原点的位置为D点时，
则 ，
∴，符合条件，
∴最有可能是原点的是D点，
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则是解题关键．
7．已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy-x-y-1.下列说法中正确的是( )
A．该运算满足交换律. B．该运算满足结合律.
C．(-1)※2=1※(-2) D．(-3)※=1
【答案】A
【分析】根据新运算公式将所求式子化简，即可判断正误.
【详解】x※y=xy-x-y-1， ，故A正确；
题中没有涉及到运算律，故B错误；
，而，故C错误；
，
故选A.
【点睛】此题考查有理数的运算，C与D根据新定义公式运算即可判断，A与B中涉及到运算律，交换律是交换加数的位置，故A正确，而结合律是将两个或几个数放在一起计算，题中并没有，故B错误.
8．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可．
【详解】解：当时，，，不合题意；
当时，，当时，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
二、填空题
9．比较大小：3 ， ．
【答案】 > <
【分析】（1）通过平方法比较大小即可求解；
（2）通过比较与5的大小即可求解．
【详解】解：（1）因为，，
，
所以；
故答案为：>；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：；
【点睛】本题考查的是正负实数的大小比较，解决本题的关键是采用作差、平方、取近似值等方法比较．
10．已知为实数，且，则 ．
【答案】或
【分析】根据绝对值的意义，将方程转化为或，进行求解即可．
【详解】∵，
∴或，
∴或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查绝对值方程，实数的运算．解题的关键是掌握绝对值的意义，实数的运算法则，正确的计算．
11．若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ．
【答案】/3和/和3
【分析】根据可得，即可得到的整数部分是9，小数部分是，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，,
∴的整数部分是9，则，的小数部分是，则，
∴，
∴9的平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键．
12．用“”定义新运算：对于任意有理数、规定．如：则的值为 ．
【答案】13
【分析】根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是正确理解题意，掌握题目所给新定义的运算顺序和运算法则．
13．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称为杨辉三角，从图中取一列数1，3，6，，…记，，，…则 ．
【答案】
【分析】根据图中取一列数1，3，6，，…记，，，…，观察图形，得，，那么第n项是，求出，即可求解．
【详解】解：由所给数据可知，由杨辉三角可知，，，
结合，，，
那么第n项是，
故，
那么，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律；能够由已知的一列数找到数的规律是解题的关键．
14．一个两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，我们把十位上的数字与个位上的数字的和叫做这个两位数的“衍生数”，记作，即．如．现有个两位数和，且满足，则 ．
【答案】或
【分析】和的取值分两种情况分别分析即可得解．
【详解】解：设两位数的十位数字为，个位数字为，两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，则和的取值有两种情况，
时，此时，，
，
时，此时，，
，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了用字母表示数的新定义，理解题意并进行分类讨论是解题关键．
15．观察等式：，，，，……猜想 .
【答案】10102.
【分析】观察给出的等式得到：从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，52…根据规律即可猜想从1开始的连续n个奇数的和，据此可解.
【详解】解：∵从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，52…；
∴从1开始的连续n个奇数的和：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2；
∴2n-1=2019；
∴n=1010；
∴1+3+5+7…+2019=10102；
故答案是：10102.
【点睛】此题主要考查学生对规律型题的掌握，关键是要对给出的等式进行仔细观察分析，发现规律，根据规律解题．
16．观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ．
【答案】
【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
【详解】由题意规律可得：．
∵
∴，
∵，
∴．
．
．
……
∴．
故．
令
②-①，得
∴=
故答案为：．
【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）化简求值：已知，，求的值．
【答案】（1）（2）,
【分析】（1）根据，， 进行计算，即可求解．
（2）先对多项式进行因式分解，然后代值计算，即可求解.
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当，时，
原式
.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，因式分解，整式求值，利用因式分解、相关公式及性质进行正确化简各数是解题的关键．
18．如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．
(1)实数m的值是__________；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可直接求出m的值是；
（2）将（1）所求m的值代入计算即可；
（3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的平方根．
【详解】（1）解：实数m的值是．
故答案为：；
（2）；
（3）∵与互为相反数，
∴．
∵，，
∴，，即，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的平方根．解题关键是理解数轴上两点间的距离，实数的混合运算法则，最后求的平方根有两个．
19．阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
①______；
②若，则______；
③若，则______．
(2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①2；②2；③81
(2)
【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可；
（2）由题意可得出，，，结合，即得出，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴．
故答案为：2；
②∵，
∴．
故答案为：2；
③∵，
∴．
故答案为：81．
（2）解：∵，，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键．
20．阅读材料：求的值．
解：设①，将等式①的两边同乘以2，
得②，
用②－①得，
即．
即．
请仿照此法计算：
（1）请直接填写的值为______；
（2）求值；
（3）请直接写出的值．
【答案】（1）15；（2）；（3）．
【分析】（1）先计算乘方，即可求出答案；
（2）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；
（3）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；
【详解】解：（1）；
故答案为：15；
（2）设①，把等式①两边同时乘以5，得
②，
由②①，得：，
∴，
∴；
（3）设①，
把等式①乘以10，得：
②，
把①+②，得：，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，熟练掌握运算法则，熟练运用有理数乘法，以及运用消项的思想是解题的关键．
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2.6实数
一、单选题
1．下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是，用式子表示是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中错误的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
3． ，，，，且 a、b、c、d 为正数，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子顶端A沿墙下滑至点C，那么梯子的底端B外移至点D，则的长（ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．不确定
5．设表示最接近x的整数（，n为整数），则（ ）
A．5151 B．5150 C．5050 D．5049
6．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7．已知x，y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy-x-y-1.下列说法中正确的是( )
A．该运算满足交换律. B．该运算满足结合律.
C．(-1)※2=1※(-2) D．(-3)※=1
8．已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．比较大小：3 ， ．
10．已知为实数，且，则 ．
11．若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ．
12．用“”定义新运算：对于任意有理数、规定．如：则的值为 ．
13．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称为杨辉三角，从图中取一列数1，3，6，，…记，，，…则 ．
14．一个两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，我们把十位上的数字与个位上的数字的和叫做这个两位数的“衍生数”，记作，即．如．现有个两位数和，且满足，则 ．
15．观察等式：，，，，……猜想 .
16．观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）化简求值：已知，，求的值．
18．如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．
(1)实数m的值是__________；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
19．阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
①______；
②若，则______；
③若，则______．
(2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由．
20．阅读材料：求的值．
解：设①，将等式①的两边同乘以2，
得②，
用②－①得，
即．
即．
请仿照此法计算：
（1）请直接填写的值为______；
（2）求值；
（3）请直接写出的值．
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