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2.7二次根式
一、单选题
1．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的化简法则计算即可解答；
【详解】解：A． ，故错误；
B． ，故错误；
C． ，故正确；
D． ，故错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，掌握相关运算法则并正确计算是解题的关键．
2．若，则的值为（ ）
A．8 B．16 C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性求出，从而可得，代入计算即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
则，
所以，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．
3．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义对各选项进行判断．
【详解】解：、当时，为二次根式，所以此选项不符合题意；
、为二次根式，所以此选项符合题意；
、当或时，为二次根式，所以此选项不符合题意；
、当时，为二次根式，所以此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了二次根式的定义，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
4．若，用含的式子表示，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质进而化简用含有的式子表示即可．
【详解】解：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，正确化简是解题的关键．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】由已知得，两边平方整理可得，从而可选出正确答案．
【详解】解：，
∴两边平方得，整理得，
两边平方得，整理得，，
∴，即，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式．本题的关键是通过移项平方去掉根号，从而进行计算．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可．
【详解】原式．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键．
7．若，，则a与b的大小关系是（ ）
A．a>b B．a【答案】B
【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵
，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
8．已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造矩形， E、F分别为、的中点，设， ，将所求三角形面积转化为即可求解．
【详解】解：如图，在矩形中， E、F分别为、的中点，
设， ，
∴，，
∴在、、中，依次可得到：
，
，
，
∴
．
故选：A
【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键．
9．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
二、填空题
10．若，则 ．
【答案】
【分析】先利用分母有理化求出，整理得到，将即可求解．
【详解】解：，
，
，
整理得，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．已知实数a和b在数轴上的位置如图所示，则化结果是 ．
【答案】
【分析】根据数轴知，，根据绝对值性质，二次根式性质化简，合并同类项．
【详解】由图知，，
∴．
∴
故答案为：
【点睛】本题考查数轴比较有理数的大小，二次根式的性质、绝对值的性质；理解数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大是解题的关键．
12．计算的值为 ．
【答案】/
【分析】根据幂的运算公式：，的逆用，，进行计算，即可求解．
【详解】解：原式
；
故答案：．
【点睛】本题考查了二次根式运算，平方差公式，积的乘方公式逆用，同底数幂的乘法公式逆用，会利用公式进行计算是解题的关键．
13．计算的结果在两个连续整数之间，这两个整数分别是 ．
【答案】7，8
【分析】计算的结果，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【详解】解：原式
，
，
，
故答案为：7，8
【点睛】本题考查二次根式的运算及估算无理数的大小，掌握估算无理数的大小是正确解答的前提．
14． ， ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：；；
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
15．化简 ．
【答案】
【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到．
【详解】解：设
则
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质．
16．a，b为有理数，且，则 ．
【答案】2
【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到．
【详解】解：
a，b为有理数
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．
17．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ．
【答案】或或
【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
18．已知，则的值是 ．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
19．已知为实数，记，
（1）当时，的值为 ．
（2）的最小值为 ．
【答案】
【分析】（1）将时，代入进行计算即可得到答案；
（2）将式子化为，设，，，，在直角坐标系中画出图，根据最短路径模型，作对称点即可得到答案．
【详解】解：（1）当时，
，
故答案为：；
（2）
，
设，，，，
根据题意画出图如图所示：
，
作关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，与轴交于点，即为所求，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，最短路径问题，熟练掌握二次根式的化简方法以及最短路径问题的模型，是解题的关键．
三、解答题
20．计算
(1)；
(2)；
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的乘法进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法进行计算即可求解；
（3）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解；
（4）根据二次根式的混合运算，零指数幂、负整数指数幂、立方根进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
21．已知 ． 求的值．
【答案】
【分析】先得到，由可得的值，进而即可求解；
【详解】解：
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的变换求值、完全平方公式，正确进行变换是解题的关键．
22．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
【答案】(1)，
(2)12或28
(3)①，②，③
【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值；
（3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值．
【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数），
则有，；
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∵a、m、n均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
即a的值为12或28；
（3）①
②
③设，
则
，
∴．
【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
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2.7二次根式
一、单选题
1．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A．8 B．16 C． D．
3．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，用含的式子表示，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
7．若，，则a与b的大小关系是（ ）
A．a>b B．a8．已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．若，则 ．
11．已知实数a和b在数轴上的位置如图所示，则化结果是 ．
12．计算的值为 ．
13．计算的结果在两个连续整数之间，这两个整数分别是 ．
14． ， ．
15．化简 ．
16．a，b为有理数，且，则 ．
17．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ．
18．已知，则的值是 ．
19．已知为实数，记，
（1）当时，的值为 ．
（2）的最小值为 ．
三、解答题
20．计算
(1)；
(2)；
(3)
(4)．
21．已知 ． 求的值．
22．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
(2)若，且、、均为正整数，求的值；
(3)化简下列各式：
①
②
③．
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