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2.7二次根式
一、单选题
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】最简二次根式：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，不符合题意；
C. ，不是最简二次根式，不符合题意；
D. ，是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的判断，掌握“最简二次根式的定义”是解本题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根数的混合运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
3．若最简二次根式与可以合并，则合并后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据这两个最简二次根式可以合并，得出它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出方程求出m，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得：，
∴最简二次根式，，
∴合并后的结果=，
故选：C．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和合并同类二次根式，根据被开方数相同，列出方程求出m是解题的关键．
4．已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中一定是二次根式的个数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义（根指数是2 ， 被开方数是非负数） 判断即可 ．
【详解】解： 二次根式有①③④， 共 3 个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义， 形如的式子叫二次根式 ．
5．已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a的范围判断出与的正负，利用二次根式的性质和绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的性质、整式的加减、绝对值的代数意义等，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【分析】根据同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用，结合平方差公式计算即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，还涉及同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用，平方差公式．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
7．已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】将的值代入代数式中，然后再分母有理化即可．
【详解】解：原式；
故选：．
【点睛】此题考查的是二次根式的分母有理化．
8．若，则（ ）
A．2007 B．2008 C． D．
【答案】B
【分析】由题意得：，即，则先去绝对值，移项后再平方即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
则，
即：，
，即，
故选B．
【点睛】本题考查了去绝对值及二次根式有意义的条件，熟练掌握去绝对值的方法及二次根式有意义的条件是解题的关键．
9．已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键．
10．已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得，，再结合三角形的三边关系与最长边的含义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，，
解得：，，
∴，
∵三角形的最大边为c，
∴，
∴，
故选B
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，非负数的性质，三角形三边之间的关系，熟练的利用二次根式的性质进行化简是解本题的关键．
二、填空题
11．化简的结果为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
13．若，其中a是整数，，则＝ ．
【答案】11
【分析】根据题意得出，其中是整数，，可得，进而求出即可．
【详解】解：，其中是整数，，
，
，
．
故答案为：11．
【点睛】此题主要考查了估计无理数的大小，二次根式的混合运算，得出，的值是解题关键．
14．要使有意义的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于等于0是解此题的关键．
15．要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：且，
即：
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
16．计算： ．
【答案】
【分析】把原式化为，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
；
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．
17．设，则 ．
【答案】10
【分析】由可得，则，再整体代入代数式进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
整理得：，则，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的乘法运算，熟练的利用完全平方公式把原条件变形是解本题的关键．
18．化简 ．
【答案】/
【分析】先将各个分式分母有理化，再合并同类项即可得出答案．
【详解】解：
同理得，，…，..，
．
故答案为：.
【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．若a，b为有理数且满足，则 ．
【答案】4
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则解决此题．
【详解】解：∵，
∴
．
∴．
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决本题的关键．
20．最简二次根式与是同类二次根式，则为 ．
【答案】
【分析】先化简得到，根据同类二次根式的定义求得，再代入求解即可．
【详解】解：
，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
当时，；
当时，没有意义，舍去，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
三、解答题
21．计算
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)1
(2)
(3)1
(4)
【分析】（1）分子分母同乘，化简即可
（2）先开立方根，然后化简根号，化简即可；
（3）根据完全平方公式拆括号，再根据平方差公式计算；
（4）根据零次幂的计算，分子分母同乘，负指数幂，去绝对值，化简即可．
【详解】（1）解：
=
=
=
=1；
（2）解：
=
=
=；
（3）解：
=
=
=
=
=1；
（4）解
=
=
=．
【点睛】本题考查了负分数指数幂，零指数幂，去绝对值，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练运用知识是解题的关键．
22．观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
(1)按照上述规律，第6个等式：______；第个等式：______；
(2)计算：的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题中给出的式子即可得出第6个等式，第个等式；
（2）根据（1）中得出的规律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第6个等式：，
第个等式：，
故答案为：，；
（2）解：，，，，…，，
．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、分母有理化，熟练掌握运算法则，根据题中的式子得出是解此题的关键．
23．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：_____，_____；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①；
②．
【答案】(1)，
(2)的值为12或28
(3)①；②
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用含、表示、；
（2）利用（1）中的结论得到，利用、、均为正整数得到，或，，再代入进行计算即可得到答案；
（3）①将原式变形为即可得到答案；②设，两边平方得到，再把写成完全平方式，即可得到的值，从而得到答案．
【详解】（1）解：，
，；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∵均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
即a的值为12或28；
（3）解：①，
②设，
则
，
∴．
【点睛】本题考查了根据二次根式的性质进行化简，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键．
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2.7二次根式
一、单选题
1．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若最简二次根式与可以合并，则合并后的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中一定是二次根式的个数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．-1
7．已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．
8．若，则（ ）
A．2007 B．2008 C． D．
9．已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
10．已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．化简的结果为 ．
12．计算的结果是 ．
13．若，其中a是整数，，则＝ ．
14．要使有意义的的取值范围是 ．
15．要使二次根式有意义，则x应满足的条件是 ．
16．计算： ．
17．设，则 ．
18．化简 ．
19．若a，b为有理数且满足，则 ．
20．最简二次根式与是同类二次根式，则为 ．
三、解答题
21．计算
(1)
(2)
(3)
(4)．
22．观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
(1)按照上述规律，第6个等式：______；第个等式：______；
(2)计算：的值．
23．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：_____，_____；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①；
②．
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